二次函数知识点
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：
的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 
的性质：
上加下减。
3. 
的性质：
左加右减。
4. 
的性质：
三、
二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标
；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴
沿
轴平移:向上（下）平移
个单位，变成
（或
）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成
（或
）
四、二次函数与
的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中
．
五、二次函数
图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式
，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
轴的交点
、以及关于对称轴对称的点
、与
轴的交点
，
（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六、二次函数的性质
1. 当
时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
．
当
时，随的增大而减小；当
时，随的增大而增大；当时，有最小值
．
2. 当
时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（
，
，
为常数，
）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：
（，
，
是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然
．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，
的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当
时，
，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当
时，
，即抛物线的对称轴就是轴；
当
时，
，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴
在轴左边则
，在轴的右侧则
，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当
时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当
时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为
；
⑶ 当
时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程
是二次函数当函数值
时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当
时，图象与轴交于两点
，其中的
是一元二次方程
的两根．这两点间的距离
.
② 当
时，图象与轴只有一个交点；
③ 当
时，图象与轴没有交点.
当
时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有
；
当
时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有
．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为
，
；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
第二篇：二次函数的性质总结
二次函数的性质
1、二次函数的图像是抛物线.
2、二次函数的三种形式:
一般式:
顶点式:
;
交点式:
.
3、一般地,抛物线与
的形状相同,位置不同.
把抛物线
向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线
.
平移法则：左加右减、上加下减。
抛物线有如下特点:
(1)当
时,开口向上,函数有最小值
;当
时,开口向下,函数有最大值;
(2)对称轴是
;
(3)顶点是
.
4、二次函数的图像有如下特点：
1顶点是：
，对称轴是：
，与
轴的交点是
.
2开口方向：
时，开口向上；
时，开口向下.
3增减性：当，在
时，随
的增大而减小，在
时,随的增大而增大；
当时，在时，随的增大而增大，在时,随的增大而减小.
4最值:当时，函数有最小值,且当时，有最小值是
；
当时，函数有最大值,且当时，有最大值是.
5开口大小:
越大抛物线的开口越小,反之越大.
4、我们可以利用根的判别式来判断函数
与轴交点的个数
(1)当
时,抛物线与轴有两个交点;
(2)当
时,抛物线与轴有一个交点;
(3)当
时,抛物线与轴无交点.
抛物线与轴的交点是.