数学总结经验

时间:2024.3.19

容斥问题

三集合容斥问题主要有以下三种题型:

1、三集合标准型核心公式

2、三集合图示标数型(文氏图或者叫做韦恩图法)

a.特别注意“满足某条件”和“只满足某条件”的区别;

b.特别注意有没有“三个条件都不满足的情形”;

3、三集合整体重复型核心公式

三集合容斥问题中,有些条件未知时,就不能直接使用标准型公式,而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时,使用整体重复型公式。并且,三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。另外,可利用尾数法进行快速求解。

原理:在三集合题型中,假设满足三个条件的元素数量分别时A、B和C,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中,满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,根据右图可以得到下满两个等式:

W=x+y+z

A+B+C=x×1+y×2+z×3

通过几个例题阐述三集合容斥的相关内容:

【例1】对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有( )。

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

【解析】设A=喜欢看球赛的人58,B=喜欢看戏剧的人38,C=喜欢看电影的人52,则有: A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人18

B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人16

A∩B∩C=三种都喜欢看的人12

A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种100

由集合运算公式可知:C∩A = A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)

=148-(100+18+16-12)=26

所以,只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C

=52-16-26+12=22

注:这道题运用公式运算比较复杂,运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。文氏解法如下:

由题意知:(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100, 解得 x=14; 则只喜欢看电影的人有 36-x=22。

【例2】外语学校有英语、法语、日语教师共27人,其中只能教英语的有8人,只能教日语的有6人,能教英、日语的有5人,能教法、日语的有3人,能教英、法语的有4人,三种都能教的有2人,则只能教法语的有( )。

A.4人 B.5人 C.6人 D.7人

解析:首先采用公式法解决此题,设A=英语教师8+5+4-2=15,B=法语教师,C=日语教师6+5+3-2=12,(但应注意的是在做题之前,我们首先必须了解公式中A,B,C三个集合所代表的含义,并非A=8,C=6.),则C= A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

=27-15-12+5+3+4-2=10,那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5

另外,此题如果用韦恩图法会相当简单,设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图(见下图):

由题意我们有 27=8+3+6+2+2+1+X, 解得X=5。

【例3】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备选择两种考试都参加的有46人,不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?( )

A.120 B.144 C.177 D.192

【解析】根据题意,分别已知两种条件、三种条件都满足的个数,设所有准备参加考试的学生人数为W,只准备参加一门考试的学生人数为X。使用三集合整体重复型公式: W=X+46+24

63+89+47=X+2×46+3×24

根据尾数法,解得x尾数是5,W尾数是5。因此,学生总数=W+15,尾数为0,选A。

【例4】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检,其中有8种产品的低温柔度不合格,10种产品的可溶物含量不达标,9种产品的接缝剪切性能不合格,同时两项不合格的有7种,有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?()

A. 37 B. 36 C. 35 D. 34

【解析】根据题意,分别已知满足一种条件、两种条件的个数,设一项不合格的为X,所有不合格产品为W。使用三集合整体重复型公式:

W=X+7+1

8+9+10=X+2×7+3×1

根据尾数法,解得X尾数为0,W尾数为8。 因此,全合格的产品数=总数-W = 52-W,尾数为4,选D。

通过华图公务员考试研究中心列举的几个三集合例题可以发现,对于容斥问题首先判断题型,是三集合元素已知的题目,还是三集合整体重复型题目。三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的:标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况,而整体重复

型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数,因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形,特别是整体重复型公式,三集合容斥问题就迎刃而解了。


第二篇:考研数学个人总结经验


考研数学建议(个人经验)

第一、

复习全书:个人推荐对高数把握不是很好的同学(功底不好的)用李永乐的复习全书,在把李永乐的复习全书吃透的情况下可以稍微看看陈文灯的复习指南;对高数把握很好的同学(功底好的)用陈文登的

复习指南

李永乐的复习全书:该书注重的是基础和概念,十分贴进考研真题,可能有人说他的概念太多了,而且比较简单,但是,考研不是竞赛,是在规定的时间里做一定计算量和思维的题目, 考察计算能力和思维能力,从历年真题可知,数学不是很难,但是高分比较难考,因为很少人认真仔细的推理证明概念,还有很多人对定理不熟,在这里就体现了李永乐的复习全书的作用,它含有一定的计算量和基础概念,很适合对高数把握不是很好的同学(功底不好的); 陈文登的复习指南:该书注重的是方法和技巧,该书也被称为数学的权威,但随着考研的时间推移,考研重点的改变,此书地位有所降低,但该书中很多的证明例如:关于中值定理的证明,不等式的证明,还有陈被很多人批的微分算子法(该方法我很喜欢,也不超纲)可以说是高等数学的泰斗,他本人也是泰斗级人物。

历年真题:不同的书有不同的解法,比如李永乐的真题和陈文登的真题解法是不一样的,根据你用谁的书而买,我当时是用两本书参考的,呵呵,感觉挺好,可以买两本真题。如果买真题推荐:李永乐的真题和陈文登的真题。

本人推荐李永乐的书:《数学基础过关660题》,《400题》,《最后冲刺135》

最初几个月,看课本,你要把数学课本自己仔细的看看,书上的例题和定理都要自己证明,特别复杂的定理可以了解,就像xx年真题考了书上的定理证明,很多人会用定理,却不会证明,不可以的,课本书后的练习可以不做的,个人感觉没必要。每天要计划好自己要看到哪里,计划是必须的,过程刚开始是痛苦的,但进入状态后就会很喜欢做数学了。

研友的选择也比较重要,你要找作息时间和你一样的,同性别的研友,你们可以相互鼓励大家好好学习,你要找优势互补的研友,这样可以提高你的差的,辅导他的差的学科,共同进步。研友是十分重要的。研友不要超过3个人,最好2个人,每天一起看书一起吃饭,一起回宿舍。相互鼓励,自己就不会孤单不会累了,对了,每天要吃一个苹果,保证健康。

至于专业课和政治你不用着急,现在不用看,可能开始你自习还没动力,但我告诉你,不考好点,在金融危机下找工作也不简单。而且数学是走向考研成功的第一步,数学在考研里地位是占半边天,不好好复习数学,意味着成功的几率几乎没有,除非保研。

后记:考研不是考智商,虽然智商很重要,天道酬勤,当你每天一睡醒就想着看书,脑袋李只有看书和睡觉时,你就考上了

《Two》

不报辅导班我是这么认为的:

既然选择了考研,就选择了孤独;这是场一个人的战争,只有无所依靠、背水一战全力以赴,趟出一条属于自己的大道来,让别人向自己依靠!

所有的外界只是环境因素,最重要的还是靠自己。考研不是在让自己变得多牛叉,是让你自己去真正的认识你自己;如果说高考是个磨练,但高考的磨练是被动选择的,而考研的磨练是自己主动选择的,既然选择了就要自己对自己的选择负责;

既然选择了就要全力的投入进去,把自己挖掘出来发挥到彻底,甚至等到考研后再回忆你都得佩服这个时候的你自己,因为以后很难有这么刻骨铭心的记忆;

没了辅导班,会发现很多东西必须自己去琢磨,像蚂蚁啃骨头似的,最后全部吞噬:期中有肉丝的馋,也有骨髓的腻,更有硬骨头的疼和香。有段时间我在食堂吃鸡腿鸡杂什么的我都是使劲的咀嚼,把骨头都咬碎完,咽肚子里,给自己发狠!

要时刻告诉自己,尤其是在诱惑和懈怠面前:“我如此的奋斗,是为了不愧对自己的选择,就是自我找罪受,我依然愿意为之全力付出!”

有同学说书本很重要。是的,书本很重要,可你如果从书本中看不出来什么来,没有收获,那么书本就是废纸。我仍然建议去做复习全书;书本上的题复习全书都有,书本的知识点,复习全书都有。对于书本,我是在最后冲刺时才发现很有帮助的,之前一直当作个科普知识。也可能是跟我听老师讲课,老师在讲课时已经把书本给讲透了,我也就在书本上花费心血少了。我的复习全书给我画的很多,在考试之前我说等考完,一旦能考上我就把这书给撕了,一页页的撕,最后烧了;可等目标实现了,我才知道,那本书是财富;当想想那么厚的一本书被你吃透,就像你独自一个人爬泰山,当站在山顶时,你原有的征服泰山高度的欲望会消失,换成的却是内心深处对大自然的敬畏,突然发现自己不过是沧海一粟很渺小的一个人物,而考研也只不过是人生过程中的一跬步。

是的,肯定有难度,而且有进度上的极大难度。

记得我在最痛楚的是线代进入第二三章,概率是第三四章,高数到了曲面曲面积分那块。大家应该知道,这些章节在考研数学中所占的分量。那几个星期,我几乎都感觉自己忙的给狗似的,每天做不完的题,看不完的书,加上有好多题目不会,知识点掌握不深入,而且还面临专业课的压力,每天都是只要不是睡觉就是到教室看书。那时候看不考研的童鞋日子过的真舒

服。

但当熬过去后,突然发现自己进入状态了,跟不考研的是两个时空的人,自己选择了孤独的路;而且再跟那些考研同学交流,才知道自己有很大进步,比他们快多了,心情甚是爽朗。

考研这事,考的就是那股气势,你敢忍辱负重的前行,哪怕是爬着前进,只要你敢坚持,肯定能把路给摸爬的很熟,等过了荆棘地,再直立,会发现自己是在上坡,现在已经在高处了。

我不是建议所以同学都这么按我的来,只是给大家参考,你觉得适合就择其善者而从之,考研本来就没固定复习模式,适合自己的就行。最终目的就是成功!

《Three》

体会:陈的指南适合基础很好的小部分人,李的全书适合大众。有人说陈的指南的高数部分比较经典,要优于李的全书,我的看法是。陈的高数部分技巧很多,但在实际考研试题上,用到技巧的地方越来越少,数学真题所涉及的方法基本都是最基本最常见的方法,这两本书我个人推荐李的全书。

建议:对全书和真题有一定认识后再证明题。在初期阶段一定要把定义定理性质好好的牢记及研究。原因:在大家未来做题的时候,应该有这样的经验,好多的题是从概念的定义定理性质为出发点进行分析解题的,所以定义定理性质才是大家解题的钥匙,可见其重要性,希望大家以后可以做到一看题就知道考察哪个知识点。 我的建议是:教材+全书+其他+真题. 这里的其他,是比较薄的习题,可以是单门的高数线性概率,哪门弱就多补充哪门。第一轮复习要稳抓稳打,不要心急。

一般来说有这个问题的同学有一共性,就是在草稿纸上演算时,比较潦草,纸上经常是乱七八糟,想回过头查找一下某道题的计算过程,是很难的一件事。还有就是演算的时候不认真。建议这种同学在使用草稿纸的时候,把纸利用的整齐一些,写的也规整一些,书写认真一些,慢慢就能减少错误率了。

平时一定要多动手。专家说:“只分析别人总结出来的解题方法、步骤。这样做的结果就是自以为自己什么

都懂了,但是一做题就什么都不会了,眼高手低的结果。”

考研数学复习大忌:眼高手低,主观臆断,仅凭想象去论证,而大多没什么理论依据,不能持之以恒,好高骛远,急于求成。考研必备:决心,信心,毅力,体力,多思多做。 复习过程中大家容易存在的误区:

第一,看书不算题。有的同学会看很多辅导书,但依然得不到高分,就是因为没有动笔计算,没有提高自身的计算能力,但考研并不是考难题,往往是中等难度甚至是基础题加上较复杂的计算。所以没有强大的计算能力,是无法在考研数学中获胜。

第二,和其他同学比进度。每个人的学习能力不同,吸收能力不同,复习计划也不同,知识掌握程度不同,没有任何可比性。请记住你的最大的对手就是自己,应该每人反思是否比前一天有进步,这样你才能在强大的推动力下步步向前,日日进步。

第三,三心二意。考研,还想找到最好的工作。天天这个那个招聘会的,还想着自己要考研。

第四,目标不明:不知考哪?外校,好像难。本校,瞧不上。公费,累还悬。自费,不甘心。定好位,先低后高。比如,定好考340分,英语60,政治65,数学90,专业课125。不高吧,开始复习的都想着要全面开花,结果反而是全线溃退!等你考试前,你要尽可能复习,有个不太高的具体目标有利于调整心理。所以,不怕自己目标低,就怕目标太高反而让自己在挫折是心怯。 第五,把复习本身当成考研,而忽略考试状态。结果,复习功夫没少下,成绩还不理想。你的目标是考出好的成绩,而不是所谓完美的复习。要让复习为考试服务,以考试为中心,先应试,再素质吧!

第六,过分强调典型题的作用,只知作题,没有知识的系统性。做了很多很多很多题,作题熟练,但概念不清,没有数学系统观念,对新题甚至很基础的送分题就慌了,既定思维模式固化严重。什么是不变应万变,从概念出发,适用条件,再到具体公式以及解题方法。

第七,一味勇攻猛进,不问状态效率,不知调节,把自己折磨烦了,也把自己拖垮了。坐不住板凳,考研实际就是在给自己或家人一个程序上的交代。装模作样,浪费时间。

第八,过分依赖辅导班的作用,自己不下功夫学习。只觉得辅导班上完自己就OK了,到考试前一作题发现差的太多!还有就是上辅导班前什么都没看,只等着辅导班解决自己的基础问题!这是错的,这样上辅导班实在收效甚微。还是事先至少看看基本的,才有个好接收人家给你数据的接口呀!否则,传给你吧,你连个端口都没有。老想哪个班给自己透题,走捷径,不踏踏实实地学习,赌这个赌那个,基础的都不会,白扯!

第九,知识掌握不扎实,步骤不清,原理不明,作题时会被扣分。题要作透,不是仅仅结果正确就行了。一定要一步步写出来,与参考答案对对自己的缺陷。

第十,搜集信息过多过滥,自己无法识别是否有用,结果无端耗费大量精力。很多人是看这个内幕,看那个秘笈的,实际上有一本差不多就行,那些都是吸引复习比较差的人的。

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