（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Am

n.

An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?m?n? n?m!

规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cm

n.

n?n?1????n?m?1?Amn! C?n ??mm!m!n?m!Ammn

规定：C0

n?1

（4）组合数性质：

Cn?Cnmn?mm?101nn，Cm?Cm

n?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2

50. 解排列与组合问题的规律是：

例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?

2第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A2＝2种捆法

5第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 有A5＝120种排法

?共有2?120＝240种排法

例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

5第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A5=120种排法

2第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔) 有A6=30种插入法

?共有120?30＝3600种排法

例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？

5将5个人依次站成一排，有 A 5 种站法 5甲站在乙的右侧的机会跟乙站在甲的右侧 的机会一样大 所以 A 5 /2

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

?C22?4 ?P1?2?? C1015??

（2）从中任取5件恰有2件次品；

3?C210?4C6 ?P2??? 521?C10?

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

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1. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

2. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）

A. 42 B. 15

解析：可分成两类：

C. 19 D. 12

（2）中间两个分数相等

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 3.二项式定理 性质：

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

表示）

4. 随机事件之间的关系.

A B

的和（并）。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

（6）对立事件（互逆事件）：

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

5. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

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49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

   

   

   

   

    （2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

   

   

    （3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

   

   

   

   

  50. 解排列与组合问题的规律是：

    相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

     如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

    则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（    ）

    A. 24             B. 15             C. 12             D. 10

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排列组合

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有

m种不同的方法，…，在第n类办法中有mn不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2

种不同的方法，…，做第n步有mn 3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

113

解: 由分步计数原理得C4C3A4?288

练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

522

解： AAA?480

练习题：某人射击8枪，命中4枪，

4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序

有多少种？ 4

解A55A6

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然

3

后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A3

4

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排列组合

一.特殊元素和特殊位置优先策略

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置。先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___ 。 由分步计数原理得

练习1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原理可得共有

练习 :某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）

三.不相邻问题插空策略

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 种，好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种.

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排列组合问题的解题策略

排列组合综合问题的一般解题规律:

1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定：“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，所以分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，不论哪类办法都能将事情单独完成；而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，掌握分类和分步的基本技能，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。 下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一、特殊元素——优先考虑法。

对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。 例1、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（B ）。

A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个

例2． (19xx年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种． （72种）

二.正难则反——总体排除法。

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．

例3、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种． 故选C． A．140种 B．80种 C．70种 D．35种

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小学数学小组合作学习心得

新课程改革强调学生学习方式的转变。小组合作学习作为本次课程改革积极倡导的有效学习方式之一，因其具有使学生优势互补、形成良好人际关系，促进学生个性健全发展的优点，越来越多的老师在课堂教学过程中采用这一方法。但是，我们在教学实践及听课活动中发现，真正要将小组合作学习行之有效地开展，绝非易事。比如：有些合作小组一看就知道是为公开课而临时凑合的，在合作学习时，小组成员间不具备合作的心理倾向，无法进行有效的互动交流；有些小组的合作学习则成了学优生发挥自己潜能、表现自己才能的舞台，而相对而言的学困生则往往被忽视，无形中失去了思考、发言、表现的机会；有些小组合作学习，合作之前缺乏必要的前提准备就匆忙展开讨论，小组合作次序混乱，学生发言七嘴八舌，没有中心；有些小组合作学习的问题、内容过于简单，缺乏讨论、研究、交流的价值，学生在合作时无所事事，浪费课堂时间等等。导致这种低效的真正原因并不在于小组合作教学本身，而在于一些教师对小组合作学习缺乏正确的认识。

一、小组合作学习的实质

“小组合作学习是指学生在小组或团体中为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互助性学习。”（肖川：《新课程与学习方式变革》，北京师范大学教育学院）对于这个意义的理解，我认为应该有三层意 思：

1．小组学习任务的分配。在小组合作学习之前，教师要向学生说明：小组合作学习的重要性，学习的内容和目标是什么，怎样完成任务，评价的标准是什么（小组的任务完成得怎么样，个人的学习成果怎么样等）。与此同时，教师还要通过创设情境或提出有趣的富有挑战性的问题，激发学生学习的积极性；启发学生善于运用已有知识和经验解决问题，促进学习的迁移。

2．小组合作探究。每个小组明确了学习任务之后，各组根据任务分工进入合作探究阶段，每个学生根据自己的理解互相交流，形成小组的学习成果。期间教师要在组间巡视，针对学习过程中出现的各种问题及时引导，帮助学生提高合作技巧，并注意观察学生学习和人际关系等各方面的表现，做到心中有数。要让学习有一定困难的学生多思考、发言，保证他们达到基本要求；同时，也要让学有余力的学 生有机会发挥自己的潜能。

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