分式方程 教学反思

时间:2024.3.27

分式方程教学反思 要创造性地使用教材。教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行调整。本节教材中的引例分式方程较复杂,学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后,再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点:用等式性质去分母,转化为整式方程再求解。因此,学生学的效果也较好。 二、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会学生已经学习了一元一次方程中的未知数的系数是分数形式的整式方程,也学习了分式有意义的条件及通分;教师要大胆地放手让学生自己去探究分式方程的解法及分式方程检验的必要性。三、注意改进的地方。如讲例题时,先讲一个产生增根的较好,这样便于说明分式方程有时无解的原因,也便于讲清分式方程检验的必要性,也是解分式方程与整式方程最大的区别所在,从而再强调解分式方程必须检验,不能省略不写这一步。

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第二篇:第五章分式与分式方程教案


八年级下册数学讲义

第五章  分式与分式方程

1.认识分式(一)

教学目标:

 1、了解分式的概念,明确分式和整式的区别;

 2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.

 3、培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流.

教学重点:

1、了解分式的概念,明确分式和整式的区别;

2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表现显示世界中的一类量的数学模型.

教学难点:分式有意义、无意义、值为零三者的区别

第一环节  知识准备

活动内容:温故而知新

问题:下列子中那些是整式?a,  -3x2y3, 5x-1,  x2+xy+y2

注意事项:

学生能够比较准确的找出哪些是整式,有些学生会简单的认为“分数”形式的代数式不是整式,其实这不是判别的关键,而是看分母中是不是含有字母。

第二环节  情景引入

以一个“土地沙化”的问题情景引入,让学生思考讨论,用式分式表达题目中的数量关系:

问题情景(1):面对目前严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成一原计划的任务。这一问题中有哪些等量关系?

     如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要       个月,实际完成一期工程用了         个月。

问题情景(2):新华书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,新华书店这种图书的库存量是多少?

第三环节  自主探索

以小组的形式对前面出现的分式进行讨论后得出分式的概念,体会分式的意义.

讨论内容:对前面出现的代数式如下,它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?

分式:

整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.B≠0

分式中,分母中的字母可以取任意实数吗?

第四环节  练习提高

例1          、下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?

5x-7,  3x2-1,  ,  -5,  m1

21、当a=1、2时,分别求分式的值;  2、当a为何值时,分式有意义;

3、当 a为何值时,分式 值为零    

4、当a为何值时,分式值为零。                                                   

★当a为何值时,分式值为零。          

第五环节  课堂反馈

1、当x为何值是,下列分式无意义

2、当a=_____________,分式有意义,值为零。   3、当a=____________,分式值为零。

4、当a=____________,分式有意义。            5、当a=____________,分式值为负。

★当a=______________,分式有意义,值为零。   ★当a为何值时,分式值为零

  3、把甲、乙两种饮料按质量比xy混合在一起,可以调制成一种混合饮料.调制1千克这种混合饮料需多少甲种饮料?

第六环节  自我小结

这节课你有哪些收获?

1、学习了分式的概念,掌握了整式与分式的异同.

2、知道当分式的分母不等于零时分式才有意义.

3、在学习新知识时,可把它与所学的旧知识比较,通过观察、类比、归纳它们的异同的方法来学习新知识.

课后作业:

课后反思:

1.认识分式(二)

教学目标:

 1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分;

 2.通过对分式的基本性质的归纳,培养学生观察,类比,推理的能力;

 3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.

教学重点:理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分;

教学难点:分式的基本性质的正确应用

第一环节  知识准备

复习分数的基本性质.

问题:的依据是什么?

第二环节  情景引入

通过对上题的回答,来回答本题,寻求两者之间的联系.与同伴讨论交流,从而归纳出分式的基本性质.

 问题:你认为分式相等吗?呢?

分式的基本性质:____________________________________________________________________

注意事项:

1.让学生通过观察,类比,推理出分式的基本性质,并让学生明白类比的理由是字母可以表示任何数.

2.学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数,不容易想到整式,另外这个整式不能为零,老师要引导学生想到这一点.

第三环节  例题讲解

例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的?

(1)        (2)

例2、化简下列分式: (1)       (2)

知识点:1、 约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式

2、约分时先把分子分母中的多项式分解因式,化为积的形式,再约分。

3、如何寻找最大公因式

①取相同字母系数的最大公约数;

②取相同的字母;

③取相同字母中的最低次幂;                

第四环节  课堂反馈

1.化简:(1)(2);(3) ; (4);(5)

2.在化简时,米仓和阿呆出现了分歧,米仓认为=,而阿呆认为=,你对他们的做法有何看法?与同伴交流.

【拓展延伸】

★分式:当x<2时   =___________

第五环节  课堂小结

这节课你有哪些收获?

(1)本节课的重点是分式的基本性质,利用它可将分式化简,

(2)分式约分的步骤一是确定分子和分母的公因式,二是利用分式的基本性质,将分子和分母的整体都除以公因式,最后看看结果是否为最简分式或整式.

(3)类比的学习方法是学习新知识时常用的方法,让学生熟悉和初步掌握这种方法。

课后作业

教学反思

2.分式的乘除法

 教学目标:

1.类比分数的乘除运算法则,探索分式的乘除运算法则。

2.理解分式的乘除运算法则,会进行简单的分式的乘除法运算

3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

4.通过师生讨论、交流,培养学生合作探究的意识和能力。

教学重点:进行简单的分式的乘除法运算

教学难点:对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算时,一般先分解因式,并在运算过程中约分。

教学过程

第一环节复习旧知识

复习小学学过的分数的乘除法运算。

1、计算,并说出分数的乘除法的法则:

(1)            (2);  

分数乘以分数,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分数除以分数,把除数的分子分母颠倒位置,与被除数相乘.

第二环节  引入新课

活动内容

   

猜一猜:              

你能总结分式乘除法的法则吗?与同伴交流。

,      

分式的乘除法的法则:

      两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;

      两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

第三环节   知识运用

例题1:(1)              (2)

例题2 (1)             (2)

注意:1、需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式,

2、因式分解在分式约分中起到重要作用,对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算时,一般先分解因式,并在运算过程中约分,可以是运算简化。

例题3:通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为 (其中R为球的半径),那么,(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?

   (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?

   (3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流

总结出分式乘除法的运算步骤:

1、当分式的分子与分母都是单项式时:

  (1)乘法运算步骤是,①用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式,如果分子(或分母)的符号是负号,应把负号提到分式的前面;③约分

(2)除法的运算步骤是,把除式中的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘,其它与乘法运算步骤相同。

2、 当分式的分子、分母中有多项式,①先分解因式;②如果分子与分母有公因式,先约分再计算.

  ③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时,应把负号提到分式的前面.

最后的计算结果必须是最简分式或整式.

第四环节   课堂反馈

计算:(1)        (2)     (3)

  (4)  (5)  (6) 

【拓展与延伸】

★1.由甲地到乙地的一条铁路全程为skm,运行时间为ah;由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍,汽车全程运行bh.那么火车的速度是汽车速度的多少倍?

★2.若m等于它的倒数,则分式的值为      

第五环节  课堂小结

1.分式的乘除法的法则

2.分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.

3.  学会类比的数学方法。

课后作业

教学反思

3.分式的加减法(一)

教学目标:

1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。

2、理解同分母的分式加减法的运算法则,能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。

3、通过学习认识数与式的联系,理解事物拓延的内在本质,丰富数学情感与思想。

教学过程

第一环节  情景引入

活动内容

做一做:                         

猜一猜

­­­­­­                       

同分母的分式加减运算法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

                       用式子表示为:

第二环节  同分母加减

 活动内容

学习了同分母分式加减法的法则,是否会用还得先讲再练:

1(1)           (2)

    (3);        (4).

注意事项在进行运算时若分子是多项式的,分子要先带括号,再去括号后合并同类项;运算结果也类比分数加减法的结果,要化成最简形式,即约去分子与分母的所有公因式——化简。

第三环节  练习巩固

(1);        (2);        (3);

第四环节  拓展提高

2 计算

(1);        (2).

练一练

(1);  (2)   (3)

1、已知=0,求的值。

2、 计算:(1)   (2) ÷() (3)     

第五环节  课堂小结

1、同分母分式加减法则是:同分母的分式相加减。分母不变,把分子相加减。

2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。

3、分子是多项式时,一定记得添括号后再进行加减运算。

4、类比方法很多时候是对的哦,学会用这种方法去分析和解决问题。

第六环节  课后作业

教学反思

3.分式的加减法(二)

教学目标:

1、    会找最简公分母,能进行分式的通分;

2、    理解并掌握异分母分式加减法的法则;

3、    经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程,训练学生的分式运算能力。

4、    培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识;进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。

教学重点:会找最简公分母,能进行分式的通分

教学难点:理解并掌握异分母分式加减法的法则;会找最简公分母,能进行分式的通分

教学过程   

第一环节  问题引入

活动内容 

问题1:同分母分式是怎样进行加减运算的?

问题2:异分母分数又是如何进行加减?

问题3:那么?你是怎么做的?

第二环节  学习新知

活动内容

(1)议一议

小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同:

小明:

小亮:

你对这两种做法有何评论?与同伴交流。

确定最简公分母的方法:系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数,再取各分母所有因式的最高次幂的积,一起作为几个分式的公分母.

练一练:通分

(1),,;   (2),;   (3),;    (4),.

(2)异分母分式加减法的法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

用式子表示为:.

第三环节  运用新知

3(1);      (2);      (3).

注意事项在(3)题中,开始渗透分母是多项式的且可以进行因式分解时,应分解因式后再通分。同样,对于通分后的分子是多项式的也要先添括号后再进行运算。

第四环节  小试牛刀

1、    将下列各组分式通分:

;         ;         .

2、    计算:

;          ;            

第五环节   分式加减的应用

例4 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽走的是平路,骑车速度2v km/h.小刚需要走1km 的上坡路、2km 的下坡路,在上坡路上的骑车速度为vkm/h,在下坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么

(1)小刚从家到学校需要多长时间?

(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少?少用多长时间?

第六环节  拓展提高

用两种方法计算:.

第七环节  课堂小结

活动内容:

1、    异分母分式相加减的法则。

2、    通分的关键就是找最简公分母,对于分母是多项式且能够进行分解因式的要先分解后再类比最小公倍数找最简公分母。

3、    通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了,运算时记得添括号。

4、    运算结果要约分,有一些运算律仍然适用。

布置作业

教学反思

3.分式的加减法(三)

教学目标:

1、    会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算;

2、    提高学生对代数式化简变形的能力;

3、    能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值;

4、    会运用分式建立数学模型,从而解决实际问题,增强学生用数学的意思。‘

教学重点:会找最简公分母,能进行分式的通分

教学难点:理解并掌握异分母分式加减法的法则;会找最简公分母,能进行分式的通分

教学过程

第一环节  复习引入

问一问:同分母分式是怎样进行加减运算的?异分母分式呢?

练一练      ;        ;        .       

第二环节  学习新知

5;      ;      .

第三环节  练习巩固

计算:

;      ;      .

备选题目:

;      ;      .

第四环节  再探分式加减的应用

活动内容

6 已知,求的值.       与同伴交流你有几种解法?

做一做

根据规划设计,某工程队准备修建一条长 1 120 m 的盲道.由于采用新的施工方式,实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 m,从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道 x m,那么

(1)原计划修建这条盲道需要多少天?实际修建这条盲道用了多少天?

(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?    

注意事项学生在完成例6时刻能会由于基础的原因出现困难,但那是分式加减法的问题,前面多次提到,要扎实基础。本题关键是给学生指明两种变形途径解决问题:1、变已知,即书中提到的由,消元法的思想去解决;2、变所求,即将要求的式子朝已知的形式去变形。讲解时老师应该点明这两种主导思想。而做一做,大多数同学对第一问没什么大的问题,但在第二问时,有些同学弄不清哪个减哪个数。有的用原计划减去实际的,也有的用实际减去原计划。关键是没把握谁大谁小,总结时可点明在分子相同的情况下,又都是正数,就看分母,分母越大,分式越小;反之,分母越小,分式越大。如)而最后的几天一定是正数,所以一定用大数减小数。明白这一点对后面的分式方程有极大的帮助。

第五环节  巩固提高

1、计算:

2、若=+,求AB的值.

第六环节  课堂小结

1、    异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。

2、    分式的化简求值及变形。

3、    实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题。

布置作业:

教学反思

4.分式方程(一)

教学目标:

1.理解分式方程的概念;

   2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义。

3.在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力。

教学重点:    了解分式方程的概念

教学难点:会找等量关系并能列分式方程

教学过程

  第一环节  引入新课

在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题。面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷?

分析:这一问题中有哪些已知量和未知量?

   已知量:造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务

未知量:原计划每月固沙造林多少公顷

这一问题中有哪些等量关系?

实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷

原计划完成的时间—完成实际的时间=4个月

我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要______个月,实际完成一期工程用了_____个月,根据题意,可得方程_________。

第二环节  探究新知

1、甲、乙两地相距 1400 km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h,已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍.

(1)你能找出这一问题中的所有等量关系吗?

(2)如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h,那么 x 满足怎样的方程?

(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h,那么 y 满足怎样的方程?

活动内容:

2、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800 元,八年级同学捐款总额为5000元,八年级捐款人数比七年级多 20人,而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设七年级捐款人数为 x 人,那么 x 满足怎样的方程?

第三环节感悟升华

回顾刚才我们得出的 4个方程:

(1)  (2)  (3)  (4)

它们和我们以前所碰到的方程一样吗?有什么不一样的地方?上面所得到的方程有什么共同特点?

方程中的未知数都含在分母中,不是一元一次方程。这就是我们今天要认识的一种新的方程——

分式方程:分母中含有未知数的方程。

分式方程重要特征:(1) 含分母(2) 分母中含未知数

分式方程与整式方程的区别:分式方程中分母含有未知数,而整式方程中的分母不含有未知数。

第四环节  课堂反馈

1.找找看,下列方程哪些是分式方程:

(1)    (2)    (3)    (4)

2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程.某地规划退耕面积共 69000 ,退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3.设退耕还林的面积为 x ,那么 x 满足怎样的分式方程?

3、王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训,按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍,费用享受了优惠,一共只需要480元,参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元,原定的人数是多少?如果设原定是x人,那么 x 满足怎样的分式方程?

4、如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3 km,王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线,为了使他能按时到校,王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20分钟,问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?

第五环节  自我小结

从今天的课程中,你学到了哪些知识? 掌握了哪些方法?

课后作业

教学反思

4.分式方程(二)

教学目标:

1、.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤;

2、.经历和体会解分式方程的必要步骤;使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径.

3、.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度;运用“转化”的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信.

教学重点:会解分式方程及判断根是否有意义

教学难点:解分式方程及判断根是否有意义

教学过程  

 第一环节  复习回顾

1.请写出的最简公分母.

2.解一元一次方程

第二环节  探究新知

例1.解下列分式方程:   

第三环节  小试牛刀

例2.解方程

第四环节感悟升华

下列哪种解法准确?

例3.解分式方程

解法一: 将原方程变形为

方程两边都乘以 ,得:

解这个方程,得:

解法二: 将原方程变形为

方程两边都乘以 ,得:

解这个方程,得:

你认为是原方程的根?与同伴交流。

第五环节  巩固练习

解方程:注意规范书写过程,不要忘记验根!

(1)+=4       (2)=       (3)+1=

(4) =        (5)+3=           ★+=2

★分式方程= 1 的解为x=3,求a值。

★若关于x的方程=有增根,求m的值。

第五环节  自我小结

1、解分式方程的基本思路是什么?

2、解分式方程有哪几个步骤:一、去分母,化分式方程为整式方程;二、解整式方程;三、验根;四、写出结论.

3、什么是分式方程的增根?验根有哪几种方法?

4、“转化思想” 的渗透:将分式方程转化为整式方程。

课后作业

教学反思

4.分式方程(三)

教学目标:

1.通过日常生活中的情境创设,经历探索分式方程应用的过程,会检验根的合理性;

2.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学数学、用数学的意识.
3.通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识,培养学生对生活的热爱.
教学重点: 找等量关系列分式方程并正确解分式方程

教学难点:找等量关系列分式方程并正确解分式方程

教学过程

第一环节  复习回顾

1.解分式方程的一般步骤:

2.解方程

3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步?

第二环节  探究新知

例1.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.

(1)你能找出这一情境的等量学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!关系吗?

(2)根学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!据这一情境,你能提出哪些问题?

(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?

注意事项:引导学生按“审---设---列---解---验---答”的步骤解决问题.

第三环节  小试牛刀

例2. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格, 每立方米水费上涨.小丽家去年12月份的水费是 15 元,而今7月份的水费则是30 元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 ,求该市今年居民用水的价格.

第四环节感悟升华

列分式方程解应用题的一般步骤是什么?

注意事项:让学生类比列一元一次方程解应用题的一般步骤总结出列分式方程解应用题的一般步骤.强调两次验根的重要性.解要双重检验:一验是否为分式方程的根;二验是否符合实际。

第五环节  巩固练习

1.        小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书.科普书的价格比文学书高出一半,他们所买的科普书比所买的文学书少1 本.这种科普书和这种文学书的价格各是多少?

2.        某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%。求这种服装的成本.

3.        甲、乙两人练习骑自行车,已知甲每小时比乙多走6千米,甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等,求甲、乙每小时各骑多少千米?

4. 某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来(如下表)

5月份小京家与小路家分别交水费19元、31元,小路家用水量是小京家用水量的1.5倍,请你根据上述信息求出表中的未知数

第五环节  自我小结

列方程解决实际情境中的具体问题,是数学实用性最直接的体现,如何将实际问题转化为数学模型,关键则在于审清题意,找出题中的等量关系.

解要双重检验:一验是否为分式方程的根;二验是否符合实际。

课后作业

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