高等代数的教与学

　　摘 要: 高等代数是理工类专业的一门基础课。由于其相对的抽象性,相当一部分学生对该课程的学习有畏难情绪,缺乏学习积极性,为了改善这种局面,作者从教与学两个方面提出对策。

　　关键词: 高等代数 教学 学习 记忆

　　高等代数是理工类专业的一门基础课,其解决问题的思想和方法被越来越多的学科所借鉴。但是在大多数高校,该课程开设在第一学年。对于许多新生而言,本身就面临学习环境、学习方法和考试方式等多种变化的不适应。

　　所以,对于较为抽象的高等代数的学习往往有望而却步的感觉。学生反映,上课我听懂了,课下也看明白了,遇到具体题目就不会做了。针对此种情况,我谈谈高等代数教与学的体会。

　　一、高等代数教学

　　高等代数课程具有高度的概括性和抽象性,且有概念多、定理多、证明多、作业多的特点。根据这些具体问题,教学中要注意以下几个方面。

　　1.注意首次课堂教学,让学生认识到学习高等代数的重要性。

　　学习需要动力,动力来源于对所学知识的兴趣。对于刚刚步入大学校门的新生而言,他们对高等代数的学科特点、应用领域等都不甚了解。教学中,常常有学生问道:“老师,学习高等代数有什么意义?这些知识用在哪些方面?”教师对这些问题的回答,直接影响学生学习该课程的兴趣。

　　要解决好这一问题,高等代数的第一次课堂教学尤为重要。教师必须通过实例充分介绍相关知识,如应用领域、知识背景、课程特点、具体要求等,极大地调动学生的学习兴趣。且在后继的教学中,时刻注意联系知识背景,联系数学史知识,不断丰富学生的代数知识,不断提高学生学好高等代数的积极性。

　　2.注意联系实际注意抽象问题的具体化。

　　高等代数课程较其他专业基础课,更为抽象,课堂教学多为理论推导证明。教学过程中,教师必须注意证明思路的条理性和逻辑性,注意使用语言的准确性和生动性,注意转移难点,将抽象问题具体化。

　　注意启发,营造良好的课堂氛围,使学生始终处于积极思考的状态。另外,教师必须注意理论联系实际,以实际的例子或具体的解题应用弥补理论推导的枯燥性,从而吸引学生,保持学生的学习兴趣。

　　3.注意概念教学。

　　数学概念是客观事物的数量关系和空间形式的本质属性的反映,是学习数学理论和构建数学框架的基石。对数学概念的理解与掌握,既是正确思维的前提,又是提高解决数学问题能力的必要条件。

　　高等代数中概念极多,故重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,对于学生理解概念,掌握知识尤为重要。教师必须认真体会概念,选择合适的引入方式,才能有利于学生真正理解和掌握概念。

　　4.分层次布置,作业认真批改作业。

　　习题的布置不要搞题海战,要有选择、有针对性地进行分层处理。既要让接受快的同学发展个性,又要给理解慢的同学提供参与的机会,使所有同学都有成就感,树立学生解题的必胜信心,保持学生的学习积极性。

　　作业批改不是简单的判断正误,是课堂之外与学生交流的又一个直接的平台,带着感情去写好学生的作业批语,可有效地调动学生的学习积极性,使他们逐渐克服学习上的畏难情绪。

　　5.重视习题课教学。

　　习题课不是单纯地做一些习题,它是数学教学的一个重要环节,对于抽象的高等代数而言,其重要性更是显而易见。不仅能使学生温故知新,查漏补缺,更能使学生完善代数知识系统,深化对代数知识体系的理解,做到融会贯通,提高应用和解决问题的能力。习题课要注意两点。

　　(1)习题要认真筛选,精心安排。要有典型性,针对掌握不牢的知识点,针对学生犯错误的知识点,针对学生理解不全面的知识点等对习题进行精选讲解。

　　(2)重视解题的分析过程,对题目所涉及的内容和相关知识进行系统归纳,要引导学生反思与总结,进一步巩固所学知识,开拓解题思路,且充分发挥学生的主体作用,相互交流达到知识互补。

　　一节好的习题课,既能强化学生对理论知识的学习,培养学生逻辑推理、归纳、批判等思维的能力,更能强化学生分析问题和解决问题能力的培养,对提高学生的数学素质有着重要的作用。

　　二、高等代数学习记忆

　　高等代数的学习中有大量的概念、定理、众多的结论,学习的过程是一个相当艰苦的过程。要充分掌握这些知识,一刻也离不开记忆。我从教学实践出发,探讨几种学习记忆的方法。

　　1.静心学习记忆。

　　学习记忆要有一定的环境,学习记忆的方法也因人而异。但无论采用怎样的学习记忆方式,必须做到心静,只有心静才能集中注意力。人们常说“一心不可二用”,有一个平静的心态,耐得住寂寞,是学好代数的基本条件。

　　2.理解学习记忆。

　　学习高等代数的定义、定理,不能死记硬背,要靠理解去记忆。高等代数的任何一个概念、定理的建立及证明,都处于严密的逻辑体系中。因此,对于知识的理解和记忆,必须弄清知识的逻辑联系,把握来龙去脉。对所学知识不仅要了解它是什么,还要知道为什么,这样有意识地进行学习记忆,才能牢固地掌握大量的概念、大量的定理、众多的结论。

　　3.系统学习记忆。

　　按照知识的系统性,将知识进行恰当地分类,将其条理化,编织成一个知识的大网。这样,学习记忆的不是零星片面的知识,而是一棵知识的大树。

　　运用比较的形式,抓住知识大树的主干,把具有内在联系的重要概念,定理或章节串成一个整体。如,整数的整除性与多项式的整除性讨论,其基本思想、概念、定理基本相同,但是概念、定理相当多。若机械学习记忆,则很难掌握。而将它们比较编串成网,则条理清晰,易于学习记忆。

　　4.勤学多练学习记忆。

　　高等代数的内容多,概念、定理错综复杂。某些概念、定理在学习过程中理解了,过一段时间又忘记了,甚至有学后忘前的现象,这是常见的问题。学习高等代数不做一定量的习题,单靠死记硬背,是很难取得好的成绩的。

　　多看、多练才能加深、巩固记忆。如同结识一个好朋友,初次相见无印象,第二次见面点点头,再见面时握握手,学习也如此,所谓“熟能生巧,忘也忘不了”。当然,题海战术不可取,应选择有代表性的问题练习。

　　5.交替学习记忆。

　　学习讲究持之以恒,但要注意不能认死理,思维受阻要转向,有利于大脑的记忆和休息。将数学分析、解析几何、高等代数不同的学科交替学习记忆,有利于思维的灵活性、开阔性,从而达到事半功倍的效果。

　　学习高等代数应该说“有法”又“无法”,因人而异。这个过程是一个艰苦的过程,但绝不是枯燥无味的。

　　“代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具”,当你真正置身于高等代数的“海洋”中,你会找到无穷的乐趣。

　　高等代数为抽象代数教学提供了很多模型和例子，本文从变换、等价关系、群、环、域、零因子和环上的运算规律等方面具体阐述如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.

　　摘 要：　高等代数是数学专业一门重要的基础课程，为学生学习抽象代数提供了必要的基础[1-4].抽象代数是数学专业的必修课程，是对高等代数中出现的数域、多项式等概念进一步抽象概括，是高等代数的继续和高度抽象化[5-8].因此，高等代数为抽象代数提供了很多具体的模型.

　　关键词： 抽象代数;高等代数;数学专业

　　高等代数和抽象代数联系紧密，但鲜有学生能领悟到它们之间的关系.学生普遍认为，高等代数比较容易接受和理解，抽象代数难以理解[9-13].作为一名教师，要利用学生熟知的高等代数知识引入定义或设为例子，使学生接受“抽象代数知识来源于熟悉的模型”这一观念.本文将从以下知识点入手，探讨如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.

　　1 “变换”概念的巩固

　　一个集合A到A的映射称为A上的一个变换.教材[8]首先给出变换的定义，随之给出3个简单例子，学生基本上能掌握这个概念.但是教材[8]中没有适合学生做的课后习题，为了巩固学生所学的知识，可布置这样一道课后习题：高等代数书[4]中也有“变换”和“线性变换”这两个概念，请同学们分析[4]中的变换和这里的变换有什么关系.到下次上课前，先帮助学生温习变换的概念，再检查其课后作业，最后总结：高等代数中所提到的变换是某个线性空间到自身的映射，线性变换是线性空间上的变换并保线性性，而抽象代数中的变换是指任何集合到自身的映射.

　　2 “等价关系”概念的引入

　　等价关系是集合A上的一个关系，并满足自反性，对称性和传递性.在教材[8]中，作者先给出关系的概念和一个关系(不是等价关系)的例子，再直接给出等价关系的概念.如果引入不当，学生比较难以接受等价关系这一概念.事实上，等价关系的例子在高等代数书中很多，可信手拈来.因此，可以提前布置学生去复习高等代数中的矩阵“合同”和“相似”等概念，看这些概念具有什么共性.在讲述“等价关系”之前，先给出实数集R上的n×n阶矩阵集合Mn(R)，并分别给出该集合上的“合同”和“相似”等关系，引导学生发现它们不仅是Mn(R)上的关系，并且都具有自反性、对称性和传递性，然后自然地引出“等价关系”的概念.学生恍然大悟：原来等价关系并不陌生，在高等代数中已经接触过.如果要进一步巩固该内容，还可以引导学生分析Mn(R)上的矩阵秩相同关系，整数集Z上的模4同余关系等，让学生自己发现来自于高等代数的某些例子也是等价关系.

　　3 群、环和域概念的处理

　　在教材[8]中，作者给出群的第一定义和第二定义，并证明了这两个定义的等价性.课堂上先给出第一定义，并引导学生理解Ζ关于普通加法，非零整数集合关于普通乘法按照第一定义都是群，接着由第一定义推导出第二定义，由第二定义又推导出第三定义：一个非空集合G，对于其上的一个运算满足封闭性，满足结合律，存在一个单位元，每个元素都有逆元，则G关于该运算是群，由第三定义推导出第一定义，这样即证明了三个定义的等价性，并将重点放在第三定义.有了第三定义后，提问：Mn(R)关于矩阵加法是群吗?Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法是群吗?同时，让学生翻阅教材[4]中关于矩阵加法和矩阵乘法的定义及性质，学生会发现：Mn(R)关于矩阵加法满足封闭性与结合律，零矩阵是单位元，每个矩阵的逆元是其负矩阵，因此Mn(R)关于矩阵加法是群;Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法也构成群.进一步，引导学生发现：矩阵加法满足交换律，因此Mn(R)关于矩阵加法是交换群;而矩阵乘法不满足交换律，因此Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法不是交换群.接着，再告诉学生：高等代数中还有很多群的例子，请同学们把这些例子全部找出来.学生通过总结，找出了一元实系数多项式集合R[x]关于多项式加法是群、实数集R上的n维行(列)向量的全体关于向量加法构成群等.

　　可类似地处理环和域概念的讲解与巩固，这样不仅促使学生去复习高等代数知识，让学生深刻领悟到：群、环和域等概念是对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵和线性空间等概念的进一步抽象概括，也让学生逐渐意识到抽象代数并不是那么抽象，抽象代数的模型是现实中有例可循的，更增强了学生的学习兴趣和学习积极性.

　　4 零因子

　　零因子对学生来说是个全新的概念，教材[8]中先给出了整数模n的剩余类环Zn的例子：当n是合数时，存在两个不是零元的元素相乘却是零元，接着给出了零因子的概念：在一个环里，a≠0， b≠0，但ab=0，则称a是这个环的一个左零因子，b是一个右零因子，若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称其为零因子，最后还举了一个比较抽象的例子和一个比较泛的矩阵环的例子.虽然Zn在抽象代数中经常出现，但是毕竟该环是通过模n取余运算构成的环，该运算跟学生以前学过的运算有很大的区别，对学生来说仍具有一定的抽象性，而书上列举的矩阵环的例子只说该环有零因子，并没有列举具体的零因子.如果完全按教材的编排按部就班地讲解，学生很容易忘记.这时，不妨引导学生回想：Mn(R)中两个非零的矩阵相乘会是零矩阵吗?大部分学生知道这是可能发生的，但是还有少数学生可能忘记相应的高等代数知识了，这时给出如下例子.

　　通过该例告诉学生A是环S的左零因子而B是环S的右零因子，这样学生基本上知道零因子这个概念了.接着，再提问：“一个环上的左(右)零因子是零元吗?一个环内的左零因子一定是右零因子吗?一个环内的右零因子一定是左零因子吗?”可继续利用例1，让学生在环S里面找个矩阵C使得BC=02×2，学生通过简单的计算发现C必须为零矩阵，所以B是环S的右零因子但不是环S的左零因子，也就是说一个环内的右零因子并不一定是左零因子，反之，一个环内的左零因子并不一定是右零因子，再进一步强调一个环上的左(右)零因子一定不是零元. 　　通过例1的讲解，学生对零因子已经不陌生了，这时采用启发式教学，引导学生去解答：一个环里面哪些元可能是零因子，哪些元一定不是零因子.先给出如下例子.