为大家献上对不定积分计算方法的思考，欢迎各位数学毕业的同学阅导数在不等式证明中的应用!

　　摘 要： 本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。

　　关键词： 不定积分计算 困难 分析 常用方法

　　不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容，是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。因此，熟练掌握不定积分的计算方法与技巧，对于学好高等数学是十分必要的，然而它的计算却存在着一定的难度。

　　一、不定积分计算的困难及分析

　　不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。

　　不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过“猜”的方式，猜原函数，这显然相当的困难;在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。现实存在的问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。

　　二、不定积分计算的方法思考

　　在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f(x)，要求f(x)dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题：已知的是什么?怎么转化过去?

　　课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。

　　1.基本变形。这个方法是由不定积分的性质线性引出的，只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去，它的特点就是多个变单个。

　　2.凑微分法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无处入手。因此，归纳并熟记常用的凑微分公式是十分必要的。

　　老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法，以形象地观察出凑微分法的本质、特点，书上给出的定理是比较抽象的，在对其证明中，可以采取比较通俗的方式，如：要验证f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立，只要验证(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

　　如果成立，则证明了该定理，也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是“变元再协同”。

　　有些例题要“凑”多次，老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的“再”，总的来说凑微元法就是一个“变元再协同”的过程。

　　3.变量代换法。从被积函数中会发现一些难以处理的因式，使用凑微元怎么也协同不了，在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子，告诉学生思考这个问题的方法，多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式，当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理，证明手段类似凑微元的证明。

　　例1：求.

　　思路一：被积函数中既有x，又含有x，所以我们想办法通过变元都协同到x上，然后再观察，再协同。

　　解一：===

　　=d=d

　　=arctan+C

　　思路二：考虑被积函数中含有根号，想办法去掉根号，使用三角代换很容易将其算出。

　　观察这两种方法的各自特点，第一种思路它比较难想到，但计算起来比较简单，第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些，但指向性非常明确。三角换元法一般是把被积函数中含有的，，，分别用x=asint，x=atant，x=asect做变换去掉根式，没有太多的技巧，但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法，例如xdx，dx，被积函数中含有了比较难处理的因式，而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用，但在有些题目中只要用凑微元做就可以了，提醒学生不要犯教条。

　　4.分部积分。其基本公式为udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取，掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导，du是一个局部求导，求导之后要方便运算才有意义。

　　例2：求xedx.

　　分析：被积函数是指数函数e与三角函数x的乘积，用分部积分有两种方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一种方案是对e局部求导，而我们知道对它求导还是本身，所以解决不了根本问题，所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的，这题中对x局部求导就可以去掉这个因式，所以选择第二种方案。

　　这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较，分析各类积分方法的特征，达到掌握并熟练运用的目的。

　　参考文献：

　　[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].高等教育出版社，1990.

　　[2]仉志余.大学数学应用教程(上册)[M].北京大学出版社，2006.8.

　　[3]夏磊.不定积分在高职教学中的教学浅析[J].教育研究与实践，2008，(12).

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　　生命的思考【1】

　　雨，总是美的。

　　而美中总是包含着沉郁。

　　望着雨后苍茫的天空，一缕光明撕破了黑沉沉的帷幕，在这光影交错间——幕的一股忧愁攀上心头。

　　雨后是寂寥的，磅礴的雨声也归作了沉默，绿树间也满是萧瑟。

　　万籁过后俱归于静，最凄凉莫过于心境。

　　时常在朋友间最欢乐之时，莫名的陷入沉重。

　　这份欢乐不属于我。

　　唯有布鲁诺的一句小诗最符合我此时的心境：

　　“看哪!我将漂流远方我将独栖荒野。”

　　生命是庸俗而又高贵的，无一人能逃脱其中的纷纷扰扰，无一人能忘却头顶的星空。

　　或许你心绪沉沦，或许你心情高昂——总有一种东西在你最沉寂的时候找到你，呼唤你。

　　人是最无法逃脱梦想的，逃脱的人必受心灵折磨的痛苦。

　　没有梦想愚公是永远无法移山的，失去梦想的人也永远无法活得酣畅。

　　心灵的荒野便是生命的枯骨。

　　“从明天起喂马、劈柴，周游世界，做一个幸福的人。”而明天永远只是明天，幸福只在今天。

　　把握不住今天的人同样把握不住明天。

　　海子最终把自己托付给了幽冥，丧失了一切可能。

　　爱今天，你便可以爱上你的整个生命。

　　人是注定失败的，因为梦想终是虚幻——谁又能知道你站在成功的峰顶时已丧失了太多?最初的心境早已不在。

　　你又何必期期艾艾，而忘了此时去铸就心灵的清泉。

　　“谁知林栖者?闻风坐相悦。”即使失意，也莫用混沌的心灵去看世界。

　　心灵是生命的源泉，若总是包含着一抹沉郁的化不开的忧愁，青山绿水也就化作了虚无。

　　命运让你来到了人间，你便获得了自由——去选择自己命运的自由。

　　不是一生荣耀的生命便是成功。

　　在生命中看过、笑过，坚守着自己的追求，你便是自由的。

　　随波逐流，摇摆不定，你就注定只能为他人而活。

　　叔本华一生所求不过流诸于笔端的智慧，饱受否认却仍然坚守。

　　因为他爱着自己的追求。

　　追寻梦想是最孤独的，但同时也拥有着更多的知己。

　　也许你们并不相识，也许你们相隔千百年，但你们都是生命的伴侣——即使时隔千百年也能相知相偎。

　　“要么庸俗，要么孤独。”叔本华选择了孤独，但他却又是最不孤独的——因为他与所有时代最高尚的人交汇在一起，他是欣然的。

　　自由从来不是别人给予的，也只有人自己才能禁锢住自己。

　　心灵可以是无限的，但也同时可以化作囚禁自己的囚牢。

　　人活着，就必定面临着种种选择，在种种压力下你是否能保持心灵的纯净，坚持着自己的梦想?自由也是有代价的，它伴随着孤独和误解。

　　选择在你手中——命运给予你选择的权利，但必给予你磨练。

　　“当肤浅的生命行不通时，它便受到质疑，继而引发返本溯源的呼唤。”马斯洛认为每一个人都有一个更高的内在，但又有几人能冲破囹囵?生命的趣味就在于你知道而做不到。

　　做到的人便有了我，做不到的人便失了我。

　　雨停了，但下一场雨会很快到来。

　　生命终会结束，但新的时代仍在继续。

　　这蜉蝣一般的人生，抛却了自我你还能剩下什么?

　　生命的思考【2】

　　花开花谢，潮涨潮落，世人的眼光随花飘飞，随波飞扬，生命的光辉因此也被折射得神奇而又悲壮。

　　人初生的无知，少年的纯真，青年的朝气，中年的稳重，老年的愤世嫉俗都表现在生命的过程中。

　　生命是母亲的慈爱，父亲的严厉，爱人的柔情，朋友的关切，是一切感情的集合体。

　　长河衬落日，青松立峭壁，万里平沙落秋雁，三月阳春和白雪，宝刀快马，金貂美酒都是生命画卷中的一部分。

　　只不过，有些人的生命画是素描，有些人的是水墨画，有些人的则是水粉画，还有一些人的是油画……也许生命就是如此多彩。

　　走在生命的长廊上，有的人把自己当作游客，四处观光;有的人把自己当作路人，埋头前进;有的人把自己当作上宾，只是欣赏一侧的景致，假装很有兴趣;而有一部分人则把自己当作主人，精心设计人生中的景物。

　　人不同，心不同，看到的景致也不同，对于生命的理解自然就有所差异。

　　开花容易，结果难，同样，我们获得生命轻松，并不代表生命过程也熠熠闪光。

　　冬去春至，树上开满了艳丽的花朵，放眼望去姹紫嫣红，令人心旷神怡;但在万花竞相开放的背后却隐藏着凋零，送夏迎秋，一棵树上只挂了不多的果实。

　　静心思索，优胜劣汰让人心惊。

　　开花的不一定都结果，结的果不一定都是甜的。

　　生命又何尝不是如此?活着的不一定都是成功的，成功的也不一定都是有价值的。

　　开花、结果是自然规律，但如果没有蜜蜂采花粉，一切都是徒然;活着的人如果得不到社会的认可，生命的价值也不能得以实现。

　　然而，一切的结果都源于生命自身的成长。

　　石缝中可以创造生命，小草破岩而出;峭壁上能够屹立奇迹，青松挺拔而立;逆境同样可以造就英才。

　　其实，生命就像是岸边的岩石，原本有棱有角的它们在经历了海浪无数次的拍打侵蚀之后变得平滑，光亮。

　　当我们惊叹海之壮阔、天之高远、路之漫长时，我们便能洞察一切了。

　　有时我们需要把自己当成自己去激发生命的火花，有时我们则要把自己当作别人从另一个角度去思考生命。

　　但不论从哪个角度思考，我们都会面向遥远的地平线测度生命的行程。

　　海子说：“远方除了遥远一无所有。”那我要说：“生命除了奋斗别无所求!”

　　生命的思考【3】

　　看着片片枯叶姗然落下，突兀的枝桠孤独的延伸，心中一阵凄凉酸楚。

　　环卫工人一如既往的执着，收集着满地落黄，或做肥或焚化，身旁的它们仍然漠视，傲然挺立于酷酷严寒，期待着暖春的再次莅临，这是一种执着，一种不屈，一种信念，一种精神，年年岁岁莫有例外，一次一次的谢幕只为一次一次的再度登场，你注意到了吗?也许熟视，也许根本不经意，但此种现象却始终伴随宇宙生生不息，顽强的生命在繁复中永恒，不以己悲，不为它扰，反复扮演，不屈不挠，唯一流淌着的是岁月年华。

　　纷扰的岁月，或雷霆或凄风，抑或伴随冰冷的苦雨却都在衣不蔽体，繁华不再之时，你说那又怎样?一个无有思考，无有感受的木偶，我却说你错，它是有思想，有体验的，不然在起风时为何会瑟瑟发抖，起雨时会翩然飘飘纷纷离落，唯有裸体?一说也有神采明媚之日，在春暖花开之时，云开雾散之际，它那繁茂的枝桠，缤纷的色彩，为何也会欣欣然乐此不疲?

　　在道路的两旁，在公园的观景，在高山之巅为何也不遗余力的展现，以至于乐于扮彩的挪移亦会霓虹闪烁光彩照人?根系大地的日子，在山间，在河旁，在危崖，在险滩却也依然，山间它葱绿着，河旁它摇曳着，在危崖它欢腾着，只一根根细脉全力汲取着大地的乳汁，顽强的扮演着自己的角色在人们需要的时候，却不分地域如何苛刻，条件如何艰苦。

　　人们在跋山涉水，观景流连，踏春踩青时目力所及无不养眼，心旷神怡，只因有它做伴一路走来才精彩纷呈，目不暇接。

　　香山红枫，黄山雾松，泰山彩叶，南国古榕以它们的纷繁向人们诉说着它的悠久古朴，展现着预知的未来，这是生命的符号，是不朽的乐章。

　　路旁一颗巨大的白杨高高矗立着，那华丽的冠盖在炎炎夏日为人们提供凉阴，那摇曳着的闪着油亮的片片绿叶随着一阵凉风婆娑起舞，影影绰绰的斑驳洒落一地，像乐厅闪烁的霓虹，伴随着优美的乐章翩然起舞。

　　起雨的季节，却又像一把华丽的巨伞，其上大雨如注，其下只是滴答，被大雨驱赶的人们急匆匆赶往躲雨，待雨驻再四散开来。

　　此时的它博大雄伟，彰显着生命的强悍和力量，令人折服。

　　凄风苦雨的季节，大大小小的生命被摧残，被凋零，它的旁边尽显突兀，即使没有，也是黄叶片片摇摇欲坠，看它时偶有几片黄挂在其上，仍是满目葱茏。

　　大风起时，它只是一阵蟋嗦飘过，仿佛捞痒，它粗壮的树干说“能奈我何?”这是生命的积累，这是经年厚重的堆积，是顽强，是不屈。

　　想想我中华民族，历经几千多年仍生生不息，什么冰雪灾害，洪水肆虐，地震恫吓却从不为所惧，从容面对，我似乎明白了什么。

　　我泱泱大国不正像眼前白杨吗?其子子孙孙在她的阴护下枝叶繁茂，繁衍生息，华丽扮演。

　　生命的思考【4】

　　生命，是寂静夜幕下划过的一颗流星;生命，是蜿蜒在高山，跌落在深谷，奔流在原野，最后消失在大海的小溪;生命，是千百年来碾出的小路。

　　风天起沙砾，雪天结冰霜，高山也崎岖，莽林也穿越，宽宽窄窄，坎坎坷坷;生命，是千百年来谁也猜不透的迷。

　　生命，是一首响彻千古，永远也唱不完的歌。

　　智者说：生命太短暂，逝者如斯夫;庸者说：青春可以赌，人生一场戏;佛说：体会到生命无常的人，就不会放荡和贪逸，所以对生命无常的觉醒是智慧的开端。

　　生命公平地赋于了每一个来到这个世界的人，然而人们对待生命的态度却大不相同。

　　生命就像一杯陈年老酒，喝在不同人的嘴里，就会品出不同的滋味。

　　保尔说过：人最高贵的东西是生命，生命对于每个人史有一次。

　　人的一生应当是这样度过的，当他回首往事时，不为虚度年华而悔恨，也不为碌碌无为而羞耻。

　　生命就是唯一，尤其显得珍贵。

　　所以司马迁说：人固有一死，或生于泰山，或轻于鸿毛。

　　毛主席则进一步说：为人民的利益而死，就比泰山还重。

　　因而生命虽然珍贵无比，却有轻重之分。

　　裴多芬说：生命诚可贵，爱情价更高，若为自由故，二者皆可抛。

　　纵然生命是十分珍贵的，但生命的价值是可以选择的。

　　生命其实是一道严峻的课题，当面临选择的时候，“生命”二字就价值千金，就彰显出强大的理性光辉。

　　生命既然如此珍贵，每一个拥有生命的人，就没有资格浪费和忘弃生命。

　　畏惧生命之艰难，视生命如儿戏，哀叹生不如死的人，就不配拥有生命。

　　好好地珍惜生命，因为每一条生命都聚集了太多的牵挂，都蕴含了太深的感情。

　　它没有高低贵贱，没有永垂不朽，只有刻骨铭心!

　　任何拥有生命的人都不配奢谈生命，失去生命的人又无法回过头来与我们探讨生命的真谛。

　　生命是一缕蓝天中的白云，今天在你的眸中飘逸，却不知明日魂归何方;生命不是捧在手心里的宝贝，而是我们踏踏实实地留在人生之路的足迹!

　　生命其实很简单，一条普普通通的小路，黎明出发，走进黑暗。

　　认认真真地走完自己的人生路，风光旖旎，我们可以驻足欣赏;荆棘遍地，我们披荆斩棘奋勇向前。

　　走出沼泽，看鲜花遍地满眼流光;登上山巅，观风起云涌气象万千。

　　普通的路，走出别样的风景，归宿虽然一样，旅途却相差千里。

　　生命是一朵挂满晶莹露珠的鲜花，生命是一片苍翠欲滴的绿叶，生命是一颗饱经风霜的果实。

　　生命是鲜活，生命是旺盛，生命是成熟……。