海口市20xx年高中数学课堂教学优质课评比教学实录
1.1.3 导数的几何意义
李明(湖南师大附中海口中学)
12月4日于海南华侨中学
一、创设情境、导入新课
师:上节课我们学习了导数的概念,请回答:函数在x?含义? 生:函数在x?
x0处的导数f'(x0)的
x0处的瞬时变化率.
f/?x0??lim
f?x0??x??f(x0)?y
?lim ?x?0?x?x?0?x
师:那么,用定义求导数分哪几个步骤?同学们可参考教材第6页例1.
?yf?x0??x??f(x0)
?生:第一步:求平均变化率; ?x?x?y
lim第二步:求瞬时变化率,即f?x0??? x?0?x
/
?y
师:非常好,并且我们从求导数的步骤中发现:导数就是求平均变化率当?x
?x
趋近于O时的极限.明确了导数的概念之后,今天我们来学习导数的几何意义. 二、引导探究、获得新知
?y
师:观察函数y=f(x)的图象,平均变化率在图中
?x
什么几何意义?
生:平均变化率表示的是割线AB的斜率.
有
y2?y1
1
?y师:是的,平均变化率的几何意义就是割线的斜率. ?x
师:请看教材第7页图1.1-2: P是一定点,当动点Pn沿着曲线y=f(x)趋近于点P时,观察割线PPn 的变化趋势图. (多媒体显示【动画1】)
生:当点Pn沿着曲线y=f(x)趋近于点P时,割线PPn趋近于在P处的切线PT. 师:看来这位同学已经预习了,他说的很对,“当点Pn沿着曲线y=f(x)逼近点P时,即?x?0,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.”这就是切线的概念.
师:观察图①,曲线y=f(x)与它的割线有2个交点,与它的切线PT有1个交点. 那么,能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系?
生:若曲线与直线有2个公共点,则它们相交;若曲线与直线有1个公共点,则它们相切.
2
① ②
师:观察图②,请指出(1)直线l1与曲线L是什么位置关系?(2)直线l2与曲线L是什么位置关系?
生:直线l1与曲线L相交,直线l2与曲线L相切.
师:直线l1与曲线L有唯一公共点但它不是曲线的切线,l2与曲线L不只一个公共点,但它是曲线在A处的切线.所以,今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系,应该从定义出发.
师:由切线的定义可知,
当?x?0时,割线PPn趋近于切线PT .
那么,割线PPn的斜率趋近于???
生:切线PT的斜率.
师:割线PPn的斜率kn??y,当?x?0时,切线PT的斜率k就是??? ?x
lim生:k??x?0?y ?x
f?x0??x??f(x0)?f/?x0?. 至此,请同学们总结,导数师: 即k?lim?x?0?x
f/?x0?有什么几何意义?
3
生:f/?x0?是PT的斜率.
师:直线PT是曲线y?f(x)的???
生:直线PT是曲线y?f(x)在x?x0处的斜率.
师:同学们说的非常好!(教师板书)
导数的几何意义:
函数在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k,即 f?x0??x??f(x0)?ylim?lim?f/?x0? k??x?0?x?x?0?x
师:那么,通过导数的几何意义,我们可以通过函数在某点处的导数,来得到其图像在该点处切线的斜率.
师:说出曲线y?f?x?在x?1,2,3处的切线的倾斜角.
(1)//f/?1??1;(2)f?2??0(3)f?
3??生:45、0、120
四、知识应用、巩固理解
师:例1:求出曲线000f(x)?x2在x?1处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢? 生:求出函数在x?1处的导数
师:求切线的斜率之后呢?
生:(摇头,回答不出) f/?1?,就知道了所求切线的斜率.
师:好,那我们不妨先求出斜率(教师板书)
4
f(1??x)?f(1)(?x)2?2?x?1?1k?f'(1)?lim?lim?lim(?x?2)?2?x?0?x?0?x?0?x?x
那么,关于直线我们还知道哪些信息?
生:x?1是切点的坐标
师:是切点的横坐标,那纵坐标呢?也是1
生:也是1,切点的坐标为(1,1)
师:知道直线上一点的坐标和斜率,那么直线方程???
生:点斜式 y?1?2(x?1),即2x?y?1?0(学生回答,教师板书) 师:今后我们如何求曲线
生:(1)求出y?f(x)在x?x0处的切线方程? f'(x0),则f'(x0)就是曲线在x?x0切线的斜率;(2)求切点;
f(x0)?f'(x0)(x?x0) (3)写出切线的点斜式方程,y?
师:同学们很棒!例2. 如图,它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况.
生:作出曲线在这些点处的切线.
师:曲线在t0处有怎样的变化趋势?
生:不知道怎么表达.
师:我们观察在t0处附近曲线几乎与
切线l0重合,所以,我们可以用切线的
变化趋势刻画曲线在该点附近的变化
情况,这种思想方法叫“以直代曲”.
那么,l0平行于x轴,即h'(t0)?0,
说明曲线在t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
师:在t1,t2处呢?
生:在t1,t2切线斜率h'(t1)?0,h'(t2)?0,所以,在t1,t2附近曲线下降,即函数h(t)在t?t1,t2附近单调递减.
5
师:曲线在t1,t2处都是下降的,下降的速率一样吗?
生:不一样,在t2处都是下降的快.
师:你们如何得知的?
生:图像在t1处的切线倾斜程度小于在t2处切线的倾斜程度,说明曲线在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
五、分层练习、提升能力(看学案)
师:曲线 y?x2上有一点P,过P的切线平行于直线y=4x-5,求P的坐标.
2生:设P的坐标为(x0,x0),
2f?x0??x??f(x0)x0??x??x02??yf'(x0)?lim?lim?lim?lim??x?2x0??2x0?4?x?0?x?x?0?x?0?x?0?x?x
即x0?2
所以,P的坐标为(2,4)
六、课堂小结
师:非常好!这节课我们学习了哪些内容?
生:(齐声回答)
一、切线的定义:
当点Pn沿着曲线y?f(x)逼近点P时,即?x?0,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.
二、导数的几何意义:
导数f'(x0)就是函数f(x)的图象在x0处的切线的斜率,即
6
f?x0??x??f(x0)?yk?lim?lim?f/?x0? ?x?0?x?x?0?x
三、导数几何意义的应用.
(1)用导数求切线斜率,进而求出切线方程;
(2)利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.(“以直代曲”)
七、作业布置
完成学案!
附:板书设计
1.1.3 导数的几何意义
一、切线的定义
二、导数的几何意义
导数f'(x0)就是函数f(x)的图象在x0处的切线的斜率,即
k?limf?x0??x??f(x0)?y?lim?f/?x0? ?x?0?x?x?0?x
三、导数几何意义的应用.
(1)用导数求切线斜率,进而求出切线方程;
(2)利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.
例1:求出曲线
解:曲线f(x)?x2在x?1处的切线方程. f(x)?x2在x?1处的切线斜率
f(1??x)?f(1)(?x)2?2?x?1?1k?f'(1)?lim?lim?lim(?x?2)?2?x?0?x?0?x?0?x?x
因为f(1)?1,即切点的坐标为(1,1),所以
y?1?2(x?1),即2x?y?1?0 切线方程为
7
学案
一.例题部分
例1.求曲线
f(x)?x2在x?1处的切线方程.
例2.如图,它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况
.
二.练习 (A组)
1. 曲线 f(x)?x上有一点P,过P的切线平行于直线y?4x?5,求P的坐标.
2.若曲线
8 2y?2x2?4x?p与直线y?1相切,则p?
(B组)
1.求曲线
2.如图,请描述f(x)?x3在x?1处的切线方程. y?f(x)在x??5,?4?2,0,1附近的变化情况
.
三.小结
这节课我学到了:
9
第二篇:导数的概念及几何意义教案
导数的概念及其几何意义
教学目标:
理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,能解释具体函数在一点的导数的实际意义,会求简单函数在某一点处的导数;通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,理解曲线在一点的切线的概念,会求简单函数在某点的切线方程。
教学重点:导数的概念,几何意义及求导的方法 教学难点:导数概念的本质内涵 知识链接:
1.函数y?f(x)在x?x0处的平均变化率和瞬时变化率是怎样定义的?
?y?x
一般地,函数y?f(x)在x?x0处的平均变化率
= =
f(x0??x)?f(x0)
?x
,?x趋
于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
2.已知直线上的两点怎样求直线的斜率?
已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线P1P2斜率为k?
?y?x
?y2?y1x2?x1
(x1?x2)
教学过程:
问题1:如何由瞬时变化率的概念探求函数y?f(x)在x0点的导数定义?
前面我们已经学习了平均变化率和瞬时变化率,下面我们继续进一步讨论函数的
瞬时变化率问题。
对于一般的函数y?f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到f(x1),若设?x=x1-x0,则函数值的改变量?y?f(x1)?f(x0)?f(x0??x)?f(x0),则函数值y关于x的平均变化率
?y?x
=
f(x1)?f(x0)
x1?x0
=?y
f(x0??x)?f(x0)
?x
?x
于某个固定的常数。那么这个常数就是函数在x0点的瞬时变化率。在数学上,称瞬时变化率为函数在x0点处的导数,可见导数刻画的是函数在一点处变化的快慢。
当x1趋于x0,即?x?0时,如果?y与?x的比(也叫函数的平均变化率)趋
函数y?f(x)在x0处的导数,记作y/
1
x?x0
'
,常用符号f(x0)表示,即
f(x0)?lim
/
f(x1)?f(x0)
x1?x0
x1?x0
?lim
f(x0??x)?f(x0)
?x
.
?x?0
问题2:(1)?x,?y哪一个可能为0?
(2)如何理解
?y
?x
(3)查阅资料,你认为理解导数概念的过程中还应注意哪些问题?
的意义?
注:
1、在定义导数的极限式中,?x趋近于0可正、可负、但不为0,而?y可能为0。 2、
?y?x
是函数y?f(x)对自变量x在?x范围内的平均变化率。
f(x0??x)?f(x0)
?x
3、导数f(x0)?lim
/
?x?0
是函数y?f(x)在点x0的处瞬时变化率,它
反映的函数y?f(x)在点x0处变化的快慢程度。
4、导数是一个局部概念,它只与函数y?f(x)在x0及其附近的函数值有关,与?x无关。 5、在定义式中,设x?x0??x,则?x?x?x0,当?x趋近于0时,x趋近于x0,因此,导数的定义式可写成f(x0)?lim
f(x0??x)?f(x0)
?x
/
f(x0??x)?f(x0)
?x
?x?o
?lim
f(x)?f(x0)
x?x0
。
x?x0
6、若极限lim一般地,
?x?0
不存在,则称函数y?f(x)在点x0处不可导。
?x?0
lim(a?b?x)?a,其中a,b为常数。特别地,lima?a。
?x?0
例1.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动, 求s′(4); 解:s'(t)?lim
?s?t
?lim
25?t?3?t
?t
2
?x?0?x?0
?lim(25?3?t)?25
?x?0
总结:瞬时变化率就是导数,在某点处的导数就是在某一点处的瞬时变化率。 练习:求y?2x?1在x=-3处的导数。
反思:求函数导数的步骤是什么?
1、由x的增量确定y的增量;2、确定平均变化率;3、求瞬时变化率,即导数
2
2
问题3:已知点P(1,1)是曲线y?x2上的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,当点
Q沿曲线逐渐向点P趋近时,割线PQ的斜率是如何变化的? 请同学们自己动手画出草图,并根据题意初步探求结果。
析:设点Q的横坐标为1+?x,则点Q的纵坐标为(1+?x),点Q对于点P的纵坐标的增量(即函数的增量)?y?(1??x)2?1?2?x?(?x)2,
?y?x
2?x?(?x)
?x
2
2
所以,割线PQ的斜率kPQ?
??2??x.
由此可知,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,?x变得越来越小,kPQ越来越接近2;当点Q无限接近于点P时,即?x无限趋近于0时,kPQ无限趋近于2. 这表明,割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2
的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线. 由点斜式,这条切线的方程为:y?2x?1.
一般地,已知函数y?f(x)的图象是曲线C,P
(x0,y0),Q(x0??x,y0??y)是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P,即?x趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时,割线PQ的斜率kPQ?的斜率kPQ?
?y?x
?y?x
无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当?x趋向于0时,割线PQ的极限为k.
?y?x?y?x
对于一般函数来说,在x0=
f(x1)?f(x0)
x1?x0
=
f(x0??x)?f(x0)
?x
此为平
均变化率,当?x趋向于0时,如果
稳定于某个常数,则该常数就叫函数在x0处的瞬
3
时变化率,在数学上,又叫在x0处的导数。
现在,我们可以清楚地看到:该常数又是函数图像在点(x0,y0)处的切线斜率,这便
是导数的几何意义。
问题4:如何判断曲线在某点处的切线是否存在,若存在,该切线与曲线可能有几个交点?
分析:要注意,曲线在某点处的切线:
(1) 与该点的位置有关;
(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
(3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 例2:求曲线y?f(x)?x2?1在点P(1,2)处的切线方程.
解:k?limf(x0??x)?f(x0)
?x
2?x?(?x)
?x2?x?0?lim(1??x)?1?(1?1)?x2
?x?0?lim?x?0?2.
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
反思:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤?
①求出P点的坐标;
②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程。
4
导数的概念及其几何意义作业
A、f?(1) B、13f?(1) C、不存在 D、以上都不对2. 函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )
A、 0?
f/(2)?f/(3)?f(3)?f(2)B. 0?f(3)?f(3)?f(2)?f(2)C. 0?f(3)?f(2)?f(3)?f(2)
D. 0?f(3)?f(2)?f(2)?f(3)//////
解:设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ,
Qf(3)?f(2)?f(3)?f(2)
3?2?kABQf?(3)?kBQ,f?(2)?kAT,如图所示,切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角 ?kBQ?kAB?kAT
所以选B
3已知f'(3)?4,则limf(3?h)?f(3)
2hh?0 ?
4.若曲线y?h(x)在点P(a,h(a))处切线方程为2x?y?1?0,那么( ) Ah'(a)?0 B h'(a)?0 Ch'(a)?0 Dh'(a)的符号不定
5.已知函数y?f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y?f(1)?f'(1?) 12x?2,则
26.若曲线f(x)?ax在点(1,a)处的切线与直线2x?y?6?0平行,则a? 5
7.曲线y?x3在P点处的切线斜率为3,则P点的坐标(1,1)或(-1,-18.已知f(x)是可导的偶函数,且lim(?1,2)处的切线方程。y?x?f(?x?1)?f(1)2?x??2,求曲线y?f(x)在点 ?x?0
9.求过曲线y?x3?2x上的点(1,-1)的切线方程.
答案:x?y?2?0或5x?4y?1?0 (2,0)10.求过点且与曲线y?1
x相切的直线方程.
答案:x?y?2?0
6
7
8