导数的几何意义教案(后附教学反思)

时间:2024.3.20

海口市20xx年高中数学课堂教学优质课评比教学实录

1.1.3 导数的几何意义

李明(湖南师大附中海口中学)

12月4日于海南华侨中学

一、创设情境、导入新课

师:上节课我们学习了导数的概念,请回答:函数在x?含义? 生:函数在x?

x0处的导数f'(x0)的

x0处的瞬时变化率.

f/?x0??lim

f?x0??x??f(x0)?y

?lim ?x?0?x?x?0?x

师:那么,用定义求导数分哪几个步骤?同学们可参考教材第6页例1.

?yf?x0??x??f(x0)

?生:第一步:求平均变化率; ?x?x?y

lim第二步:求瞬时变化率,即f?x0??? x?0?x

/

?y

师:非常好,并且我们从求导数的步骤中发现:导数就是求平均变化率当?x

?x

趋近于O时的极限.明确了导数的概念之后,今天我们来学习导数的几何意义. 二、引导探究、获得新知

?y

师:观察函数y=f(x)的图象,平均变化率在图中

?x

什么几何意义?

生:平均变化率表示的是割线AB的斜率.

y2?y1

1

导数的几何意义教案后附教学反思

?y师:是的,平均变化率的几何意义就是割线的斜率. ?x

师:请看教材第7页图1.1-2: P是一定点,当动点Pn沿着曲线y=f(x)趋近于点P时,观察割线PPn 的变化趋势图. (多媒体显示【动画1】)

导数的几何意义教案后附教学反思

生:当点Pn沿着曲线y=f(x)趋近于点P时,割线PPn趋近于在P处的切线PT. 师:看来这位同学已经预习了,他说的很对,“当点Pn沿着曲线y=f(x)逼近点P时,即?x?0,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.”这就是切线的概念.

师:观察图①,曲线y=f(x)与它的割线有2个交点,与它的切线PT有1个交点. 那么,能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系?

生:若曲线与直线有2个公共点,则它们相交;若曲线与直线有1个公共点,则它们相切.

2

导数的几何意义教案后附教学反思

① ②

师:观察图②,请指出(1)直线l1与曲线L是什么位置关系?(2)直线l2与曲线L是什么位置关系?

生:直线l1与曲线L相交,直线l2与曲线L相切.

师:直线l1与曲线L有唯一公共点但它不是曲线的切线,l2与曲线L不只一个公共点,但它是曲线在A处的切线.所以,今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系,应该从定义出发.

师:由切线的定义可知,

当?x?0时,割线PPn趋近于切线PT .

那么,割线PPn的斜率趋近于???

生:切线PT的斜率.

师:割线PPn的斜率kn??y,当?x?0时,切线PT的斜率k就是??? ?x

lim生:k??x?0?y ?x

f?x0??x??f(x0)?f/?x0?. 至此,请同学们总结,导数师: 即k?lim?x?0?x

f/?x0?有什么几何意义?

3

导数的几何意义教案后附教学反思

生:f/?x0?是PT的斜率.

师:直线PT是曲线y?f(x)的???

生:直线PT是曲线y?f(x)在x?x0处的斜率.

师:同学们说的非常好!(教师板书)

导数的几何意义:

函数在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k,即 f?x0??x??f(x0)?ylim?lim?f/?x0? k??x?0?x?x?0?x

师:那么,通过导数的几何意义,我们可以通过函数在某点处的导数,来得到其图像在该点处切线的斜率.

师:说出曲线y?f?x?在x?1,2,3处的切线的倾斜角.

(1)//f/?1??1;(2)f?2??0(3)f?

导数的几何意义教案后附教学反思

3??生:45、0、120

四、知识应用、巩固理解

师:例1:求出曲线000f(x)?x2在x?1处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢? 生:求出函数在x?1处的导数

师:求切线的斜率之后呢?

生:(摇头,回答不出) f/?1?,就知道了所求切线的斜率.

师:好,那我们不妨先求出斜率(教师板书)

4

导数的几何意义教案后附教学反思

f(1??x)?f(1)(?x)2?2?x?1?1k?f'(1)?lim?lim?lim(?x?2)?2?x?0?x?0?x?0?x?x

那么,关于直线我们还知道哪些信息?

生:x?1是切点的坐标

师:是切点的横坐标,那纵坐标呢?也是1

生:也是1,切点的坐标为(1,1)

师:知道直线上一点的坐标和斜率,那么直线方程???

生:点斜式 y?1?2(x?1),即2x?y?1?0(学生回答,教师板书) 师:今后我们如何求曲线

生:(1)求出y?f(x)在x?x0处的切线方程? f'(x0),则f'(x0)就是曲线在x?x0切线的斜率;(2)求切点;

f(x0)?f'(x0)(x?x0) (3)写出切线的点斜式方程,y?

师:同学们很棒!例2. 如图,它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况.

生:作出曲线在这些点处的切线.

师:曲线在t0处有怎样的变化趋势?

生:不知道怎么表达.

师:我们观察在t0处附近曲线几乎与

切线l0重合,所以,我们可以用切线的

变化趋势刻画曲线在该点附近的变化

情况,这种思想方法叫“以直代曲”.

那么,l0平行于x轴,即h'(t0)?0,

说明曲线在t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

师:在t1,t2处呢?

生:在t1,t2切线斜率h'(t1)?0,h'(t2)?0,所以,在t1,t2附近曲线下降,即函数h(t)在t?t1,t2附近单调递减.

5

师:曲线在t1,t2处都是下降的,下降的速率一样吗?

生:不一样,在t2处都是下降的快.

师:你们如何得知的?

生:图像在t1处的切线倾斜程度小于在t2处切线的倾斜程度,说明曲线在t1附近比在t2附近下降得缓慢.

五、分层练习、提升能力(看学案)

师:曲线 y?x2上有一点P,过P的切线平行于直线y=4x-5,求P的坐标.

2生:设P的坐标为(x0,x0),

2f?x0??x??f(x0)x0??x??x02??yf'(x0)?lim?lim?lim?lim??x?2x0??2x0?4?x?0?x?x?0?x?0?x?0?x?x

即x0?2

所以,P的坐标为(2,4)

六、课堂小结

师:非常好!这节课我们学习了哪些内容?

生:(齐声回答)

一、切线的定义:

当点Pn沿着曲线y?f(x)逼近点P时,即?x?0,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

二、导数的几何意义:

导数f'(x0)就是函数f(x)的图象在x0处的切线的斜率,即

6

f?x0??x??f(x0)?yk?lim?lim?f/?x0? ?x?0?x?x?0?x

三、导数几何意义的应用.

(1)用导数求切线斜率,进而求出切线方程;

(2)利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.(“以直代曲”)

七、作业布置

完成学案!

附:板书设计

1.1.3 导数的几何意义

一、切线的定义

二、导数的几何意义

导数f'(x0)就是函数f(x)的图象在x0处的切线的斜率,即

k?limf?x0??x??f(x0)?y?lim?f/?x0? ?x?0?x?x?0?x

三、导数几何意义的应用.

(1)用导数求切线斜率,进而求出切线方程;

(2)利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.

例1:求出曲线

解:曲线f(x)?x2在x?1处的切线方程. f(x)?x2在x?1处的切线斜率

f(1??x)?f(1)(?x)2?2?x?1?1k?f'(1)?lim?lim?lim(?x?2)?2?x?0?x?0?x?0?x?x

因为f(1)?1,即切点的坐标为(1,1),所以

y?1?2(x?1),即2x?y?1?0 切线方程为

7

学案

一.例题部分

例1.求曲线

f(x)?x2在x?1处的切线方程.

例2.如图,它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况

导数的几何意义教案后附教学反思

.

二.练习 (A组)

1. 曲线 f(x)?x上有一点P,过P的切线平行于直线y?4x?5,求P的坐标.

2.若曲线

8 2y?2x2?4x?p与直线y?1相切,则p?

(B组)

1.求曲线

2.如图,请描述f(x)?x3在x?1处的切线方程. y?f(x)在x??5,?4?2,0,1附近的变化情况

导数的几何意义教案后附教学反思

.

三.小结

这节课我学到了:

9


第二篇:导数的概念及几何意义教案


导数的概念及其几何意义

教学目标:

理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,能解释具体函数在一点的导数的实际意义,会求简单函数在某一点处的导数;通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,理解曲线在一点的切线的概念,会求简单函数在某点的切线方程。

教学重点:导数的概念,几何意义及求导的方法 教学难点:导数概念的本质内涵 知识链接:

1.函数y?f(x)在x?x0处的平均变化率和瞬时变化率是怎样定义的?

?y?x

一般地,函数y?f(x)在x?x0处的平均变化率

= =

f(x0??x)?f(x0)

?x

,?x趋

于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.

2.已知直线上的两点怎样求直线的斜率?

已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线P1P2斜率为k?

?y?x

?y2?y1x2?x1

(x1?x2)

教学过程:

问题1:如何由瞬时变化率的概念探求函数y?f(x)在x0点的导数定义?

前面我们已经学习了平均变化率和瞬时变化率,下面我们继续进一步讨论函数的

瞬时变化率问题。

对于一般的函数y?f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到f(x1),若设?x=x1-x0,则函数值的改变量?y?f(x1)?f(x0)?f(x0??x)?f(x0),则函数值y关于x的平均变化率

?y?x

=

f(x1)?f(x0)

x1?x0

=?y

f(x0??x)?f(x0)

?x

?x

于某个固定的常数。那么这个常数就是函数在x0点的瞬时变化率。在数学上,称瞬时变化率为函数在x0点处的导数,可见导数刻画的是函数在一点处变化的快慢。

当x1趋于x0,即?x?0时,如果?y与?x的比(也叫函数的平均变化率)趋

函数y?f(x)在x0处的导数,记作y/

1

x?x0

'

,常用符号f(x0)表示,即

f(x0)?lim

/

f(x1)?f(x0)

x1?x0

x1?x0

?lim

f(x0??x)?f(x0)

?x

.

?x?0

问题2:(1)?x,?y哪一个可能为0?

(2)如何理解

?y

?x

(3)查阅资料,你认为理解导数概念的过程中还应注意哪些问题?

的意义?

注:

1、在定义导数的极限式中,?x趋近于0可正、可负、但不为0,而?y可能为0。 2、

?y?x

是函数y?f(x)对自变量x在?x范围内的平均变化率。

f(x0??x)?f(x0)

?x

3、导数f(x0)?lim

/

?x?0

是函数y?f(x)在点x0的处瞬时变化率,它

反映的函数y?f(x)在点x0处变化的快慢程度。

4、导数是一个局部概念,它只与函数y?f(x)在x0及其附近的函数值有关,与?x无关。 5、在定义式中,设x?x0??x,则?x?x?x0,当?x趋近于0时,x趋近于x0,因此,导数的定义式可写成f(x0)?lim

f(x0??x)?f(x0)

?x

/

f(x0??x)?f(x0)

?x

?x?o

?lim

f(x)?f(x0)

x?x0

x?x0

6、若极限lim一般地,

?x?0

不存在,则称函数y?f(x)在点x0处不可导。

?x?0

lim(a?b?x)?a,其中a,b为常数。特别地,lima?a。

?x?0

例1.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动, 求s′(4); 解:s'(t)?lim

?s?t

?lim

25?t?3?t

?t

2

?x?0?x?0

?lim(25?3?t)?25

?x?0

总结:瞬时变化率就是导数,在某点处的导数就是在某一点处的瞬时变化率。 练习:求y?2x?1在x=-3处的导数。

反思:求函数导数的步骤是什么?

1、由x的增量确定y的增量;2、确定平均变化率;3、求瞬时变化率,即导数

2

2

问题3:已知点P(1,1)是曲线y?x2上的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,当点

Q沿曲线逐渐向点P趋近时,割线PQ的斜率是如何变化的? 请同学们自己动手画出草图,并根据题意初步探求结果。

析:设点Q的横坐标为1+?x,则点Q的纵坐标为(1+?x),点Q对于点P的纵坐标的增量(即函数的增量)?y?(1??x)2?1?2?x?(?x)2,

?y?x

2?x?(?x)

?x

2

2

所以,割线PQ的斜率kPQ?

??2??x.

由此可知,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,?x变得越来越小,kPQ越来越接近2;当点Q无限接近于点P时,即?x无限趋近于0时,kPQ无限趋近于2. 这表明,割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2

的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线. 由点斜式,这条切线的方程为:y?2x?1.

一般地,已知函数y?f(x)的图象是曲线C,P

(x0,y0),Q(x0??x,y0??y)是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P,即?x趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时,割线PQ的斜率kPQ?的斜率kPQ?

?y?x

?y?x

无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当?x趋向于0时,割线PQ的极限为k.

?y?x?y?x

对于一般函数来说,在x0=

f(x1)?f(x0)

x1?x0

=

f(x0??x)?f(x0)

?x

此为平

均变化率,当?x趋向于0时,如果

稳定于某个常数,则该常数就叫函数在x0处的瞬

导数的概念及几何意义教案

3

时变化率,在数学上,又叫在x0处的导数。

现在,我们可以清楚地看到:该常数又是函数图像在点(x0,y0)处的切线斜率,这便

是导数的几何意义。

问题4:如何判断曲线在某点处的切线是否存在,若存在,该切线与曲线可能有几个交点?

分析:要注意,曲线在某点处的切线:

(1) 与该点的位置有关;

(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;

(3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 例2:求曲线y?f(x)?x2?1在点P(1,2)处的切线方程.

解:k?limf(x0??x)?f(x0)

?x

2?x?(?x)

?x2?x?0?lim(1??x)?1?(1?1)?x2

?x?0?lim?x?0?2.

因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

反思:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤?

①求出P点的坐标;

②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程。

4

导数的概念及其几何意义作业

导数的概念及几何意义教案

A、f?(1) B、13f?(1) C、不存在 D、以上都不对2. 函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )

A、 0?

导数的概念及几何意义教案

导数的概念及几何意义教案

f/(2)?f/(3)?f(3)?f(2)B. 0?f(3)?f(3)?f(2)?f(2)C. 0?f(3)?f(2)?f(3)?f(2)

D. 0?f(3)?f(2)?f(2)?f(3)//////

解:设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ,

Qf(3)?f(2)?f(3)?f(2)

3?2?kABQf?(3)?kBQ,f?(2)?kAT,如图所示,切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角 ?kBQ?kAB?kAT

所以选B

3已知f'(3)?4,则limf(3?h)?f(3)

2hh?0 ?

4.若曲线y?h(x)在点P(a,h(a))处切线方程为2x?y?1?0,那么( ) Ah'(a)?0 B h'(a)?0 Ch'(a)?0 Dh'(a)的符号不定

5.已知函数y?f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y?f(1)?f'(1?) 12x?2,则

26.若曲线f(x)?ax在点(1,a)处的切线与直线2x?y?6?0平行,则a? 5

7.曲线y?x3在P点处的切线斜率为3,则P点的坐标(1,1)或(-1,-18.已知f(x)是可导的偶函数,且lim(?1,2)处的切线方程。y?x?f(?x?1)?f(1)2?x??2,求曲线y?f(x)在点 ?x?0

9.求过曲线y?x3?2x上的点(1,-1)的切线方程.

答案:x?y?2?0或5x?4y?1?0 (2,0)10.求过点且与曲线y?1

x相切的直线方程.

答案:x?y?2?0

6

7

8

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