导数题型归纳总结[1]

　　导数基础知识(课本+资料的)不用我多说

　　导数题型(6种)

　　1.导数与切线问题(正逆方向,下同：比如求切线与给切线求参)

　　2.导数与单调性问题

　　3.导数与恒成立有解问题

　　4.导数与最值极值问题

　　5.导数与不等式证明问题

　　6.导数与方程根个数问题

　　追问：

　　这样需不需要抄题????我做题量很大，，，，能不能再举个数列的。。。谢谢

　　追答：

　　既然是题型就抄一个典型的就行了，其他类似的就不用抄了

　　数列知识点：

　　等差等比定义性质什么的就不用我说了

　　数列题型：

　　求通项(我们老师讲了8种，你按你们老师讲的总结)

　　求和(公式求和，裂项求和，差比求和(也可裂项)，二差二比求和)

　　不等式证明(放缩，结合函数)

　　导数题型归纳总结[2]

　　一、函数

　　1.函数的基本概念

　　函数的概念，函数的单调性，函数的奇偶性，这些属于函数的基本概念，已经在高一数学必修一中有了详细的介绍，在此不再赘述。

　　2.指数函数

　　单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线，当0 ∞，y->0;当a>1时，x->-∞，y->0;当a>1时，a的值越大，第一象限内图象越靠近y轴，递增的速度越快;

　　3.对数函数

　　对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题，其单调性取决于底数与“1”的大小关系.

　　二、三角函数

　　1.命题趋势

　　2014年高考可能仍会将三角函数概念、同角三角函数的关系式和诱导公式作为基础内容，融于三角求值、化简及解三角形的考查中.由该部分知识的基础性决定这一部分知识可以和其他知识融合考查，高考中需要关注.

　　2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

　　(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.

　　(2)二看”函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有”切化弦”

　　(3)三看”结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.多做三角函数练习题会对更加熟悉的掌握三角函数有帮助，这里给大家推荐李老师教的三角函数解题法。

　　三、导数

　　1.导数的概念

　　1)如果当Δx-->0时，Δy/Δx-->常数A，就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把A叫做f(x)在点x0处的导数(瞬时变化率).记作f’(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.瞬时速度就是位移函数s对时间t的导数.

　　2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，其导数值在(a,b)内构成一个新的函数，叫做f(x)在开区间(a,b)内导数，记作f’(x).

　　3)如果函数f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续.

　　2.函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.

　　3.求导

　　在高中数学导数求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为教易求导的结构形

　　高中导数题型总结

　　首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

　　1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法

　　5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)

　　与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在

　　其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

　　最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

　　一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;

　　1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

　　第一步：令得到两个根;

　　第二步：画两图或列表;

　　第三步：由图表可知;

　　其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

　　2、常见处理方法有三种：

　　第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)

　　第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);

　　例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

　　(1)若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;

　　(2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

　　解:由函数得

　　(1)在区间上为“凸函数”，

　　则在区间[0,3]上恒成立

　　解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

　　解法二：分离变量法：

　　∵当时,恒成立,

　　当时,恒成立

　　等价于的最大值()恒成立，

　　而()是增函数，则

　　(2)∵当时在区间上都为“凸函数”

　　则等价于当时恒成立

　　变更主元法

　　再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)

　　请同学们参看2010第三次周考：

　　例2：设函数

　　(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

　　(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

　　(二次函数区间最值的例子)

　　解：(Ⅰ)

　　令得的单调递增区间为(a,3a)

　　令得的单调递减区间为(-，a)和(3a，+)

　　∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.

　　(Ⅱ)由||≤a，得：对任意的恒成立①

　　则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)

　　即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

　　上是增函数.(9分)

　　∴

　　于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

　　又∴

　　点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

　　第三种：构造函数求最值

　　题型特征：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型

　　例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为，

　　(Ⅰ)求的值;

　　(Ⅱ)当时，求的值域;

　　(Ⅲ)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

　　解：(Ⅰ)∴，解得

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

　　又

　　∴的值域是

　　(Ⅲ)令

　　思路1：要使恒成立，只需，即分离变量

　　思路2：二次函数区间最值

　　二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

　　解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型

　　解法2：利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

　　做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

　　例4：已知，函数.

　　(Ⅰ)如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;

　　(Ⅱ)如果函数是上的单调函数，求的取值范围.

　　解：.

　　(Ⅰ)∵是偶函数，∴.此时，，

　　令，解得：.

　　列表如下：

　　(-∞,-2)

　　-2

　　(-2,2)

　　2

　　(2,+∞)

　　+

　　0

　　-

　　0

　　+

　　递增

　　极大值

　　递减

　　极小值

　　递增

　　可知：的极大值为，的极小值为.

　　(Ⅱ)∵函数是上的单调函数，

　　∴，在给定区间R上恒成立判别式法

　　则解得：.

　　综上，的取值范围是.

　　例5、已知函数

　　(I)求的单调区间;

　　(II)若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

　　(I)

　　1、

　　当且仅当时取“=”号，单调递增。

　　2、

　　单调增区间：

　　单调增区间：

　　(II)当则是上述增区间的子集：

　　1、时，单调递增符合题意

　　2、，

　　综上，a的取值范围是[0，1]。

　　三、题型二：根的个数问题

　　题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题

　　解题步骤

　　第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

　　第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;

　　第三步：解不等式(组)即可;

　　例6、已知函数，，且在区间上为增函数.

　　求实数的取值范围;

　　若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

　　解：(1)由题意∵在区间上为增函数，

　　∴在区间上恒成立(分离变量法)

　　即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

　　(2)设，

　　令得或由(1)知，

　　①当时，，在R上递增，显然不合题意…

　　②当时，，随的变化情况如下表：

　　—

　　↗

　　极大值

　　↘

　　极小值

　　↗

　　由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

　　综上，所求的取值范围为

　　根的个数知道，部分根可求或已知。

　　例7、已知函数

　　(1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值;

　　(2)若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网

　　解：(1)∵的图像过原点，则，

　　又∵是的极值点，则

　　(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，

　　等价于有含的三个根，即：

　　整理得：

　　即：恒有含的三个不等实根

　　(计算难点来了：)有含的根，

　　则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

　　十字相乘法分解：

　　恒有含的三个不等实根

　　等价于有两个不等于-1的不等实根。

　　题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

　　例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

　　(1)由题意得：

　　∴在上;在上;在上

　　因此在处取得极小值

　　∴①，②，③

　　由①②③联立得：，∴

　　(2)设切点Q，

　　过

　　令，

　　求得：，方程有三个根。

　　需：

　　故：;因此所求实数的范围为：

　　题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

　　解法：根分布或判别式法

　　例8、

　　解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=x3-x2+10x，

　　=x2-7x+10，令，解得或.

　　令，解得

　　可知函数f(x)的单调递增区间为和(5，+∞)，单调递减区间为.

　　(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,

　　要使函数y=f(x)在(1，+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)

　　根分布问题：

　　则，解得m>3

　　例9、已知函数，(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.

　　解：(1)

　　当时，令解得，令解得，

　　所以的递增区间为，递减区间为.

　　当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

　　(2)有且仅有3个极值点

　　=0有3个根，则或，

　　方程有两个非零实根，所以

　　或

　　而当或时可证函数有且仅有3个极值点

　　其它例题：

　　1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11.

　　(Ⅰ)求函数的解析式;

　　(Ⅱ)若时，恒成立，求实数的取值范围.

　　解：(Ⅰ)

　　令=0,得

　　因为，所以可得下表：

　　0

　　+

　　0

　　-

　　↗

　　极大

　　↘

　　因此必为最大值,∴因此，，

　　即，∴，∴

　　(Ⅱ)∵，∴等价于，

　　令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

　　为此只需，即，

　　解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

　　2、(根分布与线性规划例子)

　　(1)已知函数

　　(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

　　(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

　　解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,

　　∴

　　∵∴

　　又∵在处的切线与直线平行,

　　∴故

　　∴…………………….7分

　　(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,

　　∴即令,则

　　∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

　　易得,,,,,

　　同时DE为△ABC的中位线,

　　∴所求一条直线L的方程为:

　　另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,

　　由得点F的横坐标为:

　　由得点G的横坐标为:

　　∴即

　　解得:或(舍去)故这时直线方程为:

　　综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分

　　(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,

　　∴即令,则

　　∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

　　易得,,,,,

　　同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

　　另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,

　　由得直线L与AC交点为:

　　∵,,

　　∴所求直线方程为:或

　　3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。

　　(Ⅰ)求的值;

　　(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式;

　　(Ⅲ)若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

　　解：由题知：

　　(Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0

　　得

　　(Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5

　　解得a=1,b=–6

　　所以f(x)=x3–6x2+9x+3

　　(Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)

　　=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

　　若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a

　　由①②得–25a+3<8a<7a+3

　　所以当

　　4、(根的个数问题)已知函数

　　(1)若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间;

　　(2)若，讨论曲线与的交点个数.

　　解：(1)

　　………………………………………………………………………2分

　　令得

　　令得

　　∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分

　　(2)由题得

　　即

　　令……………………6分

　　令得或……………………………………………7分

　　当即时

　　-

　　此时，，，有一个交点;…………………………9分

　　当即时，

　　+

　　—

　　,

　　∴当即时,有一个交点;

　　当即时，有两个交点;

　　当时，，有一个交点.………………………13分

　　综上可知，当或时，有一个交点;

　　当时，有两个交点.…………………………………14分

　　5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数.

　　(Ⅰ)若函数在处有极值，求的解析式;

　　(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.