数学建模十大经典算法

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1.蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。

2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。

3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。

4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。

6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。

************************************************************** 十类算法的详细说明

以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行简要说明。 1 蒙特卡罗算法

大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是xx年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年y的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。

2 数据拟合、参数估计、插值等算法

数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是xx年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，xx年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

2.3 规划类问题算法

竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如xx年B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。

2.4 图论问题

xx年B 题、xx年B 题、xx年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性，这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。每一个算法都应该实现一遍，否则到比赛时再写就晚了。

2.5 计算机算法设计中的问题

计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界。比如xx年B 题用分枝定界法，xx年B 题是典型的动态规划问题，此外xx年

B 题体现了分治算法。这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

2.6 最优化理论的三大非经典算法

这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场，比如：xx年A 题的模拟退火算法，xx年B 题的神经网络分类算法，象xx年B 题这种难题也可以使用神经

网络，还有美国竞赛xx年A 题也和BP 算法有关系，当时是xx年刚提出BP 算法，xx年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。xx年B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

2.7 网格算法和穷举算法

网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在[a; b] 区间内取M +1 个点，就是 那么这样循环就需要进行 次运算，所以计算量很大。比如xx年A 题、xx年B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久的。穷举法大家都熟悉，就不说了。

2.8 一些连续数据离散化的方法

大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

2.9 数值分析算法

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

2.10 图象处理算法

xx年A 题中需要你会读BMP 图象、美国赛xx年A 题需要你知道三维插值计算，xx年B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

第二篇：算法总结

算法学习报告

学习总结：

对于算法这门课，要善于给出算法的形式化表示，学会用一些算法分析的数学基础，原来的时间复杂度的分析，一般是采用一些数学的方法，有的时候计算起来比较繁琐，对于形如T(n)=a*T(n/b)+f(n)的递归方程，主定理的使用，只需要比较f(n)与n^longba的量级即可，可以快捷地求出时间复杂度的量级，同时我们还得到了如何改进有关算法的一些提示，当n^longba起主导作用时，可以从减少子问题的个数和减小子问题的规模两个方面来考虑，而当f(n)起主导作用时，这时候要着重改善子问题分解组合时的处理方法。

算法常用的技术有分治法，贪心法，周游法，回朔法，动态规划法，分支定界法。

分治法的要领就是将一个规模较大的问题分解为若干个规模较小的子问题，这些子问题与原问题同类。其分治法的精髓就是分、治、合。利用分治法可以解决求第k小元素问题，其主要思想是当元素个数小于50时可以用堆排序找到，但是当元素个数大于50时，五分化中项的中项m,将数组分成三部分，比它大的，比它小的以及与它相等的。寻找最近点对的问题，采用分治法的方法是将点对平分到两个部分，分治求出左半部分的最近点对，右半部分的最近点对，再求出点位于左半和右半的最近点对，为了减少比较的次数用到了检查落到带状区域内的每一个点检查其后的4个点。

动态规划法与分治法类似，但是有着不同，动态规划法解决的问题通常具有以下几个特点：最有子结构和高度的重复性。动态规划的指导思想是：在做每一步决策时，列出各种可能的局部解，之后依据某种判定条件，舍弃那些肯定不能得到最优解的局部解。这样，在每一步都经过筛选，以每一步都是最优的来保证全局是最优的。筛选相当于最大限度地有效剪枝（从搜索角度看），效率会十分高。但它又不同于贪心法。贪心法只能做到局部最优，不能保证全局最优，因为有些问题不符合最优性原理。如果二维数组中有相当一部分元素在整个计算过程中都没有用到则可以采用动态规划的变形—备忘录的方法，比如说是求解LCS问题；其他的一些动态规划问题比如说矩阵连乘、最优二分搜索树无需计算的子问题只有少部分或全部都要计算，采用递推的方式比较好。

平摊分析收益手法（聚集方法，会计方法和势能方法）的引入，从整体上考虑时间复杂度而不是逐一的考虑每条指令的执行所需要的时间复杂度，聚集方法的关键在于找到如何分类，分别计算每类的耗费，再将耗费相加。会计方法的切入点一旦找到，计算起来非常方便，难点在于如何找到，而势能方法的切入角度比较好找：数据结构和势函数。

集合操作中的一些讲解给出了一些思想的启示，内部名外部名的使用，减少了改名的次数，更是惊叹于脱线MIN问题的解决思路，用集合名（数字）来表示删除i的E指令序号，其关键在于Find指令和Union指令的使用。为了求出各点在原先树的正确深度，又使时

间复杂度较小，需要采取具有路径压缩的Find指令，同时需要一些辅助手段来保证深度计算的正确性。Link指令在D森林中使用是为了减少时间复杂度2-3树上定义的一些操作都是在时间复杂度O（longn）时间完成的。需要掌握的有平衡树，字典，可并堆，可连接队列，以及2—3树的插入与删除。

随机算法中舍伍德算法不是万能的，有时也会遇到这样的情况，即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术，不改变原有的确定性算法，仅对其输入进行随机洗牌，同样可收到舍伍德算法的效果。对于前面提到的寻找第K小元素的问题可以采用随机算法，只不过是将原来的中位数用随机数生成而已，体现了随机算法的优点。用Las Vegas，Monte Carlo，KMP算法判断某个字符串是不是另一个字符串的子串。对于素数的判定问题，主要讲解了miller和rabin的对于素数判定所做的贡献，miller-rabin的理论基础以及其主要思路。

计算模型一章丘奇图灵论题的内容以及提出的意义，还介绍了RAM,RASP，TM之间在两种耗费标准下的相互关系。与DTM不同的是，NDTM的每一步动作允许有若干个选择，对于给定的Q×Tk的一个元素（qi, a1, a2,?, ak），它的δ转移函数值不是对应于一个Q×(T×{L,R,S})k中的一个元素，而是对应于Q×(T×{L,R,S})k中的一个子集。 与DTM不同的是，DTM的 ID序列是线性的: ID0├ ID1├ ID2├ ┅├ IDm， 而NDTM的ID序列通常是用树来描述的 （因为在每个格局都可能有多个选择）。

最后算法给出P,NP,NP-C,NP-hard类语言和问题。NP-hard问题在P≠NP的假定之下，可以分成4类：有FPTAS（e.g.Knapsack），有PTAS而没有FPTAS（e.g. k-Knapsack），没有PTAS，但有绝对近似比为常数的近似算法(Bin-Packing)，没有绝对近似比为常数的近似算法(e.g. TSP)。然后介绍了伪多项式时间的算法，并且分析了动态规划法的背包问题。

学习心得：

1. 有些问题看似不可能寻找到解决的可能，花了很大的力气不一定可以得到很好的效果，有时候需要换一种角度再重新认识这个问题，尽力打破思维定势。

2. 在学习的过程中，若开始就看算法导论那本书，难免会觉得看不懂和迷茫，在老师的讲解结束时，这时候在仔细研读算法导论这本书，觉会觉得豁然开朗。

3. 在学习的过程中，诚然需要一个人的钻研，但有时需要走出一个人的世界，大家相互交流思想，开阔自己的思路，避免自己一个人走进死胡同或者处于一种狭隘的世界。

4. 把握学习的主动性，而不是被动的接受，否则会把自己置身于一种消极的状态下，每次的任务除了完成必要的要求以外，自己也要在此基础上扩张性的去学习，将学习的范围加大，这样会渐进的增加知识储备。

5. 在学习的过程中注重问题解决思路的培养

教学建议：

鉴于算法的抽象性，故在讲解的过程中可以结合一些具体的例子，举一些案例加以分析，侧重于问题解决的分析能力和解决能力的培养，如果可以应用于解决一些实际问题更好，这样可以更好地理解，达到触类旁通的效果。