函数是高考数学的基础，又是重难点。下面是小编整理的一些函数必考知识点，欢迎阅读。

　　函数必考知识点汇总

　　一次函数

　　一、定义与定义式

　　自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　　即：y=kx (k为常数，k≠0)

　　二、一次函数的性质

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)

　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　　三、一次函数的图像及性质

　　1.作法与图形：通过如下3个步骤

　　(1)列表;

　　(2)描点;

　　(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

　　因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

　　(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

　　2.性质：

　　(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

　　(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

　　3.k，b与函数图像所在象限：

　　当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

　　当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b>0时，直线必通过一、二象限;

　　当b=0时，直线通过原点

　　当b<0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

　　四、一次函数在生活中的应用

　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

　　s=vt。

　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

　　设水池中原有水量S。

　　g=S-ft。

　　二次函数

　　一、定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax²+bx+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。)

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　二、二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?) [仅限于与x轴有交点A(x?，0)和 B(x?，0)的抛物线]

　　三、二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　四、抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。

　　对称轴为直线

　　x= -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　反比例函数

　　形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。

　　由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。

　　知识点：

　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

　　2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。

　　(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)

　　对数函数

　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数 的反函数。

　　因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　　对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　　(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

　　(2)对数函数的值域为全部实数集合。

　　(3)函数总是通过(1，0)这点。

　　(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

　　(5)显然对数函数无界。

　　指数函数

　　指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

　　可以得到：

　　(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　(3) 函数图形都是下凹的。

　　(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

　　(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

　　其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

　　(7) 函数总是通过(0，1)这点。

　　(8) 显然指数函数无界。

　　奇偶性

　　一、定义

　　一般地，对于函数f(x)

　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

　　(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

　　二、奇偶函数图像的特征

　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

　　f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

　　点(x,y)→(-x,-y)

　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

　　偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

　　三、奇偶函数运算

　　1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.

　　2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.

　　3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

　　4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

　　5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

　　6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

　　值域

　　一、名称定义

　　函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

　　常用的求值域的方法

　　(1)化归法

　　(2)图象法(数形结合)

　　(3)函数单调性法

　　(4)配方法

　　(5)换元法

　　(6)反函数法(逆求法)

　　(7)判别式法

　　(8)复合函数法

　　(9)三角代换法

　　(10)基本不等式法等

　　二、关于函数值域误区

　　定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。

　　平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。

　　然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

　　如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

　　才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

　　三、“范围”与“值域”相同吗?

　　“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

　　“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。

　　也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

　　临近考试，各科都会对知识点进行总结，那么，以下是小编给大家整理收集的函数的知识点总结，内容仅供参考。

　　函数的知识点总结：

　　一、函数的单调性

　　在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

　　f′(x)≥0f(x)在(a，b)上为增函数.

　　f′(x)≤0f(x)在(a，b)上为减函数.

　　二、函数的极值

　　1、函数的极小值：

　　函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

　　2、函数的极大值：

　　函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

　　极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

　　三、函数的最值

　　1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

　　2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

　　四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法

　　1、确定函数f(x)的定义域;

　　2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;

　　3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

　　4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

　　五、求函数极值的步骤

　　1、确定函数的定义域;

　　2、求方程f′(x)=0的根;

　　3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;

　　4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况.

　　六、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

　　1、求函数在(a，b)内的极值;

　　2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);

　　3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

　　特别提醒：

　　1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.

　　2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.

　　3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.