排列组合问题的方法归纳练习
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一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
1． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．
2．（20##年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.
3.某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为____ _
4.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
5.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案
6.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个；
7.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有__ ___种；
9.
的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成___ __个三角形；
10.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不
同的着色方法有 种
二：相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____；
2. 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有 种？
3.有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．
4.
五人并排站成一排，如果
必须相邻且
在
的右边，则不同的排法有（ ）
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.）
1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
3一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有 种？
1. 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)
四：可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地
个不同元素排在
个不同位置的排列数有
种方法.
1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；
五：有序问题组合法
1.学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
且满足
，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种；
2.设集合
，对任意
，有
，则映射
的个数是_ ____；
3.离心率等于
(其中
且
)的不同形状的的双曲线的个数为_ ____。
六：定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必须站在的右边（
可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
2.6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
3.4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
4.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
七：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种
八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种；
2.某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；
九：阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组至少一份，分成n份，需要n-1个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后再做）
1. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
2.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
3.10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？
4.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？
十.（不同物品）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。
1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
2.把6个不同苹果平均分成三堆，一共有 种分法.
3.把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有 种分法.
4.把6个不同的苹果分成4堆，一共有 种分法.
5.把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有 种分法.
6.6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
8.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
9．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
10.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）
A、
种 B、
种 C、
种 D、
种
11.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
12.如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种；
十一：选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.
1.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_ _。
2.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
3.9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
十二：标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
1.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
2.同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种；
3.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有______ ___种
4.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
十三：多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
1.如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____；
2. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
3.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
十四：圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：
在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认
为相同，个元素的圆排列数有
种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的
元素全排列.
1.有5个人站成一圈，一共有多少种站法？
1.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
十五：排除法，部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
2. 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？
3.如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____。
十六：已排好元素中新增元素增位排列法
1.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
2.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为___ __。
3.如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法；
第二篇：排列组合归纳总结
排列、组合及二项式定理
一、计数
yi 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 →
1.分类加法计数原理定义
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有N＝m1+ m2+…+mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理定义
完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有N＝m1 m2…mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系
联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．
区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
4. 分类分步标准
分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。
分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。
→ 排列与组合
1．排列
（1）排列定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
（2）排列数公式：A＝
=n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝.特殊: An n=n!=n(n-1)!
（3）特征：有序且不重复
2.组合
（1）组合定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
（2）组合数公式：C＝
=或写成C＝.
(3)组合数的性质
①C＝C；
②C＝C＋C.
（4）特征：有序且不重复
3.排列与组合的区别与联系：
区别：排列有序，组合无序
联系：排列可视为先组合后全排
4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。
→排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）
1.抽取问题：
（1）关键：特殊优先；
（2）题型：① 把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Cmn
②把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn
③把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn
④把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn
⑤把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≥m），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？Cn-1m-1 隔板法
2.排序问题：特殊优先
（1）排队问题：
① 对n个元素做不重复排序Ann;
② 对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列
;如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置固定）排列
;
③ 相邻问题—捆绑法(注意松绑);
④不相邻问题:(a)一方不相邻—先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位; (b)互不相邻先排少的在插入多的;
(2)数字问题;
①各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数;
②各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数;
③组成n为偶数(奇数)的数----特殊优先法;
④能被n整除的数-----特殊优先法;
⑤比某数大的数,比某数小的数或某数的位置----从大于(小于)开始排,再排等于;
(3)着色问题:
①区域优先-----颜色就是分类点;
②颜色优先-----区域就是分类点.
(4)几何问题:①点、 线、 面的关系一般均为组合问题；
②图中有多少个矩形 C
6
2 C
4
2;从A到B
的最短距离 C83
(5)分组、分配问题：
①非均分不编号;n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽---
②非均分编号;n个不同元素分成m组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
③均分不编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
④均分编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
二、二项式定理
1.定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)．
2.二项展开式的通项
Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二项式系数．
3.二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，
即C＝C，C＝C，…，C＝C，….
②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数
取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数
， 相等，且同时取得最大值．
③各二项式系数的和
a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；
b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋…＝·2n＝2n－1.
→二项式定理的应用：
1.求通项; 
2.含xr的项：① 项的系数；②二项式系数。
3.常数项（含xr的项中r=0）整数项（含xr的项中r∈N）有理项（含xr的项中r∈Z）无理项（含xr的项中r
Z）
4.项的系数和：
（1）已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a+b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |= f(1)= (a+b)n;
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
（2）已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a-b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |= f(-1)= (a+b)n;
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
(3) 已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)=（-1）n(b-ax)n
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a-b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |=|(-1)n|g(-1)
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
(4) 已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)=（-1）n(ax+b)n
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a-b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |=|(-1)n|g(1)
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
5.最值问题：
① 二项式系数最大：（a）当n为偶数时，二项式系数中，
最大；（b）当n为奇数时，二项式系数中，
最大
②项的是系数最大：
表示第r+1项的系数
(a) 个项都为正数时
最大;
(b) 一项为正一项为负时
最大