概率的知识归纳与题型总结

一、概率知识点框架图

 

二、考试内容分析

概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。

应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；

三、题型分类、

考点1  考查等可能事件概率计算

在一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件包含的结果有个，那么。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

例1：(北京市东城区20##年3月高中示范校高三质量检测理)

某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．

（I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（）

（II）求某选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望.  （）

解：（1）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为……………………（4分）

（2）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2

则

……………………………………………………………（8分）

所以的分布列为：……………………………………………………………………（10分）

从而有…………………………………………（12分）

考点2  互斥事件有一个发生的概率

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为，用概率的加法公式计算。事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，则叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概率的法公式计算。考试常结合考试竞赛、工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。

   必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即或。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减法公式计算其概率。考试中常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。

  例2  某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；()

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. ()

练习1: 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）

（1）求至少3人同时上网的概率；

（2）至少几人同时上网的概率小于0.3。

练习2: 某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.

  (1) 求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；

  (2) 求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；()

  (3) 工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格                  的概率. ()

解：（I）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A₁，

        ………………5分

   （II）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A₂，“连续3个月参加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B₁，则

       

        两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为………………………………………………………………………………10分

   （III）记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A₃，

考点3  考查相互独立事件同时发生的概率与独立重复试验概率计算

若在次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次独立重复试验。若在1 次试验中事件A发生的概率为，则在次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为。考试结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。

例3某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题。规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰。已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立。

      （Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

      （Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的数学期望和方差。

例4(竞技型)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平  相当，且已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；()（2）比赛进行完七局的概率。()（3）记比赛局数为，求的颁列为数学期望.()

解（1）乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，其概率二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，

其概率，所以乙胜概率为

（2）比赛进行完7局有两种情况。一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜

其概率二是乙胜，同（1）中第二种情况，所以比赛进行完7局的概率为（3）根据题意，的可能取值为4,5，6,7

所以的分布列为

第二篇：向量知识点归纳与常见题型总结(学生)

向量知识点归纳与常见题型总结

1．与向量概念有关的问题

⑴数量可以比较大小，而向量      比较大小，只有它的      才能比较大小.

⑵平行向量（既共线向量）            相等，但相等向量          平行向量.

（3）表示与          的单位向量。单位向量是模为          的向量，其坐标表示为（）,其中、满足  ＝       

⑸的长度为         ，是有方向的，并且方向是任意的.

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

⑺相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是        。)

例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足则点P的轨迹一定通过三角形的        心。

(变式)已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )

A.三边均不相等的三角形  B.直角三角形C.等腰非等边三角形  D.等边三角形

2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）

①当两个向量和不共线时，的方向与、都                    ，

且||      ||＋||；②当两个向量和共线且同向时，、、的方向       ，且     ；③当向量和反向时，若||＞||，与 方向         ，且||    ||-||；若||＜||时,与 方向        ，且|＋|         ||-||.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。       ;      

例2：P是三角形ABC内任一点，若，则P一定在（  ）

A、内部      B、AC边所在的直线上    C、AB边上   D、BC边上

例3、若，则△ABC是（    ）：

A.Rt△ B.锐角△ C.钝角△  D.等腰Rt△

例4、已知向量，求的最大值。

⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如，     ,（在△ABC中）     .(□ABCD中)

⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理  对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b          ．如果两个非零向量，，使=λ（λ∈R），那么      ；反之，如∥，且          ，那么=λ.

⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值          ，故向量的数量积是一个实数.

②设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则  

③           ④在向量运算中==或=是         的

⑤当与同向时=      当与反向时，=      .当为锐角时，＞0，且      ，即与为锐角   等价；当为钝角时，＜0，且         ，即与为钝角            等价；

例5.如已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______

例6、已知,为相互垂直的单位向量，，。且与的夹角为锐角，求实数的取值范围。

.

⑥。（因               ）⑦数量积不适合乘法         律.

⑧数量积的消去律不成立.

 (6)向量b在方向上的投影︱b︱cos＝             

(7) 和是平面一组基底,则该平面任一向量             (唯一)

特别：. ＝则             是三点P、A、B共线的等价条件.

例7、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是___    ____

例8、已知点A,,B,C的坐标分别是.若存在实数,使则的值是:

A. 0      B. 1      C. 0或1        D.不确定

例9、下列条件中，能确定三点不共线的是：

A．       B． C．         D．

 (8)①在中，为的重心，特别地为的重心；则过三角形的重心；

例10、设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（D）

A．                     B

C．                      D．

②为的         心；

③向量所在直线过的       心(的角分线所在直线)；④的        心； 

例11、若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为__       __

例12、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为__           _；

例13、若点是的外心，且，则内角为__       __

(9)、 P分的比为,则=,＞0内分;＜0且≠-1外分.

例14、已知A（4，-3），B（-2，6），点P在直线AB上，且，则P点的坐标是（   ）