用拼图理解乘法公式

　　初中生对符号的抽象性把握不够，乘法公式只能凭法则加以推算，学生对法则的将信将疑无以验证，拼图的出现无疑是一场及时雨，不仅可以使学生头脑中的疑雾顿散，而充分体现、渗透了数形结合的数学思想。请看下面几例：

　　一、用拼图理解公式的几何意义

　　理解1 将边长为a的正方形纸片的剪出一个边是为b

　　理解2 将边长分别a、b的两个正方形和长宽为a、b的两个全等矩形拼成一个正方形。(1)怎样拼?(2)用不同形式表示拼成正方形面积，你觉得以此可验证什么公式?

　　分而算之： 总而算之：

　　理解3 将大小相同的4块长、宽分别为a、b(ab)长方形纸片拼成如图形状，从中你能发现(a+b)2与(a-b)2关系吗?

　　事实上，大正方形边长为a+b，小正方形边长为a-b，

　　大正方形面积 =(a+b)2，小正方形面积 =(a-b)2

　　(a+b)2 = (a-b)2+4ab，或者(a+b)2 -4ab = (a-b)2或者(a+b)2 -(a-b)2=4ab

　　二、典例剖析

　　例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(ab)，再沿虚线剪开,如

　　图1(1)，然后拼成一个梯形，如图1(2)，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是( ).

　　A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2

　　C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a-b)2

　　分析：从这个题目的条件中可以看出，把图1(1)图形经过剪切成为第图1(2)图形，得到一个等腰梯形，它的面积为(上底+下底)高2，上底为2b，下底为2a，高为a-b，所以面积为：(2b+2a)(a-b)2=a2-b2，所以答案为：A.

　　例2如图2(1)，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即_____.

　　若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式：_____.

　　如图2(2)，大正方形的面积可以表示为____，也可以表示为S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S=____，.从而验证了完全平方公式：_____ .

　　分析：本题考查利用图形解释平方差和完全平方公式，体现数形几何思想。

　　如图2(1)，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2-b2;

　　若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.

　　如图2(2)，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.

　　第9章 从面积到乘法公式 课时分配 本课（章节）需 1 课时

　　本 节 课 为 第 1 课时

　　为 本 学期总第 课时

　　数学活动 拼图公式

　　教学目标

　　1．经历不同的拼图方法验证公式的过程，在此过程中加深对因式分解、整式运算、面积等的认识。

　　2．。通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系，每一部分知识并不是孤立的。

　　3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。

　　4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。

　　重 点

　　1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对因式分解、整式运算、面积等的认识。

　　2．通过拼图验证公式的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

　　难 点 利用数形结合的方法验证公式

　　教学方法 动手操作，合作探究 课型 新授课 教具 投影仪

　　教 师 活 动 学 生 活 动

　　情景设置：

　　你已知道的关于验证公式的拼图方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让学生回想前面拼图。）

　　新课讲解：

　　把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子。美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图（由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个新的图形）得出：c2 = a2 + b2他的证法在数学史上被传为佳话。他是这样分析的，如图所示：

　　教师接着在介绍教材第94页例题的拼法及相关公式

　　提问：还能通过怎样拼图来解决以下问题

　　（1） 任意选取若干块这样的硬纸片，尝试拼成一个长方形，计算它的面积，并写出相应的等式；

　　（2） 任意写出一个关于 a、b的二次三项式，如a2 + 4ab +3b2

　　试用拼一个长方形的方法，把这个二次三项式因式分解。

　　这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图过程中进行交流合作

　　了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证的情况。教师在巡视过程中，及时指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证公式的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。

　　小结：

　　从这节课中你有哪些收获？

　　（教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言，只要是学生的感受和想法，教师要多鼓励、多肯定。最后，教师要对学生所说的进行全面的总结。）

　　学生回答

　　a（b +c +d）= ab +ac +ad

　　（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd

　　（a+b）2 =a2 +2ab+b2

　　学生拿出准备好的硬纸板制作

　　给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。

　　作业 第95页第3题

　　板 书 设 计

　　复习 例1 板演