第27章  相似形    （要求深刻理解、熟练运用）

三  常识：

1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.

2．相似形有传递性；即：  ∵Δ₁∽Δ₂  Δ₂∽Δ₃   ∴Δ₁∽Δ₃

四、位似

1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．

第29章投影和视图知识点总结
知识点一：三视图
1．三种视图的内在联系
主视图 反映物体的_________；俯视图反映物体的________；左视图反映物体的_____ __．因此，在画三种视图时，主、俯视图要长对______，主、左视图要高_____ __，俯、左视图要_______．
2．三种视图的位置关系
一般地 ，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的______画出俯视图，在主视图的________画出左视图．
3．三种视图的画法
首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，其中看得见部分的轮廓线通常画成______线，看不见部分的轮廓线通常画成_______线．

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相似

【知识脉络】

             

【基础知识】

Ⅰ. 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。

   相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)。

Ⅱ. 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1）基本性质：

①；②．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，。

（2）换比性质(交换比例的内项或外项)：

Ⅲ. 平行线分线段成比例定理

   基础图形：

  

   定理：如上图，三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

   推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

Ⅳ. 相似三角形

（1）概念：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

注：

①  对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；

② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的；

③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样；

④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求

   对应边成比例。

（2）判定：

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

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初中数学九年级知识点总结：相似

一、目标与要求

1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．

二、知识框架

                                                                   

三、重点、难点

1．理解并相似三角形的判定与性质

2．位似图形的有关概念、性质与作图．

3．利用位似将一个图形放大或缩小．

4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．

5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

四、知识点、概念总结

1.相似：

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

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相似三角形基本知识

 (一)比例的性质

1.比例的基本性质:  比例式化积、积化比例式.

2.合、分比性质:分子加（减）分母,分母不变.

                       (k=1、2、3…)

应用: 

已知

证明:∵  ∴  ∴  ∴

3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变.

若则.

4.比例中项:若的比例中项.

(二)平行线分线段成比例定理

    1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.    已知l₁∥l₂∥l₃,       

                        A     D   l₁

                       B       E   l₂

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相似三角形基本知识

知识点一：放缩与相似形

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

       ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

       ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

       ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如

4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

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第27章  相似形    （要求深刻理解、熟练运用）

三  常识：

1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.

2．相似形有传递性；即：  ∵Δ₁∽Δ₂  Δ₂∽Δ₃   ∴Δ₁∽Δ₃

四、位似

1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．

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