高三推理证明与数学归纳法一轮复习

时间:2024.3.27

第十六模块  推理证明与数学归纳法

                            第一部分    合情推理与演绎推理

一、推理

二、推理分类

合情推理:前提为真,结论可能为真的推理

演绎推理:前提为真,结论必然为真的推理

合情推理的意义,可以根据条件猜测结论,为证明提供方向。

归纳推理:根据一类事物部分对象具有的性质推出这类事物所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理。

类比推理:根据两类事物A与B有某些性质P类似(或完全相同)。若A类事物还有性质q可猜测B事物也有q的性质。

例母鸡与母鸭都是家禽类,母鸭会下蛋,类比推理母鸡也会下蛋。

母鸡与母鸭都是家禽类,母鸭会游泳,类比推理母鸡也会游泳。

白母鸭与黑母鸭都是家禽类,白母鸭会游泳,类比推理黑母鸭也会游泳。

三段论推理:

大前提:一般性的判断,如性质,公理,定理,公式,已知常识等

小前提:已知条件

结论:由大前提和小前提推出的判断

例:用三段论推理证明下面问题

已知:AB//CD,

求证:∠1=∠2

大前提:两直线平行,同位角相等

小前提:∠1与∠2是同位角,

结论:∠1=∠2

第二部分   直接证明与间接证明

证明方法

一、综合法由因到果(略)

二、分析法:由果索因

若a,b,c是不全相等的正数,求证:

要想结论成立

只需成立

由于y=lgx在上为增函数

故这只需①成立

因为由于a,b,c是不全相等的正数故

所以a,b,c是不全相等的正数,所以等号取不到

所以①成立。

所以原命题正确

分析法套话:要想…成立

只需…成立

这只需…成立

即…成立(变形)

因为…所以…显然成立

所以原命题正确

练习:

设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca

试证:

证明:要想结论成立

只需成立①

这只需成立②

即需成立③

即需成立④

显然成立

分析:①④…

分析法的每一步只要找上一步成立的充分性条件即可

⑵是否存在常数c,使得不等式对任意的x,y恒成立?试证明你的结论

分析:特值法找到c,再利用分析法证明

三、反证法:

1、 证明格式:首先做出与问题结论相反的假设

从假设出发,经过推理论证得出矛盾

所以假设不成立,原命题正确

注:这里的矛盾指的是与已知的矛盾,与假设矛盾,与公理,性质,定理矛盾。

例已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

求证:a>0,b>0,c>0

师生活动:把“全(都)”,“不全(都)”,“至多”,“至少”化成恰好,找到原命题结论的否定结论。

A,b,c有3个数大于0,有0个数小于或等于0

a,b,c有2个数大于0,有1个数小于或等于0

a,b,c有1个数大于0,有2个数小于或等于0

a,b,c有0个数大于0,有3个数小于或等于0

从上面的分析可以看出,a,b,c全都大于0的反面是a,b,c至少有一个数小于或等于0

不妨设c≤0

由于abc>0故c≠0,故c<0以下略

第三部分  数学归纳法

一、数学归纳法证明步骤

1、 奠基步:验证时命题成立(是使命题成立的最小自然数)

2、 递推步:假设n=k时命题正确(此时默认时命题正确,所以这一步也叫做归纳假设)

验证n=k+1时命题正确

3、 综上:命题成立

二、数学归纳法类型题

(一)  等式问题

例求证:

分析:⑴当n=1(从哪看出来?)

左=?怎么算?两头代中间夹。

右=?两头代中间夹

∴左=右

∴n=1时命题正确

⑵假设n=k时命题正确。即

(把n换成k抄一遍)

当n=k+1时

左=?直接代入,再用“两头代中间夹”变形技巧把归纳假设找出来,用归纳假设证明问题。

右=?直接代入

∴n=k+1时命题正确

综上命题成立

证明:⑴当n=1时

左=1+1=2,右=

∴左=右

∴n=1时命题正确

⑵假设n=k时命题正确。即

当n=k+1时

左=

=右

∴n=k+1时命题正确

综上命题成立

㈡  不等式问题

用数学归纳法证明

证明:当n=2时

左=

右=2

∴左<右

∴n=2时命题正确

假设n=k时命题正确,即成立

当n=k+1时

左=

<k+1=右

∴n=k+1命题成立

命题成立

练习:1、用数学归纳法证明时,

㈢  数列问题

㈣  整除问题

是否存在正整数m使得对任何能被m整除?若存在,求出最大m的值,若不存在说明理由

解释“最大”的含义

例6,8,12能被1,2整除,其中最大的且能整除这3个数是2,这个 2也叫6,8,12最大公约数。其中本题“最大的m”指所有项的最大公约数

f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360

猜想m=36

下证能被36整除

证明:n=1时显然成立

假设n=k时命题成立,即能被36整除

当n=k+1时

由二项式定理

显然能被2整除

能被36整除

∴f(k+1)能被36整除

∴n=k+1时命题成立

综上命题成立

三常见问题

1、 投机取巧:奠基步不证明,例当时,左边=右边,所以时命题正确

2、 把归纳假设证明了

3、 格式不完整,缺少最后总结语

4、 推理中没有用到归纳假设。在变形中一定要把假设变出来再用假设证明问题。


第二篇:高三数学一轮复习建议


高三数学(理)一轮复习的建议 高考复习教学有没有效益,不是指教师有没有教完内容或教的认真与否,也不在于老师讲了多少题,学生做了多少题。而是指学生是否真正理解知识、规律,并掌握学习的基本思路和方法,包括解题的思路、方法等。最终的落脚点是学生在高考中能够取得好成绩! 如果学生学习没有收获或收获不大,如果学生学得很辛苦,但事倍功半,即使教师教得很辛苦也是低效甚至无效的教学,无用功太多。 所以,从学生的角度出发,高效复习是关键

1)要强化研究,明确目标,防止复习的盲目性。 教师要做好以下五个方面的研究:

① 要研究考试大纲和考试说明

在新的考试大纲和考试说明没下来之前,可参照新课标全国卷Ⅰ(黑龙江、吉林、宁夏、海南)、山东、广东、辽宁等省的考纲和我省下发的普通高中新课程教学指导的意见来进行复习。

② 要研究新课程高考试题

对于近三年的新课程高考试题特别是新课标全国卷Ⅰ、山东、广东、辽宁卷要重点研究,以明确其命题特点、趋势和与老课程相比出现的新变化。

③ 要研究教法、改进教法,加强学法指导,注重发挥学生的主体作用,创建高效课堂,切实提高复习课的效率。

在复习备考中,要创新课堂教学模式,努力提高课堂效率,创建高效课堂,实现有效复习和高效复习。教师要加强教学反思,避免无效教学行为。

学生已会的不讲,学生自己能学会的不讲,讲了学生也不会的不讲。一定要讲学生需要的,高考要求的,讲易错点、易混点和联系点 。特别是一轮复习中一定要力戒上课满堂灌、逐个知识点串讲的陈旧教法。

高效课堂要重视作业设计的有效性。作业应有针对性、探究性、层次性、开放性和典型性。切实做到适量布置、及时批改、集体讲评、个别辅导。力争不留死角,不留夹生饭。能否做到堂堂清,是创建高效课堂的关键。

目前,在全市范围内深化课堂教学改革,在教学和复习中推行学案式教学,上课前或上课时发给学生学案,让学生先按学案的要求去自主学习、探究、讨论、总结、练习,这将改变老师以讲为主、一讲到底,学生自主性学习的主动性、积极性得不到很好发挥的状况。 ④要研究学生,吃透学情

在进入高三复习后,要不断地对学情做调查,了解学生存在的薄弱环节、希望要求,总结复习备考的经验教训,及时调整复习方案。虽然教材在变,考试大纲在变,学生在变,但紧盯学生这个成熟的做法一定不能变。

⑤ 要深入研究新课程教材和加强专业知识学习

特别是原来没教过新课程现在教高三的教师要先熟悉新课程教材,并把新老教材做一下对比,明确有哪些是新增的,哪些是删去的,哪些是提法有变化的。教师一定要按新课程的要求去讲,不能按老教材的说法或者是自己熟悉的擅长的部分而新教材中已经淡化了的却

2)要狠抓基础,重视中低挡题,面向中等学生。

基本知识、基本技能、基本方法始终是高考试题考查的重点,要在切实重视基础知识的落实中重视对学生基本技能与基本方法的培养。使学生通过复习构建起知识网络,形成完整的知识体系,并通过中低档题强化训练,熟练掌握基本题型、基本方法,着眼于能

力的提高。切忌“高起点、高强度、高要求”的所谓“居高临下”。

另一方面,随着高校招生政策的实施,复习生人数的减少,分数线下降,“踩线生”的界定也随之变化,在一般学校中,中等程度的学生都应该划归此列。同时要注意突出学生的整体优势,对总分高而数学较差的学生应采取相应措施。

3)重新树立数学主干知识体系

xx年宁夏全卷(理科)

取消了传统高考卷对圆方程、三角函数的图象与性质、解三角形问题、复合函数性质及二项式定理等内容的考查;

降低了对函数性质、三角函数、不等式等内容的考查,把函数、不等式知识作为工具融入到其他数学问题的考查中;

重点突出了对数列、解析几何、立体几何与空间向量、概率统计、函数与导数等内容的考查,尤其几何内容的考查占全卷的三分之一左右。

从整体上改变了传统的高考数学主干知识体系,更应重视空间向量块知识的复习。 主干知识考查分析

1、函数与导数:

函数是高中数学的一条主线,是核心知识,对函数各种性态(奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值)的考查一定会保持较高比例。函数的性质及其图象、图象变换相结合的试题要重点关注,同时也不能忽视抽象函数问题及其解答策略,抽象函数常结合函数的单调性和奇偶性来作考查。在新课标教材中,几个新增的知识点还要注意:幂函数、零点、二分法,以它们为背景的试题也有可能出现。对反函数则降低了很多要求。

导数在新课标教材中又得到进一步的加强。 除了应重视导数的经典应用:求切法线方程、单调区间、极值与最值,还要重视导数的几何、物理方面的实际背景,会求一些实际问题的最值,利用导数研究方程根(零点)的个数、求恒成立不等式中的参数取值范围、证明不等式等都是命题的热点,体现了知识交汇与对导数知识的深入考查。

对定积分的考查,难度不大,最多出一道选择题或填空题。理科对复合函数的导数考查,仅限于内层函数是一次函数的情形,不可深挖。

2、三角函数

三角函数在新课标教材中有增有减,减的是三角函数的种类〔余切〕以及相关的基本公式,增的是三角的实际应用。新课标教材中三角共分为三个部分:三角函数、三角恒等变换、解三角形。考题大致可分为以下几类:与三角函数单调性有关的问题;应用同角变换和诱导公式求值、化简、证明的问题;与周期性、对称性有关的问题;解三角形及其应用问题等等。解三角形可能会放在测量、航海等实际背景中去考查(会出应用题),以体现新课标强调应用性的理念。以往繁琐的三角函数式的变形估计不会再考,对这一部分的考查一般都会作为基础题出现,难度中等偏易。要继续高度重视解三角形及其应用题。

3、立体几何

立体几何的考查重在空间想象能力、三视图的识图能力和逻辑推理能力。在新课标高考中,立体几何部分,文、理考查要求差异较大,由于文科不再学习空间向量,所以对空间角的考查基本不作要求,而侧重垂直、平行关系的证明以及面积、体积和距离的计算,难度有所降低。理科则加强了空间向量的内容,加强了空间向量在立体几何中的应用,除了垂直、平行关系的证明,求空间角与距离仍是重点考查目标之一 。

4、解析几何

在新课标高考中,文、理科解析几何的考查要求有微妙的差异:文科更加重视直线与圆、椭圆,理科更侧重于椭圆与抛物线,双曲线一般都是了解层次(感觉不会在大题中出现)。 理科应注意解析几何考查的内容在悄悄地发生变化,既有探求曲线的轨迹方程问题,更追求与其他知识的综合。解析几何中有六大重点问题:轨迹问题、位置关系问题、最值问题、对称问题、定点定值问题与参数的取值范围问题,这几乎涵盖了解析几何中所有重要知识与思想方法,依然是考查的重点、热点。

5、不等式

在新课标必修教材中,不等式有所减弱,但选修教材中,却增加了推理与证明、不等式选讲。由此可见,不等式部分的内容其实并没有减弱太多。不等式重点考查有四种题型: 解不等式,证明不等式,不等式的应用(往往结合均值不等式、线性规划等知识),不等式的综合性问题。 不等式可以与许多知识交汇融合,如与函数、方程、数列相结合、含参不等式的恒成立问题等,借助不等式来考查学生的综合能力与应用意识,考查不等式论证过程中的放缩法及放缩中的“度”的把握也是历年高考命题的热点、难点之一。

6、数列

在新课标高考数学考试说明中,对数列的考查要求似乎降低了,但求通项、求和,错位相减法求和,利用Sn和an之间的关系解题仍是考查的重点。递推数列是近年高考命题的热点之一,但在新课标与高考数学考试说明中却没有提及,可是除了宁夏卷外,其他新课标高考省份依然对它进行了考查。

7、概率统计

在新课标教材中,理科概率统计的内容有所加强 。增加的主要内容有:几何概型、二项分布、超几何分布、条件概率、统计案例等。重点不仅考查随机变量的分布列及其数学期望(均值)、方差,也有可能对新增的几何概型、线性回归等进行考查,同时新课标更加强调数学应用,所以以统计为载体,考查统计知识中的基本思想及初步应用也是新课标卷命题的一个变化 。

8、向量

向量是新增的重点内容之一,它具有代数与几何双重属性,作为表述工具,能与三角、函数、解析几何、立体几何自然交汇。向量作为代数与几何的联系纽带,理应发挥其在探究坐标运算与动点轨迹、曲线方程、空间角与距离的计算等方面的功能与优势。向量将不再停留在问题的表述语言水平上,其综合性、工具性程度的考查将会逐渐增强。向量和平面几何结合的客观题仍然是高考命题的一个亮点。

4)注意新增考试内容的复习,把握深、难尺度

从宁夏20xx年的试卷来看,突出了对教材新增内容的考查,总分值达27分之多,这里还不包括高三选修内容的10分,高三备考复习中应对新增内容如算法、三视图、积分、统计等部分内容予以一定程度的重视。至于其他新增内容如二分法、函数的零点、变量相关性、常用逻辑、回归分析与独立性检验、推理与证明等新增内容也要予以一定的关注。这些内容从总体来看比较基础,要面铺开,但点不要挖的深。

建议一:抓新增主干

新课程的主干知识已在过去的代数几何为主干的基础上增加了统计与概率

理科不仅以必修部分的统计为主体,重点关注离散型随机变量分布列、二项分布的复习,还要关注统计案例中的回归分析,2×2列联表。

建议二:抓新增热点

算法、三视图每年的宁夏卷都设计了考题,因此对于这部分内容要重点加以关注!同时值得注意的是,考生对于算法内容相对于教师要容易接受的多,在实践中,考生最不感到困难的就是算法。

复习时应重点结合统计知识与数列及数列求和知识,重点体会算法思想。

三视图的复习中,关注易陷入陷阱的图形特征和逆向思考的问题。同时要让考生熟记一些常见图形及其三视图。

建议三:抓落实概念

新增内容中,绝大部分与概念有关。因此对于这部分内容的概念进行梳理落实显得尤为重要!如零点的概念、定积分的概念,一旦考的话首先面对的就是概念。此外,在统计中,也有相当多的概念和公式以及一些统计量的意义都需要在备考时回归课本加以梳理。事实上,单纯地做题并不能很好地落实概念理解。

建议四:改变旧观念

对于考纲中的“了解”、“理解”“掌握”等行为动词要再认识。要从知识在整个学科体系中的定位中理解。在我们原有观念中,总认为要求为“了解”的知识不能作为解答题来考查,这是一个误区。宁夏新课程四年的命题实践改变了这一认识。如宁夏20xx年2×2列联表与独立性检验。从考查要求上看似乎是重心,是难题。但静下心来看,这部分知识解决需要的不过是基本的代数运算。难度就在于数学符号与公式。

5)重视选修4系列的教学与备考复习

选修4-1几何证明选讲,选修4-5不等式选讲,试卷分值至少10分,而且所考的题目学生很容易作答,是学生应该容易得到的分数。所以应对高三选修内容的学习与备考复习予以一定的重视,确保高考学生应得分数。

6)淡化特殊技巧,注意通性通法

高考的宗旨是考查高中数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法。近几年的宁夏高考试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向。因此,在复习中要注重基础知识,充分体会通性通法在解题中的作用,系统掌握知识间的内在联系,舍弃偏、难、怪习题,淡化特殊技巧。过多的“玩技巧”,这样会使成绩好的学生“走火入魔”,成绩差的学生“信心尽失”。

7)处理好教材与复习资料的关系

脱离教材是不行的:教材是精品,把握了教材,也就切中了要害。不仅要深刻理解教材中的知识,更要关注教材中解决问题的思想方法,还要全面把握知识体系。教材体现了数学知识的基础性和系统性,回归教材,但不拘泥于教材。

仅有教材是不够的:缺乏知识综合性。

分析近年来宁夏高考试卷不难发现,许多试题都能在教材中找到它们的“影子”,不少高考题就是对教材原题的变形、改造及综合,有的是类似题,有的是变式题。复习阶段要站在系统的高度上重新审视教材。

但一定不能为了高度而抛弃了课本,抛弃了基础。

8) 不搞题海取胜,要注重题目的质量和处理水平。

采取题海战术、猜题押题等手段考试,其结果是步入了“低效率、重负担、低质量”的恶性循环的怪圈。

“量不在多,典型就行,题不在难,有思想就灵”。应该控制总题量,不依靠题海取胜。当处理的题目达到一定的数量后,决定复习效益的关键性因素就不再是题目的数量,而在于题目的质量和处理水平。

9)注意数学应用问题

《新课程标准》和《考试说明》中都指出:要增强用数学的意识,在教学中着重培养学生通过对背景材料,进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理,运用已有的知识将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型的能力。指导学生对函数模型、数列模型、不等式模型、几何模型、计数模型等几种常见的数学模型进行归纳整理,用好这几种数学模型。

10)加强规范化训练,尽可能地减少非智力因素的失分机率。 “规范”是提高学生高考得分率的关键。它包括两个层面:

教师方面:规范选题、规范印制试卷、规范作题时间、规范评改、规范地评讲、指导。 学生方面:规范地思考、规范地书写、规范地运算。

师生双方共同努力,让学生养成“规范”的良好习惯。

?三角函数(必修4.1) ?集合(必修1.1.1)?? ?常用逻辑用语(选修2?1.1)?三角恒等变形(必修4.3) ?函数概念与基本初等函数(必修1)?)??解三角形(必修5.1 ? ?导数应用、定积分(选修2?2)?数列(必修5.2)? ?平面向量(必修4.2)?不等式(必修5.3)? ?)?不等式选讲(选修4?5) ?数系扩充与复数(选修2?2.3?推理与证明(选修2?2.2)? ) ?统计与统计案例(必修3.2、选修2?3.3

?)?计数原理(选修2?3.1 ?概率、随机变量及其分布(必修3、选修2?3.2) ? )?立体几何初步(必修2.1?平面解析几何初步(必修2.2) ? ?空间向量与立体几何(选修2?1.3)?圆锥曲线与方程(选修2?1.2)? ?几何证明选讲(选修4?1)?

算法初步(必修3.1)?平面解析几何初步(必修2.2)??圆锥曲线与方程(选修2?1.2)

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