相交线与平行线

一：相交线

（1）相交线的定义

两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．

（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．

（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交 （4）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角. （5）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角. （6）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3，∠2＝∠4） （7）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．

（如图∠1＋∠2＝180°）

（8）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。 二、垂线 （1）、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图，OD⊥AB，垂足为O （2）、垂线的性质

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以。 （3）、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．

（4）垂线段的性质：垂线段最短．

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

（如图，PA,PB,PC等线段中，PO最短） （4）、点到直线的距离（如图，PO的长）

（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 三、平行线

1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交． （1）平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线．

记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b．

（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内；

②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．

（3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

如图，过点P只有直线a 与直线 b 平行 （4）平行公理中要准确理解“有且只有”的含

义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．

（5）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

如图，如果a∥c，b∥c，那么a∥c 2、同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．

例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和∠6. （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．例如∠3和∠5，∠4和∠6.

（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。 例如∠4和∠5，∠3和∠6. （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线． 3、平行线的判定

（1）定理1：同位角相等，两直线平行．

∵ ∠1=∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行） （2）定理2：内错角相等，两直线平行．

∵ ∠2=∠3，∴a∥b（内错角相等，两直线平行） （3 ）定理3：同旁内角互补，两直线平行． ∵ ∠2＋∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）

（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

如图，如果a∥c，b∥c，那么a∥c

（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

如图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b 4、 平行线的性质 （1）、平行线性质定理

定理1：两直线平行，同位角相等．

∵ a∥b，∴ ∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 定理2：简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

∵ a∥b，∴ ∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 定理3：简单说成：两直线平行，内错角相等． ∵ a∥b，∴ ∠2＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）、两条平行线之间的距离处处相等 （3）、平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）、平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 四、平移

1、 平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，

这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、 平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向

一致，并且移动的距离相等． 3、 确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移

的方向和距离

4、平移的性质 （1）平移的条件： 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等

第二篇：相交线与平行线知识点总结

相交线与平行线

第一节 相交线

一：相交线

垂线段最短

点到直线的距离

第二节 平行线及其判定

一：平行线

二：平行线的判定

同位角、内错角 同旁内角

平行线的判定

平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等

平行线的判定及性质

（1） 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关

系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角

平行线之间的距离

（1） 平行线之间的距离

从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．

（2）平行线间的距离处处相等

第四节 平移

生活中的平移现象

1、 平移的概念

在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．

2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．

3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等

作图----平移变换

第三篇：20xx0519初一数学下精品提高班第八讲 相交线与平行线总结(教师)

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20xx0519 初一数学下精品提高班第八讲 相交线与平行线总结 教师签字__________ 教学主任签字____________ 第一步：情境导入 第二步：查漏练习

1．如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，则∠ AOE+∠ DOB+∠ COF 等于（ A．150° B．180° C．210° ） D．120°

）

2．在平移过程中，对应线段（

A．互相平行且相等 B．互相垂直且相等 C．在一条直线上 D．互相平行（或在一条直线上）且相等 3． P 为直线 l 外一点， A、 C 为直线 l 上三点， 点 点 B、 PA=5cm， PB=4cm， PC=3cm， 则点 P 到直线 l 的距离为 （ A．5cm B．4cm C．3cm D．不大于3cm ）

4． 如图所示， 已知 DE∥ BC， 是∠ CD ACB 的平分线， B=72° ∠ ∠ ， ACB=40° 那么∠ ， BDC 等于 （ A．78° B．90° C．88° D．92° ）

）

5．同一平面内的四条直线若满足 a⊥ b，b⊥ c，c⊥ d，则下列式子成立的是（ A．a∥ d B．b⊥ d C．a⊥ d D．b∥ c ）个． D．无法确定

6．到直线 a 的距离等于2cm 的点有（ A．0个 B．1个 C．无数个

第三步：知识补缺

1、线段,直线,射线的有关知识 直线：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线） 无端点,直线是不可测量长度的。 。 射线：直线上的一点，可向一方无限延伸。 有一个端点,射线可无限延长。不可测量 - 1 ★培养学习品质，提升成绩，考取名校★

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线段：直线上两点间的一段。 有限长度,可以测量；有两个端点 线段和直线的性质： （1）两点之间，线段最短 （2）两点确定一条直线（3）线段的中点把线段分成两 条相等的线段 2、角 如果把角分成两个相等的角，这条射线叫做该角的角平分线． 1 周角=2 平角=4 直角=360 度。1 平角=2 直角=180 度,1 直角=90 度. 3、两角互余、互补的概念及性质 （1）定义： 如果两个角的和是 180°，那么这两个角互为补 角.简称互补. 如果两个角的和是 90°，那么这两个角互为余角.简称互余. 说明：①互余、互 补是指两个角的关系. ②互补或互余的两个角，只与它们的和有关，而与其位置无关. 性质： ①同角或等角的补角相等. ②同角或等角的余角相等 1.对顶角、邻补角 问题 1：两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角?指出图(1) 中具有这两种位置的角.

(1) (2) 问题 2：如图(2)中,若∠ AOD=90° ,那么直线 AB,CD 的位置关系如何? 问题 3：对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等, 你得到什么结论? 2.垂线及其性质. 问题 1：什么样的两条直线互相垂直? 典型例题：如图(3),直线 AB、CD、EF 相交于点 O,CD⊥ EF,∠ 1=35° ,求∠ 的度数. 2

(3) (4) (5) 问题 2：垂线有哪些性质?问题 3：什么是点到直线的距离? 3.同位角、内错角、同旁内角. 问题 1：如图(6)中,∠ 与∠ 2 与∠ 3 与∠ 分别是什么位置关系的角? 1 2,∠ 3,∠ 4

（6） 练习:如图(7),找出∠ 1、∠ 2、∠ 中哪两个是同位角、内错角、同旁内角. 3 4.平行线判定与性质 问题： (1)怎样判别两条直线是否平行. (2)平行线有什么性质? 成才热线：0739-4233622 - 2 ★培养学习品质，提升成绩，考取名校★

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(3)对比平行线的性质和判定,它们有什么异同? 练习:① 填空:如图(8),当_______时,a∥ c,理由是________;当______时, b∥ c,理由是_________;当 a∥ b,b∥ c 时,______∥ ______,理由是_________. ② 如图(9),AB∥ CD,∠ A=∠ C,试判断 AD 与 BC 的位置关系?为什么?

(8) (9) 5.关于平移 问题： (1)图形平移时,连接对应点有什么关系? (2)如何确定图形平移的方向和平移的距离? 练习 .已知三角形 ABC，点 D，平移三角形 ABC，使点 A 移动到点 D．

．

第四步：课堂效果验证
7．如图，直线 AB 与 CD 相交所成的四个角中，∠ 1的邻补角是_________ ，∠ 1的对顶角是

_______________.

(7)

(8)

8．如图：直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠ BOD，若∠ AOD=50° ，则∠ EOB=_________________. 9． 两个角的两边平行， 且一个角的一半等于另一个角的三分之一， 则这两个角的度数分别是_________° ． 10．小明的一本书一共有 104 页，在这 104 页的页码中有两个数码的，并且这两个数码经过平移其中一

个能得到另一个，则这样的页共有页___________． 11 ． 如 图 ， 直 线 AB 、 CD 相 交 于 点 O ， OE⊥ AB ， O 为 垂 足 ， 如 果 ∠ EOD=36°， 则

∠ AOC=_________． 成才热线：0739-4233622

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(12)

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所以 AB∥ ____________．

第五步：拓展延伸
13 ． 如 图 所 示 ， O 是 直 线 AB 上 一 点 ， ∠ AOC=1/3∠ BOC ， OC 是 ∠ AOD 的 平 分

线． （1）求∠ COD 的度数． （2）判断 OD 与 AB 的位置关系，并说出理由．

14 ． 如 图 ， AD 是 ∠ EAC 的 平 分 线 ， AD∥ ， ∠ BC B=30°， 计 算 ∠ EAD 、 ∠ DAC 、 ∠ 的 度 C

数．

15．如图，EF∥ AD，∠ 1=∠ 2，∠ BAC=80° ．将求∠ AGD 的过程填写完整．

因为 EF∥ AD， 所以∠ 2=______（__________________________） 又因为∠ 1=∠ 2 所以∠ 1=∠ 3（___________________________________） 所以 AB∥ ________（__________________________________） 所以∠ BAC+_________=180° （_____________________________） 因为∠ BAC=80° 所以∠ AGD=__________. 16.已知，如图，AB∥ CD，若∠ ABE=130° CDE=152° ，∠ ，则∠ BED 的度数．

17.已知：如图∠ 1=∠ 2，∠ C=∠ D，问∠ A=∠ 吗？试说明理由． F

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第六步：本课总结、作业布置
1．下列命题正确的是（ A．两直线相交同位角相等 C．两直线相交对顶角互补 ） B．两直线平行同位角相等 D．邻补角的和为90° ） ．D ．

2．在下图中，∠ 1=∠ 2，能判断 AB∥ 的是（ CD A ．B ．C

3.

如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是_________，理由

____________________________．
4．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价

30 元 ， 主 楼 梯 道 宽 2 米 ， 其 侧 面 如 图 所 示 ， 则 购 买 地 毯 至 少 需 要 ___________

元． 5.如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长） ，请你设计一个方案，检验桌子的相

对边缘线是否平行？

6.如图所示，张大爷有一块四边形的耕地中间有一条折线小路 MPN，现分别将折线小路改直而不影响 成才热线：0739-4233622 - 5 ★培养学习品质，提升成绩，考取名校★

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道路两旁的耕地面积，应如何改道？请说明理由，并画出改道的图形．

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