高中数学说课稿 —《等差数列前n项和的公式》

时间:2024.3.27

高中数学说课稿 —《等差数列前n项和的公式》

教学目标

A、知识目标:

掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。

B、能力目标:

(1)通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

(2)利用以退求进的思维策略,遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式,培养学生类比思维能力。

(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力。

C、情感目标:(数学文化价值)

(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

(2)通过公式的运用,树立学生"大众教学"的思想意识。

(3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。 教学重点:等差数列前n项和的公式。

教学难点:等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法:启发、讨论、引导式。

教具:现代教育多媒体技术。

教学过程

一、创设情景,导入新课。

师:上几节,我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学习题:"把从1到100的自然数加起来,和是多少?"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算,那你们就是二十世纪末的新高斯。(教师观察学生的表情反映,然后将此问题缩小十倍)。我们来看这样一道一例题。

例1,计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

这道题除了累加计算以外,还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后,让学生自行发言解答。

生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可凑成5个11,得到55。

生2:可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根据加法交换律,又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10个

所以我们得到S=55,

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

师:高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法,和上述两位同学的方法相类似。 理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50个101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下,上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢?

生3:数列{an}是等差数列,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.

二、教授新课(尝试推导)

师:如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项an,根据等差数列的性质,如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢?根据上面的例子同学们自己完成推导,并请一位学生板演。

生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n个

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

师:好!如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+ d(II)

上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式(I)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n。引导学生总结:这些公式中出现了几个量?(a1,d,n,an,Sn),它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n-1)d,Sn==na1+

d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到:只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。

三、公式的应用(通过实例演练,形成技能)。

1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)例2、计算:

(1)1+2+3+......+n

(2)1+3+5+......+(2n-1)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

请同学们先完成(1)-(3),并请一位同学回答。

生5:直接利用等差数列求和公式(I),得

(1)1+2+3+......+n=

(2)1+3+5+......+(2n-1)=

(3)2+4+6+......+2n==n(n+1)

师:第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用Sn公式求解?若不能,那应如何解答?小组讨论后,让学生发言解答。

生6:(4)中的数列共有2n项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7:上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法: 原式=-1-1-......-1=-n

n个

师:很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。

例3、(1)数列{an}是公差d=-2的等差数列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。

生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4

又∵d=-2,∴a1=6

∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4

a8+a9+a10=75,a1+8d=25

解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+=145

师:通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二),请同学们根据例3自己编题,作为本节的课外练习题,以便下节课交流。

师:(继续引导学生,将第(2)小题改编)

①数列{an}等差数列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n ②若此题不求a1,d而只求S10时,是否一定非来求得a1,d不可呢?引导学生运用等差数列性质,用整体思想考虑求a1+a10的值。

2、用整体观点认识Sn公式。

例4,在等差数列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教师启发学生解)

师:来看第(1)小题,写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较,你发现了什么? 生10:根据等差数列的性质,有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。 师:对!(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差数列的性质可求a1与an的和,于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

师:由于时间关系,我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析,引导学生观察当d≠0时,Sn是n的二次函数,那么从二次(或一次)的函数的观点如何来认识Sn公式后,这留给同学们课外继续思考。

最后请大家课外思考Sn公式(1)的逆命题:

已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有自然数n,都有Sn=。数列{an}是否为等差数列,并说明理由。

四、小结与作业。

师:接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

生11:1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

2、用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对Sn公式的运用。

生12:1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

2、具体用Sn公式时,要根据已知灵活选择公式(I)或(II),掌握知三求二的解题通法。

3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时,要认真观察,灵活应用等差数列的有关性质,看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

师:通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的性质,主动积极地去学习。

本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

数学思想:类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

作业:P49:13、14、15、17


第二篇:高中数学说课稿 数列


高中数学说课稿 数列

本节课讲述的是人教版高一数学(上)§3.2等差数列(第一课时)的内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用:

数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上,对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

2、教学目标

根据教学大纲的要求和学生的实际水平,确定了本次课的教学目标

a在知识上:理解并掌握等差数列的概念;了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

b在能力上:培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关系的前提下,把研究函数的方法迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习,提高学生分析问题和解决问题的能力。

c在情感上:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点

根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为:

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时,学生对“数学建模”的思想方法较为陌生,因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。

二、学情教法分析:

对于三中的高一学生,知识经验已较为丰富,他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力,所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。

针对高中生这一思维特点和心理特征,本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动,以独立思考和相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、学法指导:

在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学程序

本节课的教学过程由(一)复习引入(二)新课探究(三)应用举例(四)反馈练习(五)归纳小结(六)布置作业,六个教学环节构成。

(一)复习引入:

1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值,从而数列的通项公式也就是相应函数的______。(N﹡;解析式)

通过练习1复习上节内容,为本节课用函数思想研究数列问题作准备。

2.小明目前会100个单词,他她打算从今天起不再背单词了,结果不知不觉地每天忘掉2个单词,那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为:100,98,96,94,92   ①

3. 小芳只会5个单词,他决定从今天起每天背记10个单词,那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为5,10,15,20,25    ②

通过练习2和3引出两个具体的等差数列,初步认识等差数列的特征,为后面的概念学习建立基础,为学习新知识创设问题情境,激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点,引出等差数列的概念,对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

(二) 新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念:

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数,这个数列就叫等差数列,

这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d来表示。强调:

① “从第二项起”满足条件;

②公差d一定是由后项减前项所得;

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );

在理解概念的基础上,由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言,归纳出数学表达式:

an+1-an=d   (n≥1)同时为了配合概念的理解,我找了5组数列,由学生判断是否为等差数列,是等差数列的找出公差。

1.  9 ,8,7,6,5,4,……;√ d=-1

2.  0.70,0.71,0.72,0.73,0.74……;√ d=0.01

3. 0,0,0,0,0,0,…….; √ d=0

4. 1,2,3,2,3,4,……;×

5. 1,0,1,0,1,……×

其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0

由此强调:公差可以是正数、负数,也可以是0

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

在归纳等差数列通项公式中,我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项,公差d,由学生研究分组讨论a4的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式,进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成,通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得:

a2 - a1 =d 即: a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即: a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即: a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d,进而归纳出等差数列的通项公式:

an=a1+(n-1)d

此时指出:这种求通项公式的办法叫不完全归纳法,这种导出公式的方法不够严密,为了培养学生严谨的学习态度,在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法:

a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

将这(n-1)个等式左右两边分别相加,就可以得到   an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d (1)

当n=1时,(1)也成立,

所以对一切n∈N﹡,上面的公式都成立

因此它就是等差数列{an}的通项公式。

在迭加法的证明过程中,我采用启发式教学方法。

利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。

对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想,逐步达到“注重方法,凸现思想” 的教学要求

接着举例说明:若一个等差数列{an}的首项是1,公差是2,得出这个数列的通项公式是:an=1+(n-1)×2 ,

即an=2n-1    以此来巩固等差数列通项公式运用

同时要求画出该数列图象,由此说明等差数列是关于正整数n一次函数,其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列,使数列的性质显现得更加清楚。

(三)应用举例

这一环节是使学生通过例题和练习,增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用,提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明:要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时,可根据该公式求出另一部分量。

例1 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项;第30项;第40项

(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?

在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式;第二问实际上是求正整数解的问题,而关键是求出数列的通项公式an.

例2 在等差数列{an}中,已知a5=10,a12 =31,求首项a1与公差d。

在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

例3  是一个实际建模问题

建造房屋时要设计楼梯,已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米,第三层离地面5.8米,若楼梯设计为等高的16级台阶,问每级台阶高为多少米?

这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列,引导学生将该实际问题转化为数学模型------等差数列:(学生讨论分析,分别演板,教师评析问题。问题可能出现在:项数学生认为是16项,应明确a1为第2层的楼底离地面的高度,a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17,可用课件展示实际楼梯图以化解难点)。

设置此题的目的:1.加强同学们对应用题的综合分析能力,2.通过数学实际问题引出等差数列问题,激发了学生的兴趣;3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型,最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法

(四)反馈练习

1、小节后的练习中的第1题和第2题(要求学生在规定时间内完成)。目的:使学生熟悉通项公式,对学生进行基本技能训练。

2、书上例3)梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

目的:对学生加强建模思想训练。

3、若数例{an} 是等差数列,若 bn = k an ,(k为常数)试证明:数列{bn}是等差数列

此题是对学生进行数列问题提高训练,学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

(五)归纳小结(由学生总结这节课的收获)

1.等差数列的概念及数学表达式.

强调关键字:从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d会知三求一

3.用“数学建模”思想方法解决实际问题

(六)布置作业

必做题:课本P114 习题3.2第2,6 题

选做题:已知等差数列{an}的首项a1=-24,从第10项开始为正数,求公差d的取值范围。

(目的:通过分层作业,提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求)

五、板书设计

在板书中突出本节重点,将强调的地方如定义中,“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注,同时给学生留有作题的地方,整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

您正浏览的文章《高中数学说课稿 数列》由第一范文网(www.DiYiFanWen.com)整理,访问地址为:http://www.diyifanwen.com/jiaoan/gaozhongshuxueshuokegao/2227380882522273829308563.htm

更多相关推荐:
初中数学说课稿范文

一教材分析1教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一在初中数学中占有重要地位通过一元二次方程的学习可以对已学过实数一元一次方程因式分解二次根式等知识加以巩固同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高...

初中数学说课稿:《全等三角形》说课稿范文

初中数学说课稿人教版数学八年级上册全等三角形说课稿范文尊敬的各位专家领导大家好今天我说课的题目是人教版数学八年级上册第十章第1节全等三角形下面我将从教材分析教学方法与教材处理及教学过程等几个方面对本课的设计进行...

经典初中数学说课稿

尊敬的各位评委老师上午好我是19说课者今天我说课的内容是平行四边形的判定所选用的教材是经全国中小学教材审定委员会20xx年初审通过的人教版义务教育课程标准实验教科书对于本节课我将根据去年国家教育部颁布的新数学课...

初中数学说课稿范例

初中数学说课稿数轴我说课的内容是七年级教科书第一册第二章第二节数轴的第一课时内容我从以下几个方面对本节课的教学设计进行说明一教材分析本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上从标有刻度的温度计表示温度高低这一事...

初中数学说课稿经典范例

初中数学说课稿经典范例各位老师你们好今天我要为大家讲的课题是首先我对本节教材进行一些分析一说教材1地位和作用本节内容在全书和章节中的作用是是中数学教材第册第章第节内容在此之前学生已学习了基础这为过渡到本节的学习...

初中数学优秀说课稿模板

初中数学说课稿模板潘亚飞各位评委大家好我是号说课者今天我说课的题目是所选用的教材为北师大版义务教育课程标准实验教科书根据新课标的理念对于本节课我将以教什么怎样教为什么这样教为思路从教材分析学情分析教学目标分析教...

高中数学说课稿范文

尊敬的各位专家评委下午好我的抽签序号是今天我说课的课题是第课时我尝试利用新课标的理念来指导教学对于本节课我将以教什么怎么教为什么这样教为思路从教材分析教法学法分析教学过程分析和评价分析四方面来谈谈我对教材的理解...

初中数学说课稿格式

初中数学说课稿格式大家好所选用的教材为浙教版义务教育课程标准实验教科书根据新课标的理念对于本节课我将以教什么怎样教为什么这样教为思路从教材分析教学目标分析教学方法分析教学过程分析四个方面加以说明或加教学评价一教...

初中数学说课稿范例

初中数学说课稿数轴各位评委老师大家好今天我说课的题目是数轴一说教材数轴是华东师范大学出版社出版的小学七年级上册第2章第二节课本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上从标有刻度的温度计表示温度高低这一事例出发引...

幼儿园中班数学说课稿

中班数学说课稿有趣的几何图形一说教材这一活动主要要求幼儿辨认平面几何图形中班小朋友他们的思维是直觉形象的在学习过程中要着重感知事物的明显特征然而几何图形的认识往往过于单调抽象因此根据纲要中指出的教育内容的选择既...

幼儿园数学说课稿

幼儿园小班蒙氏数学认识圆形说课稿一说教材本课程是以现代幼儿数学教学理论为基础吸收了蒙台梭利的教育思想和方法根据幼儿园教育指导纲要试行对科学领域包括数学部分的教育要求集成我国传统幼儿数学教育的经验经过多年的实践和...

幼儿园数学说课稿

表情娃娃说课稿一说教材感知物体的数量及其数字对应关系是中班学习数学的重要阶段它与幼儿的生活紧密相关数学是个枯燥无味又抽象的一门学科特别是中班幼儿往往对学习数学很不感兴趣游戏是幼儿最爱的活动它既能让幼儿主动参与游...

中学数学说课稿(52篇)