《因式分解》教学反思

时间:2024.3.2

《因式分解》教学反思

本课我以适当的问题引导学生数学活动,体现数学知识的实用性。以适当的问题引导数学活动是新课程的重要特点之一,好的问题有利于激发学生的探索热情,有利于揭示数学的本质,有利于发展学生的独立思考能力,也有利于学生形成良好的学习习惯。这节课中的预习内容,表面上看是求代数式的值,其实隐含着因式分解和“数学意义”因式分解的意义,这为形成因式分解的概念奠定了扎实的基础。

数学教学能够体现数学的文化价值和育人价值。数学教学不但要完成知识点的教学,还要体现出数学的文化价值和课程的育人价值。这节课从学生已有的知识与经验出发创设问题情境,并引导学生认真地观察、分析具体实例中隐含的数学关系和数学意义,通过独立思考与合作交流来概括数学概念,获得数学结论,理解数学的本质。这种教学方式,能使学生在获得本体性知识的同时,还能获得条策略和经验,有利于发展学生的学力和良好课堂文化的熏陶。

引导学生积极思考,自主探究,体现数学学习的自主性。帮助学生理解数学的意义与数学的本质,仅靠教师的直面陈述是不够的,宜采用独立思考与相互讨论相结合的教学方法。(1)预习:不是传统意义的单纯的提前学习新知识,而是预习影响学习的最重要的因素——新知识的“生长点”。这个“生长点”的设计,不

仅能体现学生已有的知识、技能,还包括新知识的逻辑思维方式。并且在整个预习中还能培养学生识别、联系、比较、建构等学习方法和能力。这种“暗示”较好地解决了因过程缓慢对按时完成教学任务带来挑战的问题,也为激活课堂教学的活力注入了一剂良药,可以这样说,好的预习能使数学教学成为学生的一种期待。

(2)设计问题系列:既为学生交流、探讨搭建了平台,也为学生如何学习提供了示范,同时为学生认识的步步深入搭建了台阶;

(3)点拨与评价:在学生困惑时点拨,在学生认识模糊时点拨,在学生观念碰撞时评价,在方法多样化时进行价值分析。


第二篇:因式分解教学反思


因式分解教学反思

讲解因式分解的定义的时候,同学们都很清楚。而我也强调的就是因式分解与乘法公式是相反方向的变形,并且在练习中一再将公式罗列出来。然后讲授提公因式法、公式法(包括平方差、完全平方公式),讲课的时候是一个公式一节课,先分解公式符合条件的形式再练习,主要是以练习为重。讲课的过程是非常顺利的,这令我以为学生的掌握程度还好。

讲完因式分解的新课,我随堂出了一些综合性的练习题,才发现效果是不太好的。他们只是看到很表层的东西,而对于较为复杂的式子,却无从下手。

课后,我总结的原因有以下四点:

1、思想上不重视,因为对于公式的互换觉得太简单,只是将它作为一个简单的内容来看,所以课后没有以足够的练习来巩固。

2、在学习过程中太过于强调形式,反而如何创造条件来满足条件忽略了。导致他们对于与公式相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手。

3、灵活运用公式(特别与幂的运算性质相结合的公式)的能力较差,如要将9-25x化成3-(5x)然后应用平方差公式这样的题目却无从下手。究其原因,和我布置的作业及随堂练习的单一性及难度低的特点有关。1.a^4-4a+3

2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n

3.x^2+(a+1/a)xy+y^2

4.9a^2-4b^2+4bc-c^2

5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)

答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3)

2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1]

3.(ax+y)(1/ax+y) 222

4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c)

5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)

= (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc)

=c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc

=c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc

=(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b)

=(a-2b-c)^2

1.x^2+2x-8

2.x^2+3x-10

3.x^2-x-20

4.x^2+x-6

5.2x^2+5x-3

6.6x^2+4x-2

7.x^2-2x-3

8.x^2+6x+8

9.x^2-x-12

10.x^2-7x+10

11.6x^2+x+2

12.4x^2+4x-3

解方程:(x的平方+5x-6)分之一=(x的平方+x+6)分之一

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式。(2)用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点:用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷:1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例:

1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目

例1把m?+4m-12分解因式

分析:本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题

解:因为 1 -2

1 ╳ 6

所以m?+4m-12=(m-2)(m+6)

例2把5x?+6x-8分解因式

分析:本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1。当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题

解: 因为 1 2

5 ╳ -4

所以5x?+6x-8=(x+2)(5x-4)

例3解方程x?-8x+15=0

分析:把x?-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5。 解: 因为 1 -3

1 ╳ -5

所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0

所以x1=3 x2=5

例4、解方程 6x?-5x-25=0

分析:把6x?-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1。

解: 因为 2 -5

3 ╳ 5

所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0

所以 x1=5/2 x2=-5/3

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

例5把14x?-67xy+18y?分解因式

分析:把14x?-67xy+18y?看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y?可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y

解: 因为 2 -9y

7 ╳ -2y

所以 14x?-67xy+18y?= (2x-9y)(7x-2y)

例6 把10x?-27xy-28y?-x+25y-3分解因式

分析:在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x?-27xy-28y?-x+25y-3

=10x?-(27y+1)x -(28y?-25y+3) 4y -3

7y ╳ -1

=10x?-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)

=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 2 -(7y – 1)

5 ╳ 4y - 3

=(2x -7y +1)(5x +4y -3)

说明:在本题中先把28y?-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1),再用十字相乘法把10x?-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]

解法二、10x?-27xy-28y?-x+25y-3

=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 -7y

=[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y

=(2x -7y+1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1

5 x - 4y ╳ -3

说明:在本题中先把10x?-27xy-28y?用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3].

例7:解关于x方程:x?- 3ax + 2a?–ab -b?=0

分析:2a?–ab-b?可以用十字相乘法进行因式分解

解:x?- 3ax + 2a?–ab -b?=0

x?- 3ax +(2a?–ab - b?)=0

x?- 3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b

2 ╳ +b

[x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b)

1 ╳ -(a-b)

所以 x1=2a+b x2=a-b

5-7(a+1)-6(a+1)^2

=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]

=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]

=-(2a+1)(3a+8);

-4x^3 +6x^2 -2x

=-2x(2x^2-3x+1)

=-2x(x-1)(2x-1);

6(y-z)^2 +13(z-y)+6

=6(z-y)^2+13(z-y)+6

=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]

=(2z-2y+3)(3z-3y+2).

比如...x^2+6x-7这个式子

由于一次幂x前系数为6

所以,我们可以想到,7-1=6

那正好这个式子的常数项为-7

因此我们想到将-7看成7*(-1)

于是我们作十字相成

x +7

x -1

的到(x+7)·(x-1)

成功分解了因式

3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2

=3ab^2(1-3a+2a^2)

=3ab^2(2a^2-3a+1)

=3ab^2(2a-1)(a-1)

5-7(a+1)-6(a+1)^2

=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]

=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]

=-(2a+1)(3a+8);

-4x^3 +6x^2 -2x

=-2x(2x^2-3x+1)

=-2x(x-1)(2x-1);

6(y-z)^2 +13(z-y)+6

=6(z-y)^2+13(z-y)+6

=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]

=(2z-2y+3)(3z-3y+2).

比如...x^2+6x-7这个式子

由于一次幂x前系数为6

所以,我们可以想到,7-1=6

那正好这个式子的常数项为-7

因此我们想到将-7看成7*(-1)

于是我们作十字相成

x +7

x -1

的到(x+7)·(x-1)

成功分解了因式

3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2

=3ab^2(1-3a+2a^2)

=3ab^2(2a^2-3a+1)

=3ab^2(2a-1)(a-1)

x^2+3x-40

=x^2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)^2-(6.5)^2

=(x+8)(x-5).

⑹十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).

图示如下:

a b

×

c d

例如:因为

1 -3

×

7 2

-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,

所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).

十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。

比如:

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。

同样,这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题:

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法:=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。

2. x3-x2+x-1

解法:=(x3-x2)+(x-1)

=x2(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y

解法:=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y+1)

利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。

4、因式分解没有先想提公因式的习惯,在结果也没有注意是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,比如最简单的将a-a提公因式后应用平方差公式,但很多同学都是只化到a(a -1)而没有化到最后结果a(a +1)(a -1)。

因式分解是一个重要的内容,也是难点,我认为我对教材内容的调整是比较适合的,但是我忽略了学生的接受能力,也没有注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化。在以后的教学中应该更多结合学生的学习情况去调整教学进度,多发现学生在学习方面的优势和不足之处。

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