14.2.2 完全平方公式

一、学习目标

1、会判断完全平方式。

2、能直接利用完全平方因式分解。

3、掌握利用完全平方公式因式分解的步骤。

二、自主预习

因式分解：2a²b－4ab²=__________，－3a³b+12ab³=__________.

1、填空：(a+b)²=__________，(a－b)²=__________.

2、根据上面的式子填空：

a²+2ab+b²=__________，a²－2ab+b²=__________.

3、形如a²+__________+b²与a²－__________+b²的式子称为完全平方式.

完全平方式：a²±2ab+b²=(a±b)²

语言叙述：两个数的__________加上（减去）这两个数__________，等于这两个数的和（差）的平方。

三、合作探究

1、判断下列多项式是否为完全平方式，如果是运用完全平方公式将其因式分解。

①b²+b+1     ②a²－ab+b²          ③1+4a²          ④a²－a+

2、分解因式：①x²+12x+36     ②—2xy—x²—y²          ③ax²+2a²x+a³

3、已知，求：⑴的值；⑵的值.

4、已知，求a^b的值.

四、当堂评价

1、分解因式：

⑴a²+ab+b²                                    ⑵－2x³y+4x²y－2xy

⑶(a－b) ²－6(b－a)+9                ⑷(x²－2x)²+2(x²－2x)+1

2、因式分解：

⑴(a²－4a)²+8(a²－4a)+16         ⑵2x²－12x+18

⑶x²+xy+y²                                ⑷abx²+2abxy+aby²

五、拓展提升

1、把下列各式分解因式：

⑴4－12(x－y)+9(x－y) ²                 ⑵(x²y²+1)²－4x²y²

2、若M=(x²+y²)²(x²－y²)²，N=(x⁴+x²y²+y⁴)(x⁴－x²y²+y⁴)，且xy≠0，请比较M、N的大小.

3、试证明：不论x、y取何值，x²－4y+y²－6y+13的值不小于0.

六、课后检测

1、因式分解：

⑴x²+x+                           ⑵x²－4(x－1)

⑶25x²+20xy+4y²                  ⑷a³－10a²+25a

⑸(x²+4y²)²－16x²y²                   ⑹(x²+3x)²－(x－1)²

⑺(a+b)²－6(a+b)+9                  ⑻(x+y)²－6x²+6y²+9(x－y)²

2、用简便方法计算：

⑴21²－42+1                     ⑵66²－6600+50²

3、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式a²+c²=2ab+2bc－2b²，试说明△ABC是等边三角形.

七、课堂小结：学生总结，这节课学到了什么？

八、教学反思：

第二篇：完全平方公式

完全平方公式

一、学习目标：

1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.

2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力.

3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想.

二、重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算.

难点：对公式的理解， 包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释.

三、自主学习：

（1）两数和乘以这两数的差的公式是什么？

（2）口述多项式乘以多项式法则.

 （3）计算 （2x－1）（3x－4）        （5x＋3）（5x－3）

四、互动学案：

1、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

①                                      

②                                                          

③=                  

④                    =                  

⑤=                   

⑥=                   

⑦                   =                   

 2、(a＋b)²=a²＋b²对吗?为什么?

3．仿照公式计算.

（1）（x＋y）²                                         （2）（x - y）²

例1.计算：⑴（2a＋3b）²；   ⑵（2）（2a＋）²           ⑶

例2.计算：（1）（a－b）²；               （2）（2x－3y）²

 

（3）                          （4）

五、自主测评：

1.a²＋b² =（a+b）² -              2.a²＋b² =（a-b）² +             

3.若x＋y=5,xy=3,则x²＋y² =           

4.计算：（x+5）²-(x-2)(x-3)=        

5.代数式是关于的一个完全平方式，则=       

六、计算：⑴  ⑵

3、已知求和的值。

4、已知求的值.

5、若是完全平方式，则m=               

6、已知，则=              

七、教学反思

完全平方公式

一、学习目标：

1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.

2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力.

3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想.

二、重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算.

难点：对公式的理解， 包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释.

三、自主测评：

1、判断正误：

（1）（b-4a）²=b²-16a²．（    ）      （2）（a+b）²=a²+ab+b²．（    ）

（3）（4m-n）²=16m²-4mn+n²．（   ） （4）（-a-b）²=a²-2ab+b²．（    ）

2、                       （2）

四、互动学案：

1、运用完全平方公式计算：

（1）102²　　 （2）199²    （3）（x＋2）²－（x－2）²

2、运用乘法公式计算：

（1）                            （2）

3、总结添括号的法则：

五、自主测评：

1、利用完全平方公式进行简便计算:

2、请你独立完成课本P₁₁₁练习第1、2题.

3、（1）          （2）

（3）499²                            （4）102²

4、a²b⁴-2ab²+1等于（   ）

A.(ab²-1)²    B. (ab²+1)²    C. (a²b²-1)²   D. (-ab²-1)²

六、中考链接：

1、已知（a+b）² =11, (a-b）² =7，则ab的值为

2、若，则=      

3、若（x-y）² +N= x²＋xy＋y² ,则N等于（     ）

七、教学反思;

因式分解（一）

一、学习目标

1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.

2．会用提公因式法进行因式分解.

3．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力.

二、学习重点：掌握提取公因式，公式法进行因式分解.

学习难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.

三、自主学习：

问题一：1. 回忆：运用前两节所学的知识填空：

（1）2（x＋3）＝___________________；

（2）x²（3＋x）＝_________________；

（3）m（a＋b＋c）＝_______________________.

2.探索：你会做下面的填空吗？

（1）2x＋6＝（  ）（       ）；

（2）3x²＋x³＝（     ）（         ）；

（3）ma＋mb＋mc＝（          ）².

3.归纳：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫分解因式）.

4.反思：①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式.

②分解后每个因式的次数要   （填“高”或“低”）于原来多项式的次数.

四、互动学案：

问题二：1.公因式的概念．填空：

①多项式有    项，每项都含有      ，      是这个多项式的公因式.

②3x²+x³有    项，每项都含有      ，      是这个多项式的公因式.  

③ma+mb+mc有    项，每项都含有      ，      是这个多项式的公因式.

 ※多项式各项都含有的           ，叫做这个多项式各项的公因式.

2．提公因式法分解因式.

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以           ，从而将多项式化成两个      的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）

3.辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪是因式分解?

（1）4a(a＋2b)＝4a²＋8ab； （2）6ax－3ax²＝3ax(2－x)；

（3）a²－4＝(a＋2)(a－2)；  （4）x²－3x＋2＝x(x－3)＋2．

（5）36     （6）

4. 试一试： 用提公因式法分解因式：

（1）3x+6=3(            )            （2）7x²-21x=7x(            )

（3）24x³+12x² -28x=4x(            ) （4）-8a³b²+12ab³c-ab=-ab(             )

5.公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.

6.方法技巧： (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：a、确定公因式b、把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.

(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.

问题三：1.把下列多项式分解因式：

（1）-5a²+25a                              （2）3a²-9ab

（3）-8m² n-2mn              （4）6a(m-2)+8b(m-2)

四、自主测评：

1．练一练：把下列各式分解因式：           

(1)ma+mb            (2)5y³-20y²           (3)a2x²y-axy²                  

  

(4)-4kx-8ky      (5)-4x+2x²        （6）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)   

(7)2a（y－z）－3b(z－y)            (8)  21×3.14+62×3.14+17×3.14

五、教学反思:

公式法

一、学习目标：

1．经历用平方差公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意义。

2．会用平方差公式法对多项式进行因式分解。

3．体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法。

二、学习重点：应用平方差公式分解因式；

学习难点：正确运用平方差公式进行因式分解.

三、自主学习：

1、复习与交流

(a+2)(a-2)=        (-x+3)(-x-3)=          (3a+2b)(3a-2b)=                  

2．公式法分解因式在此公式是指什么公式？

3．什么条件下可以用平方差公式进行因式分解？

4．如何将多项式x-1和9x-4分解因式？

四、互动学案：

你能像分解x-1和9x-4一样将下面的多项式分解因式吗？

⑴p-16=              ;   ⑵y-4=                 ;

⑶ x-=             ;   ⑷a-b=               .

实际上，把平方差公式          (a+b)(a-b)= a-b

逆过来，就得到                a-b=(a+b)(a-b)。

那么，一个整式只要表示成两个整式的平方差的形式，就可以用平方差公式分解因式，这种分解因式的方法叫做              。

      

例1 把下列各式分解因式：

⑴36－ a；                 ⑵4x-9y.

    解：

例2 把下列各式分解因式：

⑴ a³-16a；               ⑵2ab-2ab.

解：

五、自主测评：

1．下列多项式，能用平分差公式分解的是（　　　）

　A．－x²－4y²        B．9 x²+4y²　　　

C．－x²+4y²  　     D．x²+（－2y）²

2．分解因式：2ax²－2ay²=                    

3．分解因式：x－x=               .

4.分解因式：

①                ②                                ③       

 

④                    ⑤                       ⑥

六、中考链接：

分解因式：

9(m+n)-16(m-n)       25－(m+2p)²            a-(a+b)

七、小结：

八、教学反思：