一、利用三角形的面积桥求锐角三角函数值

　　例1 如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，求∠EAF的正切值。

　　图1

　　解：连结EF，作FG⊥AE，垂足为G

　　设正方形的边长为2，则BE=CE=CF=FD=1

　　在△AEF中，

　　在Rt△AFG中

　　评注：本例考查了勾股定理、全等三角形等知识，要求锐角三角函数值必须在直角三角形进行，通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，为解决问题创造了有利条件，使所求问题化归为利用三角形面积桥来解决。

　　例2 如图2，AB是圆O的直径，CD⊥AB于P，若BP=2，CD=12，求cos∠CAD的值。

　　图2

　　解：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD

　　∴点P是弦CD的中点

　　∴PD=PC=6

　　由相交弦定理，得

　　PA·PB=PD·PC=PD2

　　过点D作DE⊥AC，垂足为E

　　评注：本例考查了圆中的相交弦定理、垂径定理，还考查了勾股定理、全等三角形等知识，通过添加辅助线，构造直角三角形，利用三角形面积桥的特殊条件，提高了解题效率与为解决某些问题搭起了平台作用。

　　二、利用三角形的面积桥求点到直线的距离

　　图3

　　解：过点C作两圆的公切线交AB于点P，则AP=PC=PB

　　∴△ABC是直角三角形。

　　设BC=a，AC=b，AB=c，根据题意及根与系数的关系，得

　　根据勾股定理，得

　　将①、②、④代入⑤，得

　　经整理，得

　　设点C到直线AB的距离为h

　　评注：本例由两圆外切来判断三角形的形状，将方程中的根与系数的关系和判别式，以及勾股定理，配方法、方程等知识点串联在一起，综合性较强，所考查的知识点颇多，涉及面广，拓宽了对相关知识点的考查;同时合理构建方程组模型，利用方程的知识和三角形的面积桥是解决问题的关键;利用整体求值法，避免了求边长，提高了解题速度，有利于培养学生将所学过的掌握的相关知识转化为解决实际问题的能力，核心是应用能力，本例形成了较好的考查知识链。

　　三、利用三角形的面积桥求三角形的内切圆面积

　　例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的内切圆面积。

　　解：如图4所示，过点A作AD⊥BC，设BD=x，CD=y，则

　　图4

　　设△ABC的内切圆半径为r，因为三角形的内切圆圆心到三边的距离相等。

　　评注：本例充分利用方程知识和三角形的面积桥，使所求问题无从下手，到“柳暗花明”，使所求问题迎刃而解。

　　四、利用三角形的面积桥解决其他问题

　　解：如图5过点B作BD⊥AC，垂足为D

　　图5

　　评注：本例是2004年全国高考试题改编，在解题过程中，利用了方程思想，实现了几何代数化，由方程知识和三角形的面积桥，使解题思路清晰，解题方法跃然纸上，简洁明快，所以三角形的面积桥为提高解题质量和技巧提供了便捷通道。

　　目标：

　　1、 理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；

　　2、 能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；

　　3、 掌握 Rt △中的锐角三角函数的表示：

　　sinA= ， cosA= ， tanA=

　　4 、掌握锐角三角函数的取值范围；

　　5 、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。

　　教学重点：

　　锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。

　　教学难点：

　　锐角三角函数概念的形成。

　　教学过程：

　　一、创设情境：

　　鞋跟多高合适？

　　美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现， 70 ％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 厘米左右的高跟鞋。但专家认为穿 6 厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳。

　　据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11 度左右时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为 15 厘米，不难算出鞋跟在 3 厘米左右高度为最佳。

　　问：你知道专家是怎样计算的吗？

　　显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题。

　　二、探索新知：

　　1 、下面我们一起来探索一下。

　　实践一：作一个 30 °的∠ A ，在角的边上任意取一点 B ，作 BC ⊥ AC 于点 C 。

　　⑴计算，，的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。∠ A=30 °时学生 1 结果 学生 2 结果 学生 3 结果 学生 4 结果 ⑵将你所取的 AB 的值和你的同伴比较。

　　实践二：作一个 50 °的∠ A ，在角的边上任意取一点 B ，作 BC ⊥ AC 于点 C 。

　　（ 1 ）量出 AB ， AC ， BC 的长度（精确到 1mm ）。

　　（ 2 ）计算BC / AB ，AC / AB，的值（结果保留 2 个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。∠ A=50 °时 AB AC BC 学生 1 结果 学生 2 结果 学生 3 结果 学生 4 结果 （ 3 ）将你所取的 AB 的值和你的同伴比较。

　　2 、经过实践一和二进行猜测

　　猜测一：当∠ A 不变时，三个比值与 B 在 AM 边上的位置有无关系？

　　猜测二：当∠ A 的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？

　　3、 理论推理

　　如图， B 、 B 1 是一边上任意两点，作 BC ⊥ AC 于点 C ， B 1 C 1 ⊥ AC 1 于点 C 1 ，

　　判断比值与，与，与是否相等，并说明理由。

　　4 、归纳总结得到新知：

　　⑴三个比值与 B 点在的边 AM 上的位置无关；

　　⑵三个比值随的变化而变化，但（0 °﹤∠α﹤90 ° ）确定时，三个比值随之确定；

　　比值，，都是锐角的函数

　　比值叫做的正弦， sinα =

　　比值叫做的余弦， cos α=

　　比值叫做的正切， tanα =

　　（ 3 ）注意点： sin α， cos α， tan α都是一个完整的符号，单独的 “ sin ”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写。

　　强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。

　　三、深化新知

　　1 、三角函数的定义

　　在 Rt △ ABC 中，如果锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定 . 则有

　　sinA ＝

　　cosA＝

　　2 、提问：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？

　　（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．

　　生：独立思考，尝试回答，交流结果．

　　明确：锐角的三角函数值的范围： 0 ＜ sin α＜ 1 ， 0 ＜ cos α＜ 1.

　　四、巩固新知

　　例 1. 如图 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C=90 °， AB=5,BC=3,

　　（ 1 ）求∠ A 的正弦、余弦和正切 .

　　（ 2 ）求∠ B 的正弦、余弦和正切 .

　　分析：由勾股定理求出 AC 的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。

　　提问：观察以上计算结果 , 你发现了什么 ?

　　明确： sinA=cosB ， cosA=sinB ， tanA · tanB=1

　　五、升华新知

　　例 2 . 如图 : 在 Rt △ ABC, ∠ B=90 ° ,AC=200,sinA=0.6 ，求 BC 的长 .

　　由例 2 启发学生解决情境创设中的问题。

　　六、课堂小结：谈谈今天的收获

　　1 、内容总结

　　（ 1 ）在 Rt Δ ABC 中 , 设∠ C=90 ° ，∠α为 Rt Δ ABC 的一个锐角，则

　　∠α的正弦，∠α的余弦，

　　∠α的正切

　　2 、方法归纳

　　在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解

　　四、布置作业