《二元一次方程与一次函数》教案

时间:2023.11.3

  一、学情分析:

  学生能够正确解方程(组),掌握了一次函数及其图像的基础知识,能够根据已知条件准确画出一次函数图象,已经具备了函数的初步思想,在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识,有小组合作学习经验.

  二、 学习目标:

  本节课通过探索“方程”与“函数图像”的关系,培养学生数学转化的思想,通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系,使学生初步建立了“数”(二元一次方程)与“形”(一次函数的图像)之间的对应关系,进一步培养了学生数形结合的意识和能力.因此确定本节课的教学目标为:

  1.初步理解二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系;

  2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系,通过对两种模型关系的理解解决问题;

  3.发展学生数形结合的意识和能力,使学生在自主探索中学会不同数学模型间的联系.

  教学重点

  二元一次方程和一次函数的关系,二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系;

  教学难点

  通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识.

  四、教法学法

  1.教法学法

  启发引导与自主探索相结合.

  2.课前准备

  教具:多媒体课件、三角板.

  学具:铅笔、直尺、练习本、坐标纸.

  五、教学过程

  第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系

  1. 某水箱有5吨水,若用水管向外排水,每小时排水1吨,则X小时后还剩余Y吨水.

  (1) 请找出自变量和因变量

  (2) 你能列出X,Y的关系式吗?

  (3) X,Y的取值范围是什么?

  (4) 在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.(注意XY的取值范围).

  2.(1)方程x+y=5的解有多少个?你能写出这个方程的几个解吗?

  (2).在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数Y=5-X的图象上吗?

  (3).在一次函数y=?x?5的图像上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?

  (4).以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=?x?5的图像相同吗?

  x+y=5与 y=?x?5表示的关系相同

  一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.

  目的:通过设置问题情景,让学生感受方程x+y=5和一次函数y=?x?5相互转化,启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.

  前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系,现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系.顺其自然进入下一环节.

  第二环节 自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系

  探究方程与函数的相互转化

  1.两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元

  一次方程组的解

  (1)一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5,那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程?

  (2)两个函数的交点坐标适合哪个方程?

  ?x?y?5(3).解方程组?验证一下你的发现。 2x?y?1?

  练习:随堂练习1 。巩固由一次函数的交点坐标找相应的二元一次方程组的解。

  2.二元一次方程组的解是相应的两个一次函数图象的交点坐标。

  ?x?y?2(1)解?

  ?2x?y?5(2)以方程x+y=2

  (3)以方程2x+y=5(4)方程组的解为坐标的点在图象上是哪个点?

  (5目的:通过自主探索,使学生初步体会“数”(二元一次方程组的解)与“形”(两条直线)两种模型之间的对应关系,

  由学生自主学习,十分自然地建立了数形结合的意识,学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理,反之“形”的问题可以转化成“数”来处理,培养了学生的创新意识和变式能力.

  练习:知识技能1。巩固由方程组的解求相应的一次函数的交点坐标。更深入的体会二元一次方程组的解与一次函数交点坐标之间的对应关系。

  第三环节模型应用

  1.某公司要印制产品宣传材料.

  1500元制版费. 甲印刷厂:每份材料收1元印制费, 另收 乙印刷厂:每份材料收2.5元印制费, 不收制版费.若公司要印制x份宣传材料,y甲表示甲印刷厂的费用,y乙表示乙

  印刷厂的费用。

  (1) 请分别表示出两个印刷厂费用与X的关系式。

  (2) 在同一直角坐标系中画出函数的图象。

  (3) 如何根据印刷材料的份数选择印刷厂比较合算?

  第四环节 模型特例

  想一想

  内容:在同一直角坐标系内, 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象(教材

  ?x?y??1124页图5-2)有怎样的位置关系?方程组?解的情况如何?你发现了什x?y?2?

  么?

  二元一次方程的解和相应的两条直线的关系2.

  (1)观察发现直线平行无交点;

  (2)小组研究计算发现方程组无解;

  (3)从侧面验证了两直线有交点,对应的方程组有解,反之也成立;

  (4)归纳小结:两平行直线的k相等;方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。

  目的:进一步揭示“数”与“形”转化关系.通过想一想,将两直线的另一种位置关系:平行与方程组无解相结合,这是对第二环节的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法,有利于培养学生全面考虑问题的习惯.

  进一步培养了学生数形结合的意识和能力,充分展示了方程与函数的相互转化.进一步挖掘出两直线平行与k的关系。

  效果:加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象,培养了学生的计算能力和数学转化的能力,使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性.

  第五环节 课堂小结

  内容:以“问题串”的形式,要求学生自主总结有关知识、方法:

  1.二元一次方程和一次函数的图像的关系;

  以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;

  一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.

  2.方程组和对应的两条直线的关系:

  方程组的解是对应的两条直线的交点坐标;

  两条直线的交点坐标是对应的方程组的解;

  第六环节 作业布置

  习题5.7


第二篇:一次函数与二元一次方程教案


  一、教材分析

  1、教材的地位和作用

  函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程(组)与不等式,使学生不仅能加深对方程(组)、不等式的理解,提高认识问题的水平,而且能从函数的角度将三者统一起来,感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程(组)关系的探究,学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值,这对今后的学习有着十分重要的意义。

  2、教学重难点

  重点:一次函数与二元一次方程(组)关系的探索。

  难点:综合运用方程(组)、不等式和函数的知识解决实际问题。

  3、教学目标

  知识技能:理解一次函数与二元一次方程(组)的关系,会用图象法解二元一次方程组。

  数学思考:经历一次函数与二元一次方程(组)关系的探索及相关实际问题的解决过程,学会用函数的观点去认识问题。

  解决问题:能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)解决相关实际问题。

  情感态度:在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神,在师生、生生的交流活动中,学会与人合作,学会倾听、欣赏和感悟,体验数学的价值,建立自信心。

  二、教法说明

  对于认知主体——学生来说,他们已经具备了初步探究问题的能力,但是对知识的主动迁移能力较弱,为使学生更好地构建新的认知结构,促进学生的发展,我将在教学中采用探究式教学法。以学生为中心,使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。

  三、教学过程

  (一)感知身边数学

  学生已经学习过列方程(组)解应用题,因此可能列出一元一次方程或二元一次方程组,用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究,我自然地提出问题:“一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢?”,从而揭示课题。

  [设计意图]建构主义认为,在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此,用“上网收费”这一生活实际创设情境,并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说,努力给学生造成“心求通而未能得,口欲言而不能说”的情势,从而唤起学生强烈的求知欲,使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。

  教学引入

  师:教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话:把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条,按动画所示进行折叠处理。

  动画演示:

  场景一:正方形折叠演示

  师:这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规,我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

  [学生活动:各自测量。]

  鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较,找出共同点。

  讲授新课

  找一两个学生表述其结论,表述是要注意纠正其语言的规范性。

  动画演示:

  场景二:正方形的性质

  师:这些性质里那些是矩形的性质?

  [学生活动:寻找矩形性质。]

  动画演示:

  场景三:矩形的性质

  师:同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。

  [学生活动;寻找菱形性质。]

  动画演示:

  场景四:菱形的性质

  师:这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

  及时提出问题,引导学生进行思考。

  师:根据这些性质,我们能不能给正方形下一个定义?怎么样给正方形下一个准确的定义?

  [学生活动:积极思考,有同学做跃跃欲试状。]

  师:请同学们回想矩形与菱形的定义,可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

  学生应能够向出十种左右的定义方式,其余作相应鼓励,把以下三种板书:

  “有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

  “有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

  “有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

  [学生活动:讨论这三个定义正确不正确?三个定义之间有什么共同和不同的地方?这出教材中采用的是第三种定义方式。]

  师:根据定义,我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

  (二)享受探究乐趣

  1、探究一次函数与二元一次方程的关系

  [设计意图]用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系,为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。

  2、探究一次函数与二元一次方程组的关系

  [设计意图]学生经过自主探索、合作交流,从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系,真正掌握本节课的重点知识,从而在头脑中再现知识的形成过程,避免单纯地记忆,使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励,充分肯定学生的探究成果,关注学生的情感体验。

  (三)乘坐智慧快车

  例题:我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0。1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0。05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算?

  [设计意图]为培养学生的发散思维和规范解题的习惯,引导学生将上网问题延伸为例题,并用问题:“你家选择的上网收费方式好吗?”再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究,使学生有效地理解本节课的难点,体会数形结合这一思想方法的应用。

  (四)体验成功喜悦

  1、抢答题

  2、旅游问题

  [设计意图]抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征,用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动,并在抢答中品味成功的快乐,提高思维的速度。在学生感兴趣的旅游问题中,进一步培养学生应用数学的意识,更好地促进学生对本节课难点的理解和应用,帮助学生不断完善新的认知结构。

  (五)分享你我收获

  在课堂临近尾声时,向学生提出:通过今天的学习,你有什么收获?你印象最深的是什么?

  [设计意图]培养学生归纳和语言表达能力,鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。

  (六)开拓崭新天地

  1、数学日记

  2、布置作业

  [设计意图]新课程强调发展学生数学交流的能力,用数学日记给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式,以体现评价体系的多元化,并使学生尝试用数学的眼睛观察事物,体验数学的价值。作业由必做题和选做题组成,体现分层教学,让“不同的人在数学上得到不同的发展”。

  四、教学设计反思

  1、贯穿一个原则——以学生为主体的原则

  2、突出一个思想——数形结合的思想

  3、体现一个价值——数学建模的价值

  4、渗透一个意识——应用数学的意识

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