数学读书报告

时间:2024.3.20

数学读书报告

看完了一本书,名叫《数学与艺术——无穷的碎片》.这本书包含了十个章节,参考文献以及索引三大部分,是我从未见过的创新.

这本书深入浅出的介绍了许多数学与艺术相结合的内容,通过二百幅插图以及二十多幅彩图,介绍了许多优秀作品和不少艺术家,数学家的奇闻趣事.

读完这本书,我得到了许多收获.比如,我知道了什么是四维图形.因为书上说:一维图形是由一个点移动得来(长度),二维图形是由一维图形移动得来,三维图形是由二维图形移动得来(体积),那么四维图形肯定是由三维图形移动得来的.而且,我还由此认识了超立方体,他当然也是四维图形,或者说它是超三维图形.

比如,我还通过试验得知:一维图形有2个顶点,二维图形有4(2×2)个端点,三维图形有8(2×2×2)个端点,四维图形有16(2×2×2×2)个端点.而这四个数,刚好功成了一条比值为2的等比数列.这也证明了超立方体的16个端点与32条棱的性质,也能说明:这些□维图形之间,有着奇妙的关系.

此外,我还知道了某个物体是否具有"二片性".一般的,没有缺口的,没有皱褶的凸几何体(例如球或鸡蛋形)具有两片性.然而,某些非凸的几何体也具有两片性,例如削去了有柄那一半的甜瓜,或削去了有柄那一半的梨.

虽然这本书还有太多我不明白的东西,但是我仍然喜欢它.


第二篇:数学分析读书报告


        

数学读书报告

对数学分析六个基本定理的感想

课程名称    数学文化       

学生姓名    代广武         

学生学号    2009303630 ____

专   业     应用物理学   

所在院系   理学院          

我的专业是应用物理学,所以我对数学专业所学的数学分析具有浓厚兴趣,重点研究了数学分析的六大基本定理。他们互推互证构成的循环让我十分惊奇。


大体上讲,数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础上,以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。
追溯历史,早在17世纪,Newton和Lebniz就各自独立地发明了微积分,当时是出于解决具体问题的需要。不过,那时的理论很不完善,诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义,由此引发出许多问题和矛盾。
后来,Cauchy和Weierstrass等人引入严格的分析语言,为分析学奠定了牢固的根基。他们的工作已经成为经典,成为数学系本科生的入门知识。
 再次附上这六个大名鼎鼎的定理,他们是数学分析的逻辑基础,个人认为要掌握他们难度还是不小的。

1. 实数基本定理的陈述

实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的,特别是可通过这部分内容的学习与钻研,培养严密的逻辑思维能力。为了方便起见,我们先叙述实数理论的8个基本定理。

    定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集,必有上(下)确界。

定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。

定理3( Cantor区间套定理) 若是一个区间套, 则存在唯一一点,使得

定理4(Heine-Borel有限覆盖定理) 设是一个闭区间,上的一个开覆盖,则在中存在有限个开区间,它构成上的一个覆盖。

定理5(Weierstrass聚点原理) 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

定理6(Bolzano致密性定理) 有界无穷数列必有收敛子列。

定理7(Cauchy收敛准则) 数列收敛对任给的正数,总存在某一个自然数,使得时,都有

我个人对区间套定理比较熟悉,而且我对这个定理也比较感兴趣。

一.什么是闭区间:数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理:有无穷个闭区间,第二个闭区间被包含在第一个区间内部,第三个被包含在第二个内部,以此类推(后一个线段会被包含在前一个线段里面),这些区间的长度组成一个无穷数列,如果数列的极限趋近于0(即这些线段的长度最终会趋近于0),则这些区间的左端点最终会趋近于右端点,即左右端点收敛于数轴上唯一一点,而且这个点是此这些区间的唯一公共点。(开区间同理)

区间套最后可以确定实数轴上唯一的一点,这为研究密度无穷大的实数轴提供了一个很好的办法,而且用他可以证明确界原理,单调有界原理证明其他原理个人也比较习惯。

   这里附上区间套定理证明其他原理的片段。

1 .区间套定理证明单调有界原理

证明:设数列递增有上界.

取闭区间,使不是数列的上界,是数列的上界.显然在闭区间内含有数列的无穷多项,而在外仅含有数列的有限项.

对分,取,使其具有的性质.故在闭区间内含有数列的无穷多项,而在外仅含有数列的有限项.

以此方法,得区间列.

由区间套定理,是所有区间的唯一公共点.

显然,在的任何邻域内有数列的无穷多项,即>0,,当时,有.

所以  定理得证.

2.区间套定理证明致密性定理[1]

证明:设为有界数列,即存在两个数,使.等分区间为两个区间,则至少有一个区间含有中的无穷个数.把这个区间记为,如果两个区间都含有无穷个,则任取其一作为.再等分区间为两半,记含有无穷个的区间为.这个分割手续可以继续不断的进行下去,则得到一个区间列,这个区间列显然适合下面两个条件:

(1)

(2)

于是由区间套定理,必存在唯一点使,且…).

每一中均含有的无穷个元素.

中任取的一项,记为,即的第项.由于也含有无穷个,则它必含有以后的无穷多个数,在这些数中任取其一,记为,则.继续在每一中都这样取出一个数,即得的一个子列,其中<…<<…,且.令,由于.这就是定理所要的结果.

二 有限覆盖定理

1.有限覆盖定理

若开区间所组成的区间集覆盖一个闭区间[,],则总可以从中选出有限个区间,使这有限个区间覆盖[,].

个人对它的直观理解

无限多个开区间的并覆盖了一个闭区间
则从这无限个开区间中,一定能选取出有限个开区间的并就能覆盖这个闭区间。

如果把被覆盖的改成开区间,则命题不成立
比如:(0, 1/2)∪(0, 1-(1/2)^2)∪(0, 1-(1/2)^3)∪(0, 1-(1/2)^4)∪......
覆盖了(0,1)
但是上述任意有限个开区间都不能覆盖(0,1)

如果把无限多个开区间改成无限多个闭区间,命题也不成立
比如:[1,2]∪[0, 1/2]∪[0, 1-(1/2)^2]∪[0, 1-(1/2)^3]∪[0, 1-(1/2)^4]∪......
覆盖了[0,2]
但是上述任意有限个闭区间都不能覆盖[0,2]

从这个方面理解可以对此问题有一定深入的认识吧。

 这里附上有限覆盖定理对其他部分定理的证明。

2 .1有限覆盖定理证明确界定理

证明:在这里我们只说明定理的上确界部分.

设不为空集的区间,有,任取一点,假设无上确界,那么[,]:

ⅰ)当的上界时,必有更小的上界,因而存在一开邻域,其中每一点均为的上界,称其为第一类区间;

ⅱ)当不是的上界时,则有使,那么存在一开邻域,其中每点均不是的上界,称其为第二类区间.

 当取遍[,]上每一点找出一个邻域.

显然不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[,]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,必存在有限子区间覆盖[,].显然所在的开区间应为第一类区间,与其邻接的开区间有公共点.

所以均为的上界.而与相邻接的开区间有公共点,所以 均为的上界.                                

依此类推,所在的开区间也是第一类区间,则的上界.

为常数集.由此矛盾引出.

得证.

同理,有下确界.

2.2有限覆盖定理证明致密性定理

证明:设是一有界数列,现在证明有收敛子列.

(1)如果仅由有限个数组成,那么至少有一个数要重复无限多次,即=…=… 因而子列收敛于.

(2)如果是由无穷多个数组成,由有界性知,存在闭区间,使对一切自然数都有

内至少存在一点,使对于任意的正数,在内都含有中无穷多个数.事实上,倘若不然,就是说对于中每一点,都有>0,在内,仅有中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集:完全覆盖了闭区间,依有限覆盖定理,存在中的有限多个区间.

,…,,他们也覆盖了,并且在每一个…,)中都只含中的有限多个数.因此也最多是由有限个数组成,这与假设矛盾.

我对其他定理理解不如这两个,在中国科技大学出版的《高等数学导论》中,个人认为对着两个定理的描述比较好,因此我对这两个定理比较喜欢,所以在此一叙。可以算作是对这本书前边部分的读书报告吧。

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