数学建立二次函数模型教学方案

时间:2023.11.3

  教学目标:

  1、使学生会用描点法画出=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。

  2、使学生经历、探索二次函数=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯重点难点:

  重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数=ax2的图象是教学的重点。难点:用描点法画出二次函数=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

  教学过程:

  一、提出问题

  1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的?

  (先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

  2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么?

  (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象)

  3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?

  二、范例

  例1、画二次函数=ax2的图象。

  解 :(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:

  x…-3-2-10123…

  …9410 149…

  (2)在直角坐标系中描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点

  (3)连线:用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数=x2的图象,如图所示。

  提问:观察这个函数的图象,它有什么特点?

  让学生观察,思考、讨论、交流,归结为:它有一条对称轴,且对称轴和图象有一点交点。

  抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。

  顶点概念:抛物线与它的对称轴的交点叫做 抛物线的顶点.

  三、做一做

  1.在同一直角坐标系中,画出函数=x2与=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?

  2.在同一直角坐标系中,画出函数=2x2与=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?

  3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?

  对于1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论。交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线,都关于轴对称,顶点坐标都是(0,0),区别在于函数=x2的图象开口向上,函数=-x2的图象开口向下。

  对于2,教师要继续巡视,指导学生画函数图象,两个 函数的图象的特点;教师可引导学生类比1得出。

  对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论:四个函数的图象都是抛物线,都关于轴对称,它的顶点坐标都是(0,0).

  四、归纳、 概括

  函数=x2、=-x2、=2x2、=-2x2是函数=ax2的特例,由函数=x2、=-x2、=2x2、=-2x2的图象的共同特点,可猜想:

  函数=a x2的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。

  如果要更细致地研究函数=ax2图象的特点和性质,应如何分类?为什么?

  让学生观察=x2、=2x2的图象,填空;

  当a>0时,抛物线=ax2 开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。

  图象的这些特点反映了函数的什么性质?

  先让学生观察下图,回答以下问题;

  (1)XA 、XB大小关系如何?是否都小于0?

  (2)A、B大小关系如何?

  (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

  (4)C、D大小关系如何?

  (XA<XB,且XA<0,XB<0;a>B;XC0,XD>0,C<D)

  其次,让学生填空。

  当X<0时,函数值随着x的增大而______,当x>O时,函数值随X的增大而______;当X=______时,函数值=ax2 (a>0)取得最小值,最小值=______

  以上结论就是当a>0时,函数=ax2的性质。

  思考以下问题:

  观察函数=-x2、=-2x2的图象,试作出类似的概括,当a<O时,抛物线=ax2有些什么特点?它反映了 当a<O时,函数=ax2具有哪些性质?

  让学生讨论、交流,达成共识,当a<O时,抛物线=ax2开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶 点抛 物线上位置最 高的点。图象的这些特点,反映了当a<O时,函数=ax2的性质;当x<0时,函数值随x的增大而增大;与x>O时,函数值随x的增大而减小,当x=0时,函数值=ax2取得 最大值,最大值是=0。

  五、课堂练习:P6练习1、2、3、4。

  六、作业: 1.如何画出函数=ax2的图象?

  2.函数=ax2具有哪些性质?

  3.谈谈你对本节课学习的体会。


第二篇:二次函数数学教学方案


  教学目标:

  1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验。

  2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

  3.能根据二次函数y=ax2的图象,探索二次函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标)。

  教学重点:二次函数y=ax2的图象的作法和性质

  教学难点:建立二次函数表达式与图象之间的联系

  教学方法:自主探索,数形结合

  教学建议:

  利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,进行图象和图象之间的比较,表达式和表达式之间的比较,建立图象和表达式之间的联系,以达到学生对二次函数性质的真正理解。

  教学过程:

  一、认知准备:

  1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么?

  2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)

  你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。

  二、新授:

  (一)动手实践:作二次函数y=x2和y=-x2的图象

  (同桌二人,南边作二次函数y=x2的图象,北边作二次函数y=-x2的图象,两名学生黑板完成)

  (二)对照黑板图象议一议:(先由学生独立思考,再小组交流)

  1.你能描述该图象的形状吗?

  2.该图象与x轴有公共点吗?如果有公共点坐标是什么?

  3.当x<0时,随着x的增大,y如何变化?当x>0时呢?

  4.当x取什么值时,y值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

  5.该图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。

  (三)学生交流:

  1.交流上面的五个问题(由问题1引出抛物线的概念,由问题2引出抛物线的顶点)

  2.二次函数y=x2和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点?

  3.教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2和y=-x2图象,根据图象回答:

  (1)二次函数y=x2和y=-x2的图象关于哪条直线对称?

  (2)两个图象关于哪个点对称?

  (3)由y=x2的图象如何得到y=-x2的图象?

  (四)动手做一做:

  1.作出函数y=2x2和y=-2x2的图象

  (同桌二人,南边作二次函数y=-2x2的图象,北边作二次函数y=2x2的图象,两名学生黑板完成)

  2.对照黑板图象,数形结合,研讨性质:

  (1)你能说出二次函数y=2x2具有哪些性质吗?

  (2)你能说出二次函数y=-2x2具有哪些性质吗?

  (3)你能发现二次函数y=ax2的图象有什么性质吗?

  (学生分小组活动,交流各自的发现)

  3.师生归纳总结二次函数y=ax2的图象及性质:

  (1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

  (2)性质

  a:开口方向:a>0,抛物线开口向上,a〈0,抛物线开口向下[

  b:顶点坐标是(0,0)

  c:对称轴是y轴

  d:最值:a>0,当x=0时,y的最小值=0,a〈0,当x=0时,y的最大值=0

  e:增减性:a>0时,在对称轴的左侧(X<0),y随x的增大而减小,在对称轴的右侧(x>0),y随x的增大而增大,a〈0时,在对称轴的左侧(X<0),y随x的增大而增大,在对称轴的右侧(x>0),y随x的增大而减小。

  4.应用:(1)说出二次函数y=1/3x2和y=-5x2有哪些性质

  (2)说出二次函数y=4x2和y=-1/4x2有哪些相同点和不同点?

  三、小结:

  通过本节课学习,你有哪些收获?(学生小结)

  1.会画二次函数y=ax2的图象,知道它的图象是一条抛物线

  2.知道二次函数y=ax2的性质:

  a:开口方向:a>0,抛物线开口向上,a〈0,抛物线开口向下

  b:顶点坐标是(0,0)

  c:对称轴是y轴

  d:最值:a>0,当x=0时,y的最小值=0,a〈0,当x=0时,y的最大值=0

  e:增减性:a>0时,在对称轴的左侧(X<0=,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧(x>0),y随x的增大而增大,a〈0时,在对称轴的左侧(X<0),y随x的增大而增大,在对称轴的右侧(x>0),y随x的增大而减小。

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