圆 

一、和圆有关的基本概念

1.圆：

把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

        3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

        4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

        5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

4.直径：经过圆心的弦。

5.弧：圆上任意两点间的部分。优弧：大于半圆的弧。劣弧：小于半圆的弧。

  半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

6.弦：连接圆上任意两点的线段。

7.弦心距——圆心到直线的距离

8.弓形——弧与所对的弦所组成得图形

9.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

10.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）

11.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

12.圆心角：顶点在圆心的角。

13.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。

14.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。

15.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角

16.圆内角、圆外角及性质：

顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.

顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.

17.正多边形：①定义：各边相等、各角也相等的多边形

②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。

18.圆锥：

①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。

20.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。

三角形的内心的性质：三角形的内心到各个边的距离相等

21.定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

二、圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；

垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理的推论

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

依据垂径定理及其推论①②③可概括为定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧

即： ①是直径   ②  ③  ④ 弧弧  ⑤ 弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。   即：在⊙中，∵∥    ∴弧弧

 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。

1、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心        

角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①；②；③；④ 弧弧

推论——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等

2、圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角     ∴

3、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角   ∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的 弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径    或∵  ∴   ∴是直径

 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△中，∵∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边    的一半的逆定理。

4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

     即：在⊙中，  ∵四边形是内接四边形

     ∴     

三、确定圆的条件

1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆

2.经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

3.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

4.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

5.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，它到三角形三边距离相等

四、和圆有关的位置关系

1.点和圆：

如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么

2.直线和圆：

①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。

②直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

③直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

  圆的切线垂直于经过切点的半径。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

3.圆和圆：

①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。

②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。

③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。

④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。

（两个圆外切和内切统称为两个圆相切。）

⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。

（两圆同心是两圆内含的一种特例。）

如果两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么

 

五、一些重要的圆的相关定理

圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙中，∵直径，  ∴

 （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙中，∵是切线，是割线

              ∴

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙中，∵、是割线

              ∴

两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、两点

             ∴垂直平分

圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：中，；

（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和

六、和圆有关的计算

1.       多边形和圆

每个内角的度数：     

每个外角的度数：（等于中心角）

正多边形和圆的关系定理：

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可以采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

2.       扇形：

 

面积公式：           或

3.       弧长：

 

弧长公式：

4.       圆锥：

（圆锥的侧面展开图，是一个扇形。）

圆锥的侧面积=S侧＝×2πr×a＝πra

（圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。）

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

     ① =

②圆柱的体积：

（2）圆锥侧面展开图

①=

②圆锥的体积：

七、和圆有关的作图

1.圆心

做一个已知圆的圆心

在圆上任意画一条线，作垂直与这条线的直径；再画一条弦，继续作垂直于这条弦的直径；两条直径的交点就是圆心。

2.三角形的外接圆：

已知锐角三角形ABC，用直尺和圆规作△ABC的外接圆。

①分别作边AB、AC的垂直平分线DE、FG，DE与FC相交于点O

②以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O就是所求作的圆。

3.用直尺和圆规做特殊的正多边形：

（1）正四边形

①在⊙O中作两条互相垂直的直径AC、BD

②依次连接A、B、C、D各点，四边形ABCD就是所求做的正四边形。

（2）正六边形

①在⊙O中任意做一条直径AD

②分别以A、D为圆心，⊙O的半径作半径作弧，与⊙O相交于B、F和C、E

③依次连接A、B、C、D、E、F各点，六边形ABCDEF就是所求作的正六边形。

  

八、和圆有关的常作辅助线

1.见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还需作出相应的半径），通过垂径定理来沟通结论与题设间的关系。

2.见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是做直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。

3.见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连接过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

5.两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

6.两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可以把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

第二篇：过秦论知识点归纳整理

一、通假字（指出句中通假字并解释）

①外连衡而斗诸侯 / 约从离衡（ ） ②孝公既没（ ） ③合从缔交/约从离衡 / 于是从散约败（ ） ④秦有余力而制其弊（ ）

⑤信臣精卒陈利兵而谁何（ ） ⑥倔起阡陌之中（ ） ⑦赢粮而景从（ ） ⑧百有余年矣（ ） ⑨非抗于九国之师也 （ ） ⑩威振四海（ ）

二、古今异义（找出古今异义词语并解释其古今含义）

①于是秦人拱手而取西河之外（ ）

②于是六国之士，有宁越、徐尚、苏秦、杜赫之属为之谋；（ ）

③山东豪俊遂并起（ ）

三、一词多义

1．固

①据崤函之固（ ） ②君臣固守以窥周室（ ）

③然后践华为城，因河为池，据亿丈之城，临不测之渊，以为固（）

2．因

①因遗策（ ）②因利乘便（ ）③因河为池（ ）

3．亡

①秦无亡矢遗镞之费（ ） ②追亡逐北（ ） ③吞二周而亡诸侯（ ）

4．制

①吴起……赵奢之伦制其兵（ ）②秦有余力而制其弊（ ）③履至尊而制六合（ ）

5．兵

①……赵奢之伦制其兵 / 行军用兵之道（ ）②收天下之兵 / 信臣信精卒陈利兵而谁何 / 斩木为兵（ ）

6．策

①蒙故业，因遗策（ ）②振长策而御宇内（ ）

7．致

①以致天下之士（ ） ②致万乘之势（ ）

8．之

①不爱珍器重宝肥饶之地（ ） ②……赵奢之伦制其兵（ ）

③商君佐之（ ） ④聚之咸阳（）

9．及

①非及向时之士（ ） ②及至秦始皇（ ）

10．北

①乃使蒙恬非筑长城而守藩篱（ ）②追亡逐北（ ）

11．度

①内立法度（ ） ②试使山东之国与陈涉度长絜大（ ）

12．遗

①因遗策（ ） ②秦无亡矢遗镞之费（ ）

13．爱

①不爱珍器重宝肥饶之地（ ） ②宽厚而爱人（ ）

四、词类活用

1．名词作状语

①有席卷天下，包举宇内，囊括四海之意（ ）

②内立法度，务耕织，修守战之具，外连衡而斗诸侯（ ）

③南取汉中，西举巴、蜀，东割膏腴之地，北收要害之郡（ ）

④然陈涉瓮牖绳枢之子（ ）⑤南取百越之地，以为桂林、象郡（ ） ⑥乃使蒙恬北筑长城而守藩篱（ ）⑦天下云集响应，赢粮而景从（ ） ⑧深谋远虑（远，从长远）

2．名词作动词

①履至尊而制六合（ ） ②子孙帝王万世之业也（ ）

③然陈涉瓮牖绳枢之子（ ） ④执敲扑而鞭笞天下（ ）

⑤《过秦论》（ ）

3．形容词作动词

①且夫天下非小弱也（ ）

4．形容词作名词

①据崤函之固（ ） ②自以为关中之固（ ） ③尊贤而重士（ ） ④因利趁便（ ）

5．动词作名词

①追亡逐北（ ）

6．使动用法

①外连衡而斗诸侯（ ） ②会盟而谋弱秦 / 以弱天下之民（ ） ③约从离衡（ ） ④伏尸百万，流血漂橹（ ） ⑤吞二周而亡诸侯 / 山东豪俊遂并起而亡秦族矣（ ） ⑥却匈奴七百余里（ ） ⑦以愚黔首（ ） ⑧序八州而朝同列（ ）

五、特殊句式（指出句式特点）

1、自以为关中之固，金城千里，子孙帝王万世之业也。

2、然陈涉瓮牖绳枢之子，氓隶之人，而迁徙之徒也。

3、仁义不施而攻守之势异也。 4、一夫作难而七庙隳。

5、身死人手，为天下笑者，何也？ 6、谪戍之众

7、天下诸侯已困矣 8、尝以十倍之地。

9、南取百越之地，以为桂林、象郡。 10、百越之君，俯首系颈，委命下吏。

11、聚之咸阳。 12、铸以为金人十二。

13、临不测之渊，以为固。 14、蹑足行伍之间，而倔起阡陌之中。

15、身死人手。 16、信臣精卒陈利兵而谁何

17、仁义不施而攻守之势异也 18、崤函之固，自若也

19、伏尸百万 20、铸以为金人十二

21、金城千里 22、陈涉之位，非尊于齐、楚、燕、赵、韩、魏、宋、卫、中山之君也。

23、锄耰棘矜，非铦于钩戟长铩也。 24、谪戍之众，非抗于九国之师也。

六、名言名句

1．斩木为兵，揭竿为旗，天下云集响应，赢粮而景从。

2．一夫作难而七庙隳，身死人手，为天下笑者，何也？仁义不施而攻守之势异也。