正比例的意义
教学目标
1.使学生初步认识正比例的意义、掌握正比例意义的变化规律。
2.学会判断成正比例关系的量。
3.进一步培养学生观察、分析、概括的能力。
教学重点和难点
理解正比例的意义，掌握正比例变化的规律。
教学过程设计
（一）复习准备
请同学口述三量关系：
（1）路程、速度、时间；（2）单价、总价、数量；（3）工作效率、时间、工作总量。
（学生口述关系式、老师板书。）
（二）学习新课
今天我们进一步研究这些数量关系中的一些特征，请同学们回答老师的问题。
幻灯出示：
一列火车1小时行60千米，2小时行多少千米？3小时、4小时、5小时……各行多少千米？
生：60千米、120干米、180千米……
师：根据刚才口答的问题，整理一个表格。
出示例1。（小黑板）
例1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表。
师：（看着表格）回答下面的问题。表中有几种量？是什么？
生：表中有两种量，时间和路程。
师：路程是怎样随着时间变化的？
生：时间1小时，路程是60千米；2小时，路程为120千米；3小时，路程为180千米……
师：像这样一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就叫做两种相关联的量。
（板书：两种相关联的量）
师：表中谁和谁是两种相关联的量？
生：时间和路程是两种相关联的量。
师：我们看一看他们之间是怎样变化的？
生：时间由1小时变2小时，路程由60千米变为120千米……时间扩大了，路程也随着扩大，路程随着时间的变化而变化。
师：现在我们从后往前看，时间由8小时变为7小时、6小时、4小时……路程又是如何变化的？
生：路程由480千米变为420千米、360千米……
师：从上面变化的情况，你发现了什么样的规律？（同桌进行讨论。）
生：时间从小到大，路程也随着从小到大变化；时间从大到小，路程也随着从大到小变化。
师：我们对比一下老师提出的两个问题，互相讨论一下，这两种变化的原因是什么？
（分组讨论）
师：请同学发表意见。
生：第一题时间扩大了，行的路程也随着扩大；第二题时间缩小了，所行的路程也随着缩短了。
师：我们对这种变化规律简称为“同扩同缩”。（板书）让我们再看一看，它们扩大缩小的变化规律是什么？
师：根据时间和路程可以求出什么？
生：可以求出速度。
师：这个速度是谁与谁的比？它们的结果又叫什么？
生：这个速度是路程和时间的比，它们的结果是比值。
师：这个60实际是什么？变化了吗？
生：这个60是火车的速度，是路程和时间的比值，也是路程和时间的商，速度不变。
驶多少千米，速度都是60千米，这个速度是一定的，是固定不变的量，我们简称为定量。
师：谁是定量时，两种相关联的量同扩同缩？
生：速度一定时，时间和路程同扩同缩。
师：对。这两种相关联的量的商，也就是比值一定时，它们同扩同缩。我们看着表再算一算表中路程与时间相对应的商是不是一定。
（学生口算验证。）
生：都是60千米，速度不变，符合变化的规律，同扩同缩。
师：同学们总结得很好。时间和路程是两种相关联的量，路程是随着时间的变化而变化的：时间扩大，路程也随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小。扩大和缩小的规律是：路程和时间的比的比值总是一样的。
师：谁能像老师这样叙述一遍？
（看黑板引导学生口述。）
师：我们再看一题，研究一下它的变化规律。
出示例2。（小黑板）
例2 某种花布的米数和总价如下表：
（板书）
按题目要求回答下列问题。（幻灯）
（1）表中有哪两种量？
（2）谁和谁是相关联的量？关系式是什么？
（3）总价是怎样随着米数变化的？
（4）相对应的总价和米数的比各是多少？
（5）谁是定量？
（6）它们的变化规律是什么？
生：（答略）
师：比较一下两个例题，它们有什么共同点？
生：都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
师：对。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是今天我们学习的新内容。（板书课题：正比例的意义）
师：你能按照老师说的叙述一下例1中两个相关联的量之间的关系吗？
生：路程随着时间的变化而变化，它们的比值（也就是速度）一定，所以路程和时间是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。
师：想一想例2，你能叙述它们是不是成正比例的量？为什么？（两人互相试说。）
师：很好。请打开书，看书上是怎样总结的？
（生看书，并画出重点，读一遍意义。）
师：如果表中第一种量用x表示，第二种量用y表示，定量用k表示，谁能用字母表示成正比例的两种相关联的量与定量的关系？
师：你能举出日常生活中成正比例关系的两种相关联的量的例子吗？
生：（答略）
师：日常生活和生产中有很多相关联的量，有的成正比例关系，有的是相关联，但不成比例关系。所以判断两种相关联的量是否成正比例关系，要抓住相对应的两个量是否商（比值）一定，只有商（比值）一定时，才能成正比例关系。
（三）巩固反馈
1.课本上的“做一做”。
2.幻灯出示题，并说明理由。
（1）苹果的单价一定，买苹果的数量和总价（ ）。
（2）每小时织布米数一定，织布总米数和时间（ ）。
（3）小明的年龄和体重（ ）。
（四）课堂总结
师：今天主要讲的是什么内容？你是如何理解的？
（生自己总结，举手发言。）
师：打开书，并说出正比例的意义。有什么不明白的地方提出来。
（五）布置作业
（略）
课堂教学设计说明
第一部分：复习三量关系，为本节内容引路。
第二部分：新课从创设正比例表象入手，引导学生主动、自觉地观察、分析、概括，紧紧围绕判断正比例的两种相关联的两个量、商一定展开思路，结合例题中的数据整理知识，发现规律，由讨论表象到抽象概念，使知识得到深化。
正比例和反比例的意义
1、成正比例的量
教学内容：成正比例的量
教学目标：
1.使学生理解正比例的意义，会正确判断成正比例的量。
2.使学生了解表示成正比例的量的图像特征，并能根据图像解决有关简单问题。
教学重点：正比例的意义。
教学难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。
教学过程：
一揭示课题
1．在现实生活中，我们常常遇到两种相关联的量的变化情况，其中一种量变化，另一种量也随着变化，你以举出一些这样的例子吗？
在教师的此导下，学生会举出一些简单的例子，如：
（1）班级人数多了，课桌椅的数量也变多了；人数少了，课桌椅也少了。
（2）送来的牛奶包数多了，牛奶的总质量也多了；包数少了，总质量也少了。
（3）上学时，去的速度快了，时间用少了；速度慢了，时间用多了。
（4）排队时，每行人数少了，行数就多了；每行人数多了。行数就少了。
2．这种变化的量有什么规律？存在什么关系呢？今天，我们首先来学习成正比例的量。板书：成正比例的量
二探索新知
1．教学例1
（1）出示例题情境图。
问：你看到了什么？
生：杯子是相同的。杯中水的高度不同，水的体积也不同，高度越高体积越大；高度越低，体积越小。
（2）出示表格。
高度/㎝24681012
体积/㎝350100150200250300
底面积/㎝2
问：你有什么发现？
学生不难发现：杯子的底面积不变，是25㎝2。
板书：
教师：体积与高度的比值一定。
（2）说明正比例的意义。
①在这一基础上，教师明确说明正比例的意义。
因为杯子的底面积一定，所以水的体积随着高度的变化而变化。水的高度增加，体积也相应增加，水的高度降低，体积也相应减少，而且水的体积和高度的比值一定。
板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种子量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种理就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
②学生读一读，说一说你是怎么理解正比例关系的。
要求学生把握三个要素：
第一，两种相关联的量；
第二，其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。
第三，两个量的比值一定。
（3）用字母表示。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的比值（一定），比例关系可以用正的式子表示：
（4）想一想：
师：生活中还有哪些成正比例的量？
学生举例说明。如：
长方形的宽一定，面积和长成正比例。
每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例。
衣服的单价一不定期，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。
地砖的面积一定，教室地板面积和地砖块数成正比例。
2．教学例2。
（1）出示表格（见书）
（2）依据下表中的数据描点。（见书）
（3）从图中你发现了什么？
这些点都在同一条直线上。
（4）看图回答问题。
①如果杯中水的高度是7㎝，那么水的体积是多少？
生：175㎝3。
②体积是225㎝3的水，杯里水面高度是多少？
生：9㎝。
③杯中水的高度是14㎝，那么水的体积是多少？描出这一对应的点是否在直线上？
生：水的体积是350㎝3，相对应的点一定在这条直线上。
（5）你还能提出什么问题？有什么体会？
通过交流使学生了解成正比例量的图像特往。
3．做一做。
过程要求：
（1）读一读表中的数据，写出几组路程和时间的比，说一说比值表示什么？
比值表示每小时行驶多少千米。
（2）表中的路程和时间成正比例吗？为什么？
成正比例。理由：
①路程随着时间的变化而变化；
②时间增加，路程也增加，时间减少，路程也随着减少；
③种程和时间的比值（速度）一定。
（3）在图中描出表示路程和时间的点，并连接起来。有什么发现？所描的点在一条直线上。
（4）行驶120KM大约要用多少时间？
（5）你还能提出什么问题？
4．课堂小结
说一说成正比例关系的量的变化特征。
三巩固练习
完成课文练习七第1～5题。
2、成反比例的量
教学内容：成反比例的量
教学目标：
1．经历探索两种相关联的量的变化情况过程，发现规律，理解反比例的意义。
2．根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。
教学重点：反比例的意义。
教学难点：正确判断两种量是否成反比例。
教学过程：
一导入新课
1．让学生说一说成正比例的两种量的变化规律。
回答要点：
（1）两种相关联的量；
（2）一个量增加，另一个量也相应增加；一个量减少，另一个量也相应减少；
（3）两个量的比值一定。
2．举例说明。
如：每袋大米质量相同，大米的袋数与总质量成正比例。
理由：
（1）每袋大米质量一定，大米的总质量随着袋数的变化而变化；
（2）大米的袋数增加，大米的总质量也相应增加，大米的袋数减少，大米的总质量也相应减少；
（3）总质量与袋数的比值一定。
所以，大米的袋数与总质量成正比例。
板书：
3．揭示课题。
今天，我们一起来学习反比例。两种量是什么样的关系时，这两种量成反比例呢？
板书课题：成反比例的量
二探索新知
1．教学例3。
（1）出示课文例题情境图。
问：从图中你看到了什么？
①把相同体积的水倒入底面积不同的杯子。
②杯里水的高度不相同。
③杯子底面积小的，水的高度比较高，杯子底面积大的，水的高度比较低。
（2）出示表格。
高度/㎝302015105
底面积/㎝21015203060
体积/㎝3
请学生认真观察表中数据的变化情况。
问：你有什么发现？
学生不难发现：底面积越大，水的高度越低，底面积越小，水的高度越高，而且高底和底面积的乘积（水的体积）一定。
教师板书配合说明这一规律：
30×10=20×15=15×20=……=300
（3）归纳反比例的意义。
在这一基础上，教师明确说明反比例的意义，并板书。
因为水的体积一定，所以水的高度随着底面积的变化而变化。底面积增加，高度反而降低，底面积减少，高度反而升高，而且高度和底面积的乘积一定。
板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（4）用字母表示。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的乘积（一定），反比例关系的式子可以怎么表示？
学生探讨后得出结果。
X×Y=K（一定）
2．想一想。
师：生活中还有哪些成反比例的量？
在教师的引导下，学生举例说明。如：
（1）大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
（2）教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
（3）长方形的面积一定，长和宽成反比例。
3．你还有什么疑问？
如果学生提出表示反比例关系的图像有什么特征，教师应该引导学生观察课文“你知道吗”中的图像。
（1）反比例关系也可以用图像来表示。
（2）表示两个量的点不在同一条直线上，点所连接起来是一条曲线。
（3）图像特征不要求掌握。
4．课堂小结。
说一说成反比例关系的量的变化特征。
三巩固练习
完成课文练习七第6～11题。
3、练习课（一）
教学内容：练习课（一）
教学目标：
1．使学生进一步理解反比例的意义，能正确判断两种量是否成反比例。
2．使学生能正确判断两种量是否成比例，成什么比例，提高学生的人析能力。
教学过程：
一基础练习
1．填一填，说一说。
（1）每箱木瓜的个数一定，运来木瓜的箱数和木瓜总个数如下表。
箱数/箱481632
总个数/个3264
①把表格填写完整，说一说你是怎么做的。
②说一说箱数和总个数的变化情况。
③这里哪一个量不变？
④箱数和总个数成什么比例？
（2）木瓜的总个数一定，每箱个数与所装的箱数情况如下表。
每箱个数481020
箱数5025
①你能把表格填写完整吗？
②说一说每箱个数和箱数的变化情况。
③这里哪一个量一定？
④每箱个数和箱数成什么比例？
（3）看一本书，每天看的页数和所看天数的情况如下表。
每天看的页数48101620
所看天数804032
①把表格填写完整。
②说一说你是怎么做的。
③这里哪一个量一定，你是怎么知道的？
④每天看的页数与所看天数有什么关系？说明理由。
（4）征订《XX学习报》，征订的份数与应付的钱数如下表。
征订份数/份5040302010
应付的钱数/元15001200
①请你把表格补充完整。
②征订的份数与应付的钱数成什么比例？说明理由。
2．正、反比例意义。
问：你是怎样判断两种量是否成正比例或反比例的？正反比例关系和反比例关系有什么不同？
过程要求：
（1）学生独立思考，尝试归纳。
（2）同学之间互相交流，学会表达。
（3）全班交流。
使学生明确几个要点：
正比例：
①两种相关联的量。
②一种量增加，另一种量也相应增加；一种量减少，另一种量也相应减少。
③两种量的比值一定。
反比例：
①两种相关联的量；
②一种理增加，另一种量反而减少；一种量减少，另一种量反而增加；
③两种量的乘积一定。
二综合练习
判断下面各题中两种量是否成下比例或反比例。
（1）每袋面粉的质量一字，面粉的总质量和袋数。（）
（2）一个人的年龄和体重。（）
（3）长方形的周长和宽。（）
（4）长方形的长一定，面积与宽。（）
（5）三角形的高一定，面积与底。（）
（6）圆的面积与半径。（）
过程要求：
（1）逐一出示以上各题。
（2）学生判断，并说明理由。
（3）教师小结。（方法，关键）
4、练习课（二）
教学内容：练习课（二）
教学目标：
通过比较，使学生进一步理解正比例和反比例的意义，弄清它们的联系和区别，掌握它们的变化规律，能够正确地判断正、反比例的关系，进一步发展学生的分析、比较、抽象、概括等能力。
教学过程：
一复习
判断下面每题中的两种量是成正比例还是成反比例？
1．速度一定，路程和时间。
2．正方形的边长和它的面积。
3．生产总时间一定，生产一个零件所用时间和零件总数。
4．中国儿童报的订数和钱数。
二引导练习
这节课我们要通过比较弄清成正、反比例的量有什么相同点和不同点。
板书课题：正、反比例的比较
出示表格。
表一：
路程/千米4080160200320
时间/时12458
表二
速度/每时行多少千米12090604030
时间/时346912
1．说一说。
提问：从表1中，你怎样发现速度是一定的？根据什么判断路程和时间成正比例？从表2中，你怎样发现路程是一定的？根据什么判断速度和时间成反比例？
2．想一想：路程、速度和时间这三个量中每两个量之间有什么样的比例关系？
师板书：速度×时间=路程
师：当速度一定时，路程和时间成什么比例关系？
当路程一定时，速度和时间成什么比例关系？
当时间一定时，路程和速度成什么比例关系？
3．比较正比例和反比例关系。
通过前面的例子，比较正比例关系和反比例关系。你能写出它们的相同点和不同点吗？
学生同桌或前后桌讨论，教师提问并板书如下：
相同点：都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
不同点：正比例：两种量中相对应的两个数的积一定。关系式X×Y=K（一定）
4．小结；正比例和反比例有什么相同点和不同点？判断两种量是否比例，成什么比例的，方法是什么？
作业
六年级数学教案——正比例和反比例的意义1
教学内容：成正比例的量
教学目标：
1.使学生理解正比例的意义，会正确判断成正比例的量。
2.使学生了解表示成正比例的量的图像特征，并能根据图像解决有关简单问题。
教学重点：正比例的意义。
教学难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。
教学过程：
一揭示课题
1．在现实生活中，我们常常遇到两种相关联的量的变化情况，其中一种量变化，另一种量也随着变化，你以举出一些这样的例子吗？
在教师的此导下，学生会举出一些简单的例子，如：
（1）班级人数多了，课桌椅的数量也变多了；人数少了，课桌椅也少了。
（2）送来的牛奶包数多了，牛奶的总质量也多了；包数少了，总质量也少了。
（3）上学时，去的速度快了，时间用少了；速度慢了，时间用多了。
（4）排队时，每行人数少了，行数就多了；每行人数多了。行数就少了。
2．这种变化的量有什么规律？存在什么关系呢？今天，我们首先来学习成正比例的量。板书：成正比例的量
二探索新知
1．教学例1
（1）出示例题情境图。
问：你看到了什么？
生：杯子是相同的。杯中水的高度不同，水的体积也不同，高度越高体积越大；高度越低，体积越小。
（2）出示表格。
高度/㎝24681012
体积/㎝350100150200250300
底面积/㎝2
问：你有什么发现？
学生不难发现：杯子的底面积不变，是25㎝2。
板书：
教师：体积与高度的比值一定。
（2）说明正比例的意义。
①在这一基础上，教师明确说明正比例的意义。
因为杯子的底面积一定，所以水的体积随着高度的变化而变化。水的高度增加，体积也相应增加，水的高度降低，体积也相应减少，而且水的体积和高度的比值一定。
板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种子量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种理就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
②学生读一读，说一说你是怎么理解正比例关系的。
要求学生把握三个要素：
第一，两种相关联的量；
第二，其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。
第三，两个量的比值一定。
（3）用字母表示。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的比值（一定），比例关系可以用正的式子表示：
（4）想一想：
师：生活中还有哪些成正比例的量？
学生举例说明。如：
长方形的宽一定，面积和长成正比例。
每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例。
衣服的单价一不定期，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。
地砖的面积一定，教室地板面积和地砖块数成正比例。
2．教学例2。
（1）出示表格（见书）
（2）依据下表中的数据描点。（见书）
（3）从图中你发现了什么？
这些点都在同一条直线上。
（4）看图回答问题。
①如果杯中水的高度是7㎝，那么水的体积是多少？
生：175㎝3。
②体积是225㎝3的水，杯里水面高度是多少？
生：9㎝。
③杯中水的高度是14㎝，那么水的体积是多少？描出这一对应的点是否在直线上？
生：水的体积是350㎝3，相对应的点一定在这条直线上。
（5）你还能提出什么问题？有什么体会？
通过交流使学生了解成正比例量的图像特往。
3．做一做。
过程要求：
（1）读一读表中的数据，写出几组路程和时间的比，说一说比值表示什么？
比值表示每小时行驶多少千米。
（2）表中的路程和时间成正比例吗？为什么？
成正比例。理由：
①路程随着时间的变化而变化；
②时间增加，路程也增加，时间减少，路程也随着减少；
③种程和时间的比值（速度）一定。
（3）在图中描出表示路程和时间的点，并连接起来。有什么发现？所描的点在一条直线上。
（4）行驶120KM大约要用多少时间？
（5）你还能提出什么问题？
4．课堂小结
说一说成正比例关系的量的变化特征。
三巩固练习
完成课文练习七第1～5题。
2、成反比例的量
教学内容：成反比例的量
教学目标：
1．经历探索两种相关联的量的变化情况过程，发现规律，理解反比例的意义。
2．根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。
教学重点：反比例的意义。
教学难点：正确判断两种量是否成反比例。
教学过程：
一导入新课
1．让学生说一说成正比例的两种量的变化规律。
回答要点：
（1）两种相关联的量；
（2）一个量增加，另一个量也相应增加；一个量减少，另一个量也相应减少；
（3）两个量的比值一定。
2．举例说明。
如：每袋大米质量相同，大米的袋数与总质量成正比例。
理由：
（1）每袋大米质量一定，大米的总质量随着袋数的变化而变化；
（2）大米的袋数增加，大米的总质量也相应增加，大米的袋数减少，大米的总质量也相应减少；
（3）总质量与袋数的比值一定。
所以，大米的袋数与总质量成正比例。
板书：
3．揭示课题。
今天，我们一起来学习反比例。两种量是什么样的关系时，这两种量成反比例呢？
板书课题：成反比例的量
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二探索新知
1．教学例3。
（1）出示课文例题情境图。
问：从图中你看到了什么？
①把相同体积的水倒入底面积不同的杯子。
②杯里水的高度不相同。
③杯子底面积小的，水的高度比较高，杯子底面积大的，水的高度比较低。
（2）出示表格。
高度/㎝302015105
底面积/㎝21015203060
体积/㎝3
请学生认真观察表中数据的变化情况。
问：你有什么发现？
学生不难发现：底面积越大，水的高度越低，底面积越小，水的高度越高，而且高底和底面积的乘积（水的体积）一定。
教师板书配合说明这一规律：
30×10=20×15=15×20=……=300
（3）归纳反比例的意义。
在这一基础上，教师明确说明反比例的意义，并板书。
因为水的体积一定，所以水的高度随着底面积的变化而变化。底面积增加，高度反而降低，底面积减少，高度反而升高，而且高度和底面积的乘积一定。
板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（4）用字母表示。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的乘积（一定），反比例关系的式子可以怎么表示？
学生探讨后得出结果。
X×Y=K（一定）
2．想一想。
师：生活中还有哪些成反比例的量？
在教师的引导下，学生举例说明。如：
（1）大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
（2）教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
（3）长方形的面积一定，长和宽成反比例。
3．你还有什么疑问？
如果学生提出表示反比例关系的图像有什么特征，教师应该引导学生观察课文“你知道吗”中的图像。
（1）反比例关系也可以用图像来表示。
（2）表示两个量的点不在同一条直线上，点所连接起来是一条曲线。
（3）图像特征不要求掌握。
4．课堂小结。
说一说成反比例关系的量的变化特征。
三巩固练习
完成课文练习七第6～11题
五年级数学教案——正比例的意义、正比例图象
1、教学内容：正比例的意义、正比例图象
2、信息窗的介绍：
该情境图呈现了啤酒生产车间的一角，并用表格的形式出示了啤酒生产中工作总量和工作时间的一些数据，引导学生提出问题，引入对成正比例的量和正比例关系的学习，这个窗有两个红点。
第一个红点：正比例的意义
第二个红点：正比例图象
3、信息窗教学建议：
第一、通过对大量的现实数据进行观察，分析其数量关系，抽象出数学知识。
教学时，教师可以通过啤酒生产的话题引入，出示情境图，引导学生观察啤酒生产情况记录表，根据信息提出问题，并把学生提出的问题进行筛选整理，引入对正比例的学习。正反比例的教学内容反映的是数量间的关系，需要对大量的相关的数量进行分析、归纳、抽象，对学生的观察、分析、推理、抽象概括能力提出了较高的要求，同时也是发展学生逻辑思维能力的一个很好的教学载体。在正比例的意义的学习中可以采用“列表--观察--讨论--归纳”的方法。
第二、给学生较充分的思考和交流的空间，引导学生开展自主性的数学活动。
教学第一个红点标示的问题时，教师要创设开放的问题情境和宽松的学习氛围，让学生经历“做数学”的过程，自主建构正比例的意义。
可以先让学生观察记录表，小组内讨论交流：重点交流以下几方面：①有几种量？②如何变化？③变化规律是什么？④数量关系是什么。在学生小组探究、全班交流的基础上初步感知得出：表格中有两种量，分别是工作总量和工作时间；工作总量随着工作时间的变化而变化，而且工作时间越长工作总量越大，工作时间越短工作总量越小，根据每一组对应的数据能算出工作效率，再用列举的方式引导学生发现工作总量和工作时间的比值就是工作效率，且比值是相等的，也就是工作效率是一定的，进而归纳得出：=工作效率（一定）。最后，由老师给学生介绍：工作时间变化，工作总量也随着变化；工作效率不变，也就是工作总量与工作时间的比值一定，我们就说工作总量和工作时间是成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
第三、鼓励学生通过多个例证中找规律，增强学生对所学规律的可信度。
学习了正比例概念之后，教师可举出生活中成正比例的量的几个实例，再让学生找出生活中还有哪两种量也是成正比例关系，这里一定要引导学生抓住正比例的关键：（比值一定），通过大量的实例一方面加深学生对正比例意义的理解，增强对所学规律的可信度，另一方面也让学生感受到数学与生活的紧密联系。
第四、借助正比例图象的学习，进一步强化对正比例意义的理解，并适度进行函数思想的渗透。
第二个红点主要是对正比例图象的学习，按照《标准》的要求“根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的，这对以后学习比例线段、函数等知识打下基础。设计的三个方面体现了教学正比例图像的三个步骤。第一步画图像。根据教材中的左边孩子的说法，也就是先去描点，要知道各点的具体含义。体会各个点都表示在一定的时间里所生产的总量，也体会这些点是根据对应的工作时间与工作总量的数据在方格纸上画出来的。再根据右边孩子的提示去连线，将各点连接起来。第二步认识图像的形状。下面的第一个问题，发现正比例关系的图像是一条直线。了解正比例图像是直线对以后画图能起两点作用：一是画正比例关系的图像（如第75页第9题），可以根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线；二是如果按正比例关系画出的点不在同一条直线上，表明画点出现了错误，应及时纠正。第三步对图像进行正确的分析，也就是下面提示的第二、三个问题。估计4.5小时大约生产的啤酒数及生产80吨啤酒大约需要的时间。要指导学生利用画垂线或画平行线的技能，尽量使得数准确些。如估计4.5小时生产的吨数，要在横轴上找到表示4.5小时的点，过这点画横轴的垂线，得到垂线与图像的交点，再过交点作纵轴的垂线，根据垂足在纵轴上的位置估计生产的吨数。
注意问题：
（1）正反比例判断时是否还需要去详细地说明理由？
与传统教材相比，取消了机械的专用名词，如相关联的量。在判断两种量是否成正比例或反比例时，也不要求叙述成“时间和路程是两种相关联的量，时间变化，速度也跟着变化，速度与时间的积也就是路程一定，那么时间和路程是成反比例的量，它们的关系是反比例关系。”这样固定的格式。只要学生能够正确地判断出关系并能用自己的话说明理由即可。这里需要注意的是，应尽量给学生表述理由的机会，只要充分地表述才能够理清思维，也能够充分地反映出思维的有序性。在练习时，特别注意让学生叙述理由。如第2题是对正比例意义的巩固练习。通过此题，让学生进一步明确正比例的本质特征，即一种量随着另一种量的变化而变化，而且两种量的比值一定。第（1）题播音时间与播音字数的比值一定，所以播音时间与播音字数成正比例；第（2）题虽然已播字数和未播字数也是两个相关联的量，但是已播字数和未播字数比值不一定，所以不成正比例。
（2）、对正比例图像的学习，应把它看作是理解正比例意义的一种途径，应通过分析图像，更好地理解成正比例的两个量之间的变化规律，进行函数思想的渗透。不应该简单地停留在描点和连线等技能训练上。
4、自主练习分析：
“自主练习”第1题是正比例意义的基本练习。练习时，可引导学生先来思考，判断路程和时间是否成正比例，重要的就是要判断它们的比值是否相等。然后通过计算出每组对应数据的比值，找到不变的量是什么，再结合正比例的意义进行判断：因为=速度（一定），所以路程和时间成正比例。
第2题是对正比例意义的巩固练习。通过此题，让学生进一步明确正比例的本质特征，即一种量随着另一种量的变化而变化，而且两种量的比值一定。第（1）题播音时间与播音字数的比值一定，所以播音时间与播音字数成正比例；第（2）题已播字数和未播字数比值不一定，所以不成正比例。同时要让学生结合实际生活中的实例多举几个这样的例子来进行判断。（教参中出现相关联的量）
第4题是一组判断题。练习时，可先让学生思考：怎样判断两个量是否成正比例？在明确思路后，让学生通过独立思考，逐一解决问题。交流时，注意让学生运用正比例的意义进行说明。关于一个人的年龄和体重，虽然体重随着年龄的变化而变化，但这种变化没有规律，所以不成比例。
第6题是一道巩固和运用正比例图像的题目。练习时，可以先让学生观察图像，了解其中的一些数据，根据对应数据的比值判断运行的周数与所用的时间是否成正比例；也可以根据图像直接判断。再引导学生根据图象进行估计：先从横轴上找到9，再从纵轴上找到对应的点，然后进行估计。运行9周所用的时间大约是16小时。
第9题是一道巩固正比例图像知识的题目，练习第二小题时，应该按照三个步骤进行：第一，首先分清横轴和纵各表示什么，第二，按照提供的数据描出相应的点。第三按顺序把各点连起来。
第10题是一道巩固正比例知识的综合题。此题涉及到半径、直径、周长、面积四个量，它们有的成正比例（如：半径和直径，半径和周长、直径和周长），而有的就不成正比例（如：半径和面积、周长和面积、直径和面积），在这里可能有的学生会分不清。要注意让学生说说理由，进一步加深对正比例意义的理解。（教参中出现相关联的量）
小学六年级数学正比例的意义的教案
教学内容：
教学要求：
1．使学生认识正比例关系的意义，理解、掌握成正比例量的变化规律及其特征，能依据正比例的意义判断两种相关联的量成不成正比例关系。
2．进一步培养学生观察、分析、综合和概括等能力，让学生掌握判断两种相关联量成不成正比例关系的方法，培养学生判断、推理的能力。
教学重点：认识正比例关系的意义。
教学难点：掌握成正比例量的变化规律及其特征。
教学过程：
一、复习铺垫
1．说出下列每组数量之间的关系。
(1)速度时间路程
(2)单价数量总价
(3)工作效率工作时间工作总量
2．引入新课。
上面是已经学过的一些常见数量关系，每组数量中，数量之间是有联系的，存在着相依关系。当其中有一个量变化时，另一个量也随着变化，而且这种变化是有规律的，这节课开始，我们就来研究和认识这种变化规律。今天，先认识正比例关系的意义。(板书课题)
二、自主探究：
1．教学例1。
出示例l。让学生计算，在课本上填表，并思考能发现什么。指名口答，老师板书填表。让学生观察表里两种量变化的数据，思考：
(1)表里有哪两种数量，这两种数量是怎样变化?
(2)长方形的面积随着那种量的变化而变化的？你能看出它们变化的特点吗？
（3）分别找出面积与款项对应的数，面积与宽的比各是几比几？比值各是多少？
引导学生进行讨论，得出：
(1)表里的两种量是长方形的宽与面积（长与面积）。宽与面积（长与面积）是两种相关联的量，(板书：两种相关联的量)面积随着宽（长）的变化而变化。
(2)宽（长）扩大，面积也扩大；宽（长）缩小，面积也缩小。
(3)可以看出它们的变化规律是：面积与宽（面积与长）比的比值总是一定的。(板书：面积和宽比的比值一定)因为面积和宽（面积与长）对应数值比的比值都是5（2）。提问：这里比值5（2）是什么数量?谁能说出它的数量关系式？板书：面积/宽=长（一定）面积/长=宽（一定）想一想，这个式子表示的是什么意思?(把上面板书补充成：长一定时，面积和宽比的比值一定宽一定时，面积和长比的比值一定)
2．教学例2。
出示例2。要求学生按刚才学习例1的方法学习例2，然后把你学习中的发现综合起来告诉大家。学生观察思考后，指名回答。然后再提问：这两种相关联量的变化规律是什么?你是怎样发现的？你能用数量关系式表示出来吗?谁来说说这个式子表示的意思?(把板书补充成单价一定时，总价和数量比的比值一定)
3．概括正比例的意义。
(1)综合例1、例2的共同点。
提问：请大家比较例l和例2，你发现这两个例题有什么共同的地方?(①都有两种相关联的量；②都是一种量随着另一种量变化；③两种量里对应数值的比的比值一定)
(2)概括正比例关系的意义。
像例l、例2里这样的两种相关联的量是怎样的关系呢，请同学们看课本第95页最后连个自然段。说明：根据刚才学习例1、例2时发现的规律，这里有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。追问；两种相关联量成不成正比例的关键是什么?(比值是不是一定)提问：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，那么上面这种数量关系式可以怎样写呢?指出：这个式子表示两种相关联的量x和y，y随着x的变化而变化，它们的比值k是一定的。这时就说x和y成正比例关系。所以，两个量成正比例关系，我们就用式子=k(一定)来表示。
4.教学例3学生看书自学，小组讨论，集体交流。
（1）数量与时间是不是两种相关联的量？
（2）数量与时间有什么关系？他们的比值是谁？比值是不是不变的？
（3）判断数量与时间是不是成正比例?
5.完成97页练一练。
三、巩固练习
1．(1)提问：例l里有哪两种相关联的量?这两种量成正比例关系吗，为什么?例2里的两种量是不是成正比例的量?为什么?提问：看两种相关联的量是不是成正比例，关键要看什么?
2.做练习十一第1题。
让学生读题思考。指名依次口答题里的问题。指出：根据上面所说的正比例的意义，要知道两个量是不是成正比例关系，只要先看两种量是不是相关联的量，再看两种量变化时比值是不是一定。如果两种相关联的量变化时比值一定，它们就是成正比例的量，相互之间成正比例关系。
3．下列题里有哪两种相关联的量?这两种量成不成正比例?为什么?
一种苹果，买5千克要10元。照这样计算，买15千克要30元。
四、课堂小结
这节课学习了什么内容?正比例关系的意义是什么?用怎样的式子表示y和x这两种相关联的量成正比例?判断两种相关联的量是不是成正比例，关键看什么?关键是列出关系式，看是不是比值一定。
五、家庭作业
练习十一第2~6题。