第十八章 勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a ＋b =c 。
2 2 2

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a ＋b =c 。 ，那么这个三角形是直
2 2 2

角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另 一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理）

4.直角三角形的性质
（1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90° ? ∠A+∠B=90° （2） 、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下：
? BC=

1 2

AB

∠C=90° （3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： D 为 AB 的中点
? CD=

1 2

AB=BD=AD

5、摄影定理
在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 每条直角边是它们 在斜边上的摄影和斜边的比例中项 2 ∠ACB=90° CD ? AD BD
?
AC
2

? AD AB BC
2

CD⊥AB

? BD AB

6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC

7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a ? b ? c ，那么这个 三角形是直角三角形。
2 2 2

8、命题、定理、证明
1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题） 命题 假命题（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 6、证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

9、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

C D . 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正 方形 A，B，C，D 的面积之和为___________cm2.
7cm B

A
第
18

题 图

15.如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一

棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8，AD=5，则 AC 等于 ______________.

如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动， 已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km， 那么台风中心经过 多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏 的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

A D

C

B

11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题： “小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单 位） ，另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺.每棵树的树顶上都停着一 只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时 到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

第二篇：初二数学上册知识点总结

1.过两点有且只有一条直线 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等

4.同角或等角的余角相等 5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9.同位角相等，两直线平行

10.内错角相等，两直线平行 11.同旁内角互补，两直线平行 12.两直线平行，同位角相等

13.两直线平行，内错角相等 14.两直线平行，同旁内角互补

☆定理 三角形两边的和大于第三边 ☆推论 三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

推论：直角三角形的两个锐角互余

推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

全等三角形的对应边、对应角相等

边角边(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角( ASA);有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 推论：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

推论：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

推论：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

定理：关于某条直线对称的两个图形是全等形

定理：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 第 1 页 共 1 页

定理：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即

a^2+b^2=c^2

勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

定理 四边形的内角和等于360°

四边形的外角和等于360°

多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

推论：任意多边的外角和等于360°

平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等

平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等

推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

学好初二数学的方法：

一、该记的记，该背的背，不要以为理解了就行

数学的定义、法则、公式、定理等一定要记熟，有些最好能背诵，朗朗上口。比如大家熟悉的“整式乘法三个公式”，我看在座的有的背得出，有的就背不出。在这里，我向背不出的同学敲一敲警钟，如果背不出这三个公式，将会对今后的学习造成很大的麻烦，因为今后的学习将会大量地用到这三个公式，特别是初二即将学的因式分解，其中相当重要的三个因式分解公式就是由这三个乘法公式推出来的，二者是相反方向的变形。

对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。打一个比方，数学的定义、法则、公式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的；有了这些工具，再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。而记住了这些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。

二、几个重要的数学思想

1、量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关等式：速度*时间=路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解 第 2 页 共 2 页

方程。我们在小学就已经接触过简易方程，而初一则比较系统地学习解一元一次方程，并总结出解一元一次方程的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤，任何一个一元一次方程都能顺利地解出来。初二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、简单的三角方程；到了高中我们还将学习指数方程、对数方程、线性方程组、、参数方程、极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致，都是通过一定的方法将它们转化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒，化学中的化学平衡式，现实中的大量实际应用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。因此，同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。

所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去解决它。

听懂并记忆有关的定义、法则、公式、定理，只是学好数学的必要条件，能独立解题、解对题才是学好数学的标志。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地对付那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要；一是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃；只有自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

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