第二章 数列
1. 数列与函数
从概念上理解为:数列是一种不连续的函数集,如下图所示
解答“数列的概念”一类试题,主要掌握以下几点:
1.给出数列的几项,求通项,一般用归纳法写出一个通项公式,然后可以用数学归纳法验证之。
?s1,n?1?
?Sn?Sn?1,n?2
2.已知Sn 求an,用an=
这里容易忽视对n=1的讨论
3.已知递推关系求通项一般有两种方法:
(1)通过递推关系,求出数列的前几项,然后观察规律猜想通项,再证明其猜想结论的正确性.(同1中的数学归纳法)
(2)转化成等差、等比数列,再求通项. (主要) 4.数列的能项an=f(n)可视为关于n的函数,可用函数的观点方法证明其单调性、有界性、周期性等;
5.要注意方程思想、函数思想方法的运用和函数性质的运用
2. 等差数列
定义:an+1-an=d(d为常数),an=a1+(n-1)d 推广: an=ak+(n-k)d an=Sn-Sn-1(n≥2) 前n项和:Sn=
(a1+an)n
2
(注:该公式对任意数列都适用)
其中a1为首项,n为项数,an为末项
Sn= na1+
n(n?1)
d 2
Sn=Sn?1+an(n≥2) (注:该公式对任意数列都适用) Sn=a1+a2+…+an(注:该公式对任意数列都适用) 常用性质:(1)等差中项:x,A,y成等差数列 2A=x+y (2)若m+n=q+p,则有am+an=ap+aq
(3)若{an}、{bn}为等差数列,则{an±bn}、{ ki=1ak}、{kan+c}(k,c为常
数)均为等差数列 (4){an}为等差数列,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列 (5)ap=q,aq=p,则ap+q=0;({an}为等差数列)
…… …… 余下全文