知识点归纳

1.     求极限

2.1函数极限的性质P35

唯一性、局部有界性、保号性

P34 的充分必要条件是：

2.2 利用无穷小的性质P37：

定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。

例如： ,

2.3利用极限运算法则P41

2.4利用复合函数的极限运算法则P45

2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47

夹逼准则与单调有界准则，

，  ，，

，，，

，，，

，

2.6利用等价无穷小P55

当时，

 ，， ，，，

，，，0 为常数

2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64

如何求幂指函数的极限？P66

，

2.8洛必达法则P120

基本未定式：，，

其它未定式 ，，，，（后三个皆为幂指函数）

2.     求导数的方法

2.1导数的定义P77：

                     

左极限：

右极限：

定理1：在处可导的充分必要条件是：

2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、

复合函数的导数P87

2.3高阶导数P92

2.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P98

2.5函数的微分定义P100

2.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P103

3.求积分的方法

3.1原函数的定义、不定积分的定义P161

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2007-2008学年度第二学期微积分（Ⅱ）期中试题一 姓名： 班级： 学号：

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、Z?

1x?222?x?y?1的定义域为 22ln(2?x?y)

422、（xsinx??x)dx?

?1?

x2

3、lim?(1?cost)dt0

x?0x6?x3?y3

,(x,y)?(0,0） 2 2x?y

4、设f(x,y)? 则由定义可求得f'y(0,0)? 0 （x,y）=(0,0)

5、设Z?f(），其中f可微，则x

??yx?z?z?y? ?x?y

6、当?时，广义积分

1?x111?2?dx收敛

7、?f'(2x)dx?0

8、设z?x?y,则dz? yx

x?2z9、设dz?xydx?dy,则y?x?y2?

(1,1)

?2z? 10、设z?f(x,xy),其中f(u,v)有连续的二阶偏导数，则?y?x

二、单选题（每小题2分，共10分）

1、二元函数f(x,y)在点(x0,y0)可微的充分条件是函数在该点处（ ）

(A)有极限 （B）连续 (C)有连续偏导数 (D)偏导数存在

2、下列广义积分中，（ ）是收敛的

lnx1dx (C)?(D)dx (A)? (B)? ?2xxlnxee1xx1x(lnx)dx

蓝色地带工作室 - 1 - e??e??

?

2

3、设?f(x)dx?x2?c,则?f(?sinx)cosxdx?（ ）

2

(A)1 (B)?1 (C)?2

…… …… 余下全文

20##-20##学年度第二学期微积分（Ⅱ）期中试题一

姓名：                     班级：                     学号：        

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、的定义域为                

2、                

3、               

              

4、                         则由定义可求得           

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定积分基础知识点与方法总结

1. 知识网络

2.方法总结

(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限

(2)定积分几何意义：

①表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积

②表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数

(3)定积分的基本性质：

①

②

③

(4)求定积分的方法：

①定义法：分割—近似代替—求和—取极限

②利用定积分几何意义

③微积分基本公式

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复习第三节内容：

1.   可微的必要条件和充分条件。

2.   二元函数的全微分公式：

对于函数，有全微分

3.   三元函数的全微分公式：

对于函数，有全微分

多元复合函数的全微分

全微分形式不变性

多元复合函数的链式求导法则：

多元函数的全微分：

对于函数，有全微分

对于函数，有全微分

对于函数，有全微分

综上所述，可得：

多元复合函数的全微分：

对于函数，其中，，有全微分：

或

也可以这样说，不管是多元函数或者是多元复合函数，其全微分都是：

因此，求函数或的全微分时，只需求出和即可。所不同的是---和的求法不同。对于多元复合函数，要用多元复合函数的链式求导法则来求和。

多元复合函数的链式求导法则：

；

一、1. (11-7) 已知二元函数，则此函数的全微分        。

解析：本题考查的知识点是：

多元复合函数的全微分

      复合函数是可微的，其全微分为

 

      设，则（这两个属于具体函数）

      把看作常数，得：

     把看作常数，得：

      所以，此函数的全微分

一、1. (10-7) 已知二元函数，则此函数的全微分           。

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《微积分》(上)复习

第一部分(第一章,第二章) 函数、极限与连续

一、要求

二、题型与解法

三、补充练习

1. （洛必达）

2.  （洛必达或Taylor）

3.   （洛必达与微积分性质）

 

第二部分(第三章) 导数、微分及其应用

一、理论要求

二、题型与解法

三、补充练习

1.

2.曲线

3.

4.证明x>0时

 证：令

    

    

第三部分(第四章,第七章) 不定积分与定积分

一、理论要求

二、题型与解法

三、补充练习

1.

2.

3.

第四部分 (第五章)常微分方程

一、理论要求

二、题型与解法

三、补充练习

1.已知函数在任意点处的增量。(）

2.求的通解。（）

3.求的通解。（）

4.求的特解。（

 

 

 

第五部分补充

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微积分知识点：

第六章：定积分及其应用

1、变上限定积分函数求导，及其奇偶性的证明；

2、定积分的计算：带有绝对值的定积分计算，利用对称性计算；

3、定积分的应用：计算平面图形的面积；

第七章：无穷级数

1、判断级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛；

2、求幂级数的收敛半径；

3、将函数展开成幂级数形式；

第八章：多元函数

1、多元函数的定义域，求多元函数的表达式；

2、求多元函数的偏导数和高阶偏导数；

3、求多元函数的全微分；

4、求隐函数的偏导数和二阶偏导数；

5、求多元函数的极值和条件极值；

6、利用直角坐标计算二重积分；

7、利用二重积分计算平面图形的面积；

第九章 微分方程

1、求可分离变量的微分方程的通解；

2、求一阶线性微分方程的通解；

3、解可降阶的二阶微分方程。

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