52 排列组合
一、学习内容：选修2—3，P11～25
二、课标要求：
1．理解排列、组合的概念．
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3.能解决简单的实际问题．
三、基础知识
1．两个概念
(1)排列
从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)，按照 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)组合
从n个元素中取出m个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．两个公式
(1)排列数公式
Amn＝ ＝ . 规定0！＝ .
(2)组合数公式
0Cmn＝ ＝ . 规定Cn＝ .
3．组合数的两个性质
mm(1)Cn＝ ；(2)Cn＋1＝ .
四、典型例题分析
1.（20xx山东（理））用0,1,?,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243
【答案】B B．252 C．261 D．279
2.（20xx四川（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga?lgb
的不同值的个数是 （ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
【答案】C
3.（20xx大纲版（理））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用
数字作答).
【答案】480
4.（20xx北京（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给
同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.
【答案】96
错误！未指定书签。5.（20xx重庆（理））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一
个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)
【答案】590
6．7位同学站成一排：
(1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？
7【解析】站成两排(前3后4)，共有A7种不同的排法；
(2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
【解析】其中甲站在中间的位置，共有A66种不同的排法；
(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
5【解析】甲、乙只能站在两端的排法共有A22A5种；
(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
【解析】甲不排头、乙不排尾的排法共有：
法一：甲站排尾；共有A66种不同的排法；
115甲不站排尾，共有A5A5A5种不同的排法；
115故共有A66＋A5A5A5种不同的排法；
法二：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；
6甲排头，共有A6种不同的排法；
乙排尾，共有A66种不同的排法；
甲排头且乙排尾，共有A55种不同的排法；
65故共有A77－2A6＋A5种不同的排法．
(5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
【解析】先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全
6排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法，所以这样的排法一
62共有A6A2＝1440种．
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
【解析】甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：
法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将
4剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方
42法，所以这样的排法一共有A25A4A2＝960种方法．法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成
一个元素，此时一共有6个元素．
65若丙站在排头或排尾有2A5A25种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A6－2A5)·2＝960种
方法．
法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法．
5再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排
52法一共有A14A5A2＝960种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
【解析】甲、乙两同学不能相邻的排法共有：
7法一：(排除法)A7－A6A26·2＝3600(种)．
法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，
52再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A5A6＝3600种方法．
(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
【解析】甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有：
先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别
33插入这五个“空”有A5种方法，所以一共有A44A5＝1440种．
(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？
【解析】甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有：
7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；
3甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有A55A3＝720种．
53故共有A77－A5A3种不同的排法．
(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？
【解析】甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之外的4人，共有A44种排法，产生
22425个“空”再将甲乙(视为一个元素)与丙排入有A5种，再将甲、乙全排，有A2，∴共有A2 2A4A5种．
(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？
A7【解析】(消序法)共有种． 2
【点评】涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为元素分析法或位置分析法)；或者，先求出不加限制条件的排列数，再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法)，这是解排列题的基本策略．所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果．本题中要求相邻(或连排)的是特殊元素，先把他们捆绑处理，要求两两不相邻的需要用“插空法”．
五、基础练习
1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有________．
答案 70种
解法一 直接法，可以从4台甲型电视机中取2台，再从5台乙型电视机中取1台，或者从4
12台甲型电视机中取1台，再从5台乙型电视机中取2台，所以共有C2C1C5＝70种选法． 4·5＋C4·
3解法二 间接法，从9台电视机中取3台有C9种取法，从甲型电视机中取3台有C34种取法，从
333乙型电视机中取3台有C5种取法，这两种取法不符合条件，所以符合条件的取法为C9－C34－C5＝70
种．
2．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有( )
A．6种 B．24种 C．48种 D．720种
答案 C
解析 据题意知4个不同的商业广告可排在中间的4个位置上共有A44种方法，再将2个公益广告排在首末2个不同的位置共有2种方法，根据分步计数原理可得不同的播放方式共有2A4 4＝48种．
3．安排7位工作人员在5月x日到5月x日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月x日和2日．不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
答案 2400
解析 第一步：安排甲、乙两人在3～7日，其选择有A2，5＝20，第二步：剩下5个人选择有5！因此不同的安排方法数共有20×5！＝2400种方法．
4．某兴趣小组有4名男生，5名女生，从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生且女生人数必须少于男生的选派方法有________种．(用数字作答)
答案 45
解析 据题意知参加活动的情况可分为两类：一类是4男1女，另一类是3男2女，分别是C15，23123C5C4种不同的情况，故共有C5＋C5C4＝45种方法．
－15．求证：m·CmCmn＝n·n－1.
m·n！n！【证明】 m·Cm＝nm！·?n－m?！?m－1?！?n－m?！
n·?n－1?！n！?m－1?！[?n－1?－?m－1?]！?m－1?！?n－m?！
－1∴m·CmCmn＝n·n－1.
226．计算：C22＋C3＋?＋C10
m－1【思路】 运算组合的性质Cm＝Cmn＋Cnn＋1逐一合并．
2222【证明】 C2＋C3＋C4＋?＋C10
222＝C33＋C3＋C4＋?＋C10
22＝C34＋C4＋?＋C10
22＝C35＋C5＋?＋C10
3＝??＝C11＝165.
【点评】运用排列数、组合数公式证明等式时，一般用阶乘式．运用排列数、组合数公式计算具体数字的排列数、组合数时一般用展开式，直接进行运算．
7．7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
①A，B必须当选；②A，B必不当选；
【解析】由于A、B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有C310＝120种．
③A，B不全当选；
【解析】从除去的A、B两人的10人中选5人即可，
∴有C510＝252种．
353【解析】全部选法有C512种，A、B全当选有C10种，故A，B不全当选有C12－C10＝672种．
④至少有2名女生当选；
【解析】注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，
14∴有C5C7－C512－C5·7＝596种选法．
⑤选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
【解析】分三步进行：
第一步：选1男1女分别担任两个职务为C1C17·5；
21第二步：选2男1女补足5人有C6·C4种；
3第三步：为这3人安排工作有A3.
由分步乘法计数原理共有
11213C7·C5·C6·C4·A3＝12600种选法．
【点评】有限制条件的组合问题的解题思路．同样要从限制条件入手．因组合问题只是从整体中选出部分即可相对来说较简单．常见情况有：
(1)某些元素必选．
(2)某些元素不选．
(3)把元素分组，根据在各组中分别选多少，分类．
(4)排除法
8．有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
【解析】 解法一(直接法) 从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
1①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C4种选法；0可在后两位，有C12种方法；
最后剩下的三张中任取一张，有C1又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，3种方法；
112故此时可得不同的三位数有C14C2C32(个)．
②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C222·A34·3(个)．
333③0和1都不取，有不同的三位数C4·2·A3(个)．
综上所述，共有不同的三位数：
1112333C4·C2·C3·2＋C222·A32·A3＝432(个)． 4·3＋C4·
解法二(间接法) 任取三张卡片可以组成不同的三位数C323·A3其中0在百位的有C222·A25·3(个)，4·2333222(个)，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C5·2·A3－C4·2·A2＝432(个)．
1n·Cmn－1＝－
【本课总结】
1．解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：
(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘．
(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径．即：
①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法；
③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法；
⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法；
⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法；
⑨至少(至多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法；
?局部与整体问题排除法； ?复杂问题转化法．
2．计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行的，分步是否按事件发生的过程进行的．
3．画示意图是寻找解题途径的有效手段．