教学目标:
1、进一步理解的概念,能从简单的实际事例中,抽象出关系,列出解析式;
2、使学生分清常量与变量,并能确定自变量的取值范围.
3、会求值,并体会自变量与值间的对应关系.
4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量的取值范围的求法.
5、通过的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.
教学重点:了解的意义,会求自变量的取值范围及求值.
教学难点:概念的抽象性.
教学过程:
(一)引入新课:
上一节课我们讲了的概念:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的.
生活中有很多实例反映了关系,你能举出一个,并指出式中的自变量与吗?
1、学校计划组织一次春游,学生每人交30元,求总金额y(元)与学生数n(个)的关系.
2、为迎接新年,班委会计划购买100元的小礼物送给同学,求所能购买的总数n(个)与单价(a)元的关系.
解:1、y=30n
y是,n是自变量
2、 ,n是,a是自变量.
(二)讲授新课
刚才所举例子中的,都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.
例1、求下列中自变量x的取值范围.
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
分析:在(1)、(2)中,x取任意实数, 与 都有意义.
(3)小题的 是一个分式,分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ,因此要求 .
同理(4)小题的 也是分式,分式成立的条件是分母不为0,这道题的分母是 ,因此要求 且 .
第(5)小题, 是二次根式,二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 .
同理,第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数,
.
解:(1)全体实数
(2)全体实数
(3)
(4) 且
(5)
(6)
小结:从上面的例题中可以看出的解析式是整数时,自变量可取全体实数;的解析式是分式时,自变量的取值应使分母不为零;的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数大于、等于零.
注意:有些同学没有真正理解解析式是分式时,自变量的取值应使分母不为零,片面地认为,凡是分母,只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么?然后再要求分式的分母不为零.求出使成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.
但象第(4)小题,有些同学会犯这样的错误,将答案写成 或 .在解一元二次方程时,方程的两根用“或者”联接,在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力,教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里 与 是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.
第二篇:函数教学教案
1、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。
2、若函数 既是奇函数又是偶函数,则 恒等于零,这样的函数有无数个。
3、如果点 是原函数图象上的点,那么点 就是其反函数图象上的点。
4、反函数的相关性质:
(1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性,单调区间不一定相同;
(2)定义域上的单调函数必有反函数;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件)
只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件)
(3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外);
(4)周期函数不存在反函数;
(5)若 是连续单调递增函数,则" 与 的图象有公共点" " 的图象与直线 有公共点" "方程 有解";
(6)若 为增函数,则 与 的图象的交点必在直线 上;
(7)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称;
(8)函数 与 的图象关于直线 对称。
5、两个函数相同,当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。
6、 对 恒成立 或 其中 。
7、二次函数的三种表现形式:
(1)一般式 ;
(2)顶点式: 其中 为抛物线顶点坐标;
(3)零点式: 其中 、 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。
8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比:
(1) 在 的定义域上恒成立 ;
(2) 在 的定义域上恒成立 ;
(3) 在 的定义域上有解 ;
(4) 在 的定义域上有解 。
某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。
9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明:
(1)若 恒成立,则M不一定为 的最大值。若 恒成立,则不一定为 的最小值;
(2)若 恒成立,则 为的最大值,若 恒成立,则 为的最小值。
10、函数 的最小值为 。
11、重要工具函数 的性质:不妨设
(1) 时,函数在区间 上单调递增;
(2) 时,函数在区间 上单调递减,在区间 上单调递增。
12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系:
类型之一:线线型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于直线 与 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。
(2)若函数 为偶函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。
类型之二:点线型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于点 和直线 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是函数 在 上的一个周期。
(2)若函数 为偶函数,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。
(3)若函数 为奇函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。
类型之三:点点型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于相异两点 、 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。
(2)若函数 为奇函数,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。
13、由函数方程推导函数周期的常见类型:
(1)若函数 满足 ,则 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(2)若函数 满足 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(3)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(4)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(5)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。
(6)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。
(7)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。
(8)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。
(9)若 是函数 的任意一个周期,则 的相反数 也是 的周期; 也是 的周期;若 都是 的周期,且 ,则 也是 的周期。
说明:对于(1)~(5),其代换函数,有如下特点:原函数与反函数相同,代换两次能够还原。如: 都是原函数与反函数相同的函数,即 。可见本章-24。
14、函数图象的自身对称问题:
(1)偶函数的图象关于轴对称;(轴对称)
(2)奇函数的图象关于原点对称;(中心对称)
(3)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于直线 对称;( ,即:"取平均值",与的值无关)
(4)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于点 中心对称;
(5)定义在 上的函数 ,若满足 (或 ),则函数 的图象关于点 中心对称。
15、两函数图象间的对称问题:
(1)定义在 上的函数 与函数 的图象关于直线 对称;(其对称轴方程 由 解得,与的值有关)
(2)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;
(3)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;
(4)特别地:
①函数 关于x轴对称的函数为:
②函数 关于轴对称的函数为:
③函数 关于原点对称的函数为:
④函数 关于 对称的函数为:
⑤函数 关于 对称的函数为:
⑥函数 关于直线 轴对称的函数为: ;
⑦函数 关于直线 轴对称的函数为: ;
⑧函数 关于点 中心对称的函数为: 。
16、若函数 为奇函数,且定义域为 ,则必有 。若函数 是偶函数,那么 。
17、基本的函数图象变换:
(1)要作 的图象,只须将 的图象向上( 时)或向下( 时)平移 个单位;
(2)要作 的图象,只须将 的图象向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;
(3)要作 的图象,可先作函数 的图象,然后将 轴上方部分保持不变, 轴下方部分沿 轴对称上翻即可;
(4)要作 的图象,只需保留 在 轴右边的图象(擦去 轴左边的图解),然后将 轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意 是偶函数)。
(5)要作 的图象,只须将 的图象作关于直线 对称,也可以将 的图象先作关于轴对称,再向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;
18、对称轴的斜率为 时的对称变换:
(1)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(2)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(3)点 关于直线 的对称点为 ;
(4)点 关于直线 的对称点为 。
19、函数 按向量 平移后的函数表达式为: ;
20、判断 符号可以1为分界点,当 在1的同侧( 或 )时, ;当 在1的两侧时, 。可以概括为:"同向为正,异向为负"
21、关于函数 的定义域为 或值域为 的问题:
(1)若其定义域为 ,则须 在 上恒成立,问题等价为:或 其中 ;或 其中 。
22、当且仅当 时,函数 与函数 的图象相切于直线 上的点 。
23、一次分式函数 的相关性质:
(1)定义域: ;
(2)值域: ;
(3)图像:双曲线线;
(4)渐近线: ;
(5)对称中心: ;
(6)单调性:①当 , 单调递减, 单调递减;
②当 , 单调递增, 单调递增;
特别地:当 ,即 时,函数 和其反函数 为同一函数。也即函数 的图像关于直线 对称。
24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题
一般地,形如: ,其中 已知,要求 的解析式,通常的做法为:用 去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,则可以得到: ,再将此式与原式联立,消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的关键在于: ,此式说明 必满足,原函数与反函数为同一函数。例如: , , 等。
25、抽象函数中的相关问题
(1)奇偶性的判断
①若 ( ),则 为奇函数;
②若 ( ),则 为奇函数;
③若 ( ),则 为偶函数;
④若 ( ),则 为奇函数;
⑤若 ,则 为偶函数。
(2)单调性的判断
① ;(作差比较函数值)
② 。(作差比较函数值)
26、求函数值域的类型与方法归类
(1)直接法,直接观察,根据式子的结构特征得出值域。
(2)配方法,适用于二次型函数: 。
(3)反函数法,分离x或关于x的表达式,求的范围,形如: 等形式。
(4)判别式法,适用于二次分式函数: 。
(5)均值不等式法,适用于: ,注意一正二定三相等。
(6)换元法,适用于: ,可令 则 ,转化为二次型。
三角换元法,含 结构的函数中可 。
(7)单调法,利用导数求得函数的单调区间和极值,得到值域。
(8)数形结合法,转化成相应的几何意义,如:距离,斜率,角度等。