高中数学之自我总结
§1集合与简易逻辑
1基本概念(定义):元素(确定性,唯一性,无序性),表达方式(描述,枚举,Venn图)
2子集,真子集的概念(注意全集与空集的特殊性)
3集合间的交,并,补运算(注意概念的准确性)
4补集思想
5映射:集合→集合(函数是一种特殊的映射:数集→数集)
6复合命题真假的判断
7充要条件(注意条件结论的位置)
考试以选择与填空题为主
§2函数
1三要素:定义域(注意限制条件),对应法则,值域(方法很多,掌握常用即可)
①配方法
②换元法（运用换元法时，要特别要注意新元的范围）
③函数有界性法
④单调性法
⑤数形结合法
⑥不等式法
⑦导数法
三种方法:图象,列表,解析式
二域:定义域,值域
一相等:定义域相同,对应法则相同
2解析式的求法:①换元,②待定系数法③配凑法④方程的思想等
3单调性(定义):判断(定义,导数,图象,复合函数单调法则:同增异减),证明(定义,导数)
4奇偶性(定义域优先)( ①定义法②等价形式③图像法),周期性(与对称性有关)
5初等函数的图象及性质:定义域,值域,图象等(常见的图象变换:翻折,平移,伸缩等)
6反函数:对称性,互换性,等价性,一致性
7导数与函数(内容比较多,在导数知识单独说)
8二次函数的相关知识(重要)(分式,一元二次不等式)
9不等式恒成立问题,参数取值范围:转化为函数最值或值域问题
10抽象函数:求特定的函数值,单调性证明
11分段函数:求分段函数的值f(x)时，一定首先要判断x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集
§3立体几何
1常见的几何体:体,台,柱,锥,球…掌握常见几何体的表面积与体积公式(与球有关的抓住球心和半径)
2四条公理以及其推论(熟记)
3线线关系(平行,相交,重合,异面);
线面关系(平行,相交,线在面内);
面面关系(平行,相交,重合):[注意判定定理和性质定理]
4线线角[0°,90°](平移等)
线面角[0°,90°](等积法,三垂线定理等)
二面角[0°,180°](解三角形法,射影面积法,垂面法等)的定义及求法
5点到直线(平面)的距离:直接法,等积法,向量法
6直观图的画法（斜二测画法规则）
7三视图（画法及复原；要求：长对正，高平齐，宽相等）
8向量法解立体几何
①建系原则:右手系,尽可能让多的点落在坐标轴上
②线线角,线面角,二面角,点到直线的距离的向量语言的翻译
③空间向量基本定理
9立体几何中常用的方法:等积法,平移法,割补法等
§4概率与统计
1基本概念:互斥事件,对立事件,相互独立事件(对立必互斥,互斥不一定对立)
2概率定义及其求法(古典概型;几何概型(一般不考)等)
3期望,方差,标准差的定义及求法(注意有些特殊概型的期望与方差的公式)(重要!)
4正态分布(注意数字的意义)
5抽样方法(共同点:等可能性)
简单随机抽样(抽签,随机数表法等);系统抽样;分层抽样
6独立假设性检验(判断收集的数据是否符合标准)
7线性相关性与应用
§5三角函数
1三角函数的基本概念(定义及函数的意义)
2基本特征:周期函数(多对一型映射),正余弦函数值域的有界
3常用的三角函数间的关系:(sinx)^2+(cosx)^2=1,tanx=sinx/cosx
4常用公式
①诱导公式(奇变偶不变,正负看象限)
②和,差角公式(二倍角)
③辅助角公式(三角函数的化简)
5函数y=Asin(ωx+φ)+B相关问题:图象画法(五点作图),解析式的确定
6三角函数方程,不等式的解法,三角恒等式的证明,解析式化简,求一个角的大小(角的三角函数值与角范围兼顾)
7三角函数的化简、计算、证明常用技巧:
①巧变角
②三角函数名互化
③公式变形使用
④降次升次公式
⑤式子结构的转化
⑥常值变换主要指“1”的变换
8基本方法:变,拆,凑
§6平面向量
1向量的有关概念:定义,模,零向量,单位向量,平行向量,相等向量,投影,夹角,法向量
2表示方法:字母,代数,几何
3运算:加法与减法(平行四边形或三角形法则);数乘;数量积(内积)
4平面向量基本定理
5定比分点(了解)
6概念把握要准,特别注意零向量
§7数列
1定义及基本概念(数的规律排列)
2等差数列[An=A1+(n-1)d]
①基本量(首项:A1,公差d)
②判定方法(定义,中项公式,Sn)
③性质
i)若正整数m,n,r,s满足m+n=r+s,则Am+An=Ar+As
ii)Sn为An的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……成等差数列
3等比数列[An=A1q^(n-1)]
基本量:首项,公比,判定方法,性质(类比等差数列)(注意公比为1和-1的情况)
4求数列通项公式的方法:定义,构造(掌握常见的即可)
5常用知识点
①注意An=S1(n=1);Sn-Sn_1(n>=2)
②错位相减法
③倒序相加法
④数列等式及不等式证明(裂项,放缩)
6对于新定义数列,紧抓题目信息,寻找它与已学知识的联系
7数列求和的常用方法
①公式法
②分组求和法
③倒序相加法
④错位相减法
⑤裂项相消法
⑥通项转换法等
§8解三角形
1三角形之间的关系:全等,相似(一般不考)
2边角关系:内角和180°,两边之和大于第三边(隐含条件,做题时易忽略)
3三角形的重心,内心,外心,垂心,旁心(了解定义,重心考查较多)
4正弦,余弦定理及应用(解题时使用最多,注意把握)(重点)
5解三角形问题:长度,角度(角范围与函数值兼顾),面积(掌握常见的公式)[题目一般与向量结合考查]
6注意:
①一题多解(注意检验解是否都符合,有时候还要防止漏解)
②题目中的关键字眼(如锐角三角形等)
③三角恒等变换在解题中的作用
④隐含条件:锐角三角形中有sinA>cosB
§9简单的线性规划
1不等式表示区域问题(线定界,点定域)
2常考问题:直线的截距,角度,区域的面积,距离,斜率等
3注意问题
①注意对问题本质的寻求,适当转化
②线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界处取得
③数形结合思想,化归思想适当运用
④注意边界是实线还是虚线
§10不等式初步
1不等式的概念及基本性质:对称性,传递性,同加原理,同乘原理,倒数原理,乘方和开方原理
2一元常见不等式的解法:有理不等式-穿轴法;指,对数,绝对值不等式,抽象不等式(注意条件,具体对待)
3均值不等式(重点),使用条件:正(正数),定(定值),等(等号成立条件)
4不等式证明方法:比较法(作差,作商);综合法;分析法;其他(换元,放缩,判别式,反证,构造等)
5注意均值不等式使用过程中1的代换、整体思想的运用
6含参、含绝对值不等式求解时必要时需要进行分类讨论
§11解析几何
A直线与圆
1直线的方程(倾斜角和斜率):一般式,点斜式,斜截式,截距式,两点式,参数式
2圆的方程:标准方程,一般方程,直径式,参数方程
3点到直线的距离,平行直线间的距离公式
4直线与直线,直线与圆,圆与圆位置关系的判定(代数法,几何法)
B圆锥曲线
1椭圆:第一定义,基本量(a,b,c,e的含义等)(了解第二定义)
2双曲线(要求最低)了解概念(注意渐近线)
3抛物线(文科考查较多)
4直线与圆锥曲线的位置关系(定义法;联立,判别式)
5技巧与方法:点差法,整体法,韦达定理,弦长公式,巧用定义等
§12导数
1基本概念(定义):定义法利用极限,求出结果
2导数的几何意义及物理意义(切线问题处理方法:设切点,列方程,求切点,写式子)
3常用的导数求导法则,四则运算和复合函数求导法则(基本初等函数的求导公式要熟记)
4导数与函数的单调性及极值,最值问题(求导,列表法判断;含参数的要注意,一般需要分类讨论;注意题目所给的参数范围的限制,如正数等)
5综合应用:导数与数列,不等式,解析几何(文科一般为抛物线),定积分(选择或填空题;方法:几何意义或找原函数)[文科以多项式函数为主,多为三次函数求导后,变为含参数的二次函数问题；理科一般为复合型函数]
6注意分类讨论的合理性;韦达定理使用较多，注意把握;参数取值范围(变量分离或构造(差)函数),有时要对待求问题变形处理后求解,这样可简化
§13复数
1复数引入的必要性:扩充保证了数系完备性
2复数的定义:z=a+bi,a,b为实数,i^2=-1;实部,虚部均是实数;复平面内复数的表示
3常见的结论 ①(1+i)^2=2i②(1-i)^2=-2i③(1+i)/(1-i)=i
4考查时以选择题为主
§14排列,组合与二项式
1计数原理:(分类)加法原理,(分步)乘法原理
2排列数和组合数的定义与简单运算
3排列组合问题注意:是否与顺序有关,先选还是先排,分类还是分步
4常用方法:
直接法(位置/元素分析法,隔板法,捆绑法等)
间接法(排除法等),照顾特殊位置/元素(先考虑)(难点)
5二项式的展开式通项,注意其上下指标和字母顺序
6赋值法求二项展开式中系数的值,注意赋值的合理性,不要忘记常数项
§15推理与证明
1归纳:从一般的式子中找出共性,总结出一个结论
2类比:通过观察多个式子,找到与新命题的联系,通过适当的变化得到新的结论
3证明等式与不等式方法:
①比较法(差,商,变形);
②反证法(处理含有至少,唯一等词的命题);
③数学归纳法(注意归纳基础与递推,处理与自然数有关的题目)等
4方法要点:
①依据题目的特点和内在联系,选择适当的方法;
②熟悉各种证明方法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点
第二篇：高中数学知识点总结
高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10. 何求复合函数的定义域？ 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域。 12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
**在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17. 你熟悉周期函数的定义吗？(T是一个周期。）
18. 你掌握常用的图象变换了吗？
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。 *利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值。
21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法
（1）名的变换：化弦或化切
（2）次数的变换：升、降幂公式
（3）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34. 不等式的性质有哪些？ 35. 利用均值不等式：（一正、二定、三相等）
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）（按不等号方向放缩）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（转化为最值问题或“△”问题）
43. 等差数列的定义与性质
44. 等比数列的定义与性质
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？（1）求差（商）法 （2）叠乘法（3）等差型递推公式 （4）等比型递推公式 （5）倒数法
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
（2）错位相减法：
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（1）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列。
（2）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组。 50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
（重点）51. 二项式定理
（1）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
（2）对立事件（互逆事件）：
（3）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法）（2）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件）；而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
了解54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数 较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法
（1）决定组距和组数；（2）决定分点；（3）列频率分布表； （4）画频率直方图
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（2）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 （ 规定：零向量与任何向量平行）
（3）向量的加、减法
（4）平面向量基本定理（向量的分解定理） （5）向量的坐标表示
57. 平面向量的数量积: (1)数量积的几何意义（2）数量积的运算法则 58. 线段的定比分点
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
* 线面平行的判定 *线面平行的性质 *三垂线定理（及逆定理） *线面垂直 *面面垂直
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
63. 球有哪些性质？
（1）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（2）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（3）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 65. 如何判断两直线平行、垂直？
66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？
(1) 圆心到直线的距离与圆的半径比较 (2) 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
68. 分清圆锥曲线的定义
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。