要学好高中几何,要注意上课认真听讲,读懂课本内容,下课自己要好好复习,将图形好好认识并要做好每一道题, 从中得到理解。关键有两个方面:
1、图形方面:不但要学会看图,而且要学会画图,通过看图和画培养自己的空间想象能力是非常重要的。
2、语言方面:很多同学能把问题想清楚,但是一落在纸面上,不成话。需要记的一句话:
几何语言最讲究言之有据,言之有理。没有根据的话不要说, 不符合定理的话不要说。
至于怎样证明立体几何问题可从下面几个角度去研究:
1、把几何中所有的定理分类:按定理的已知条件分类是性质定理,按定理的结论分类是判定定理。
如:平行于同一条直线的两条直线平行,既可以把它看成是两条直线平行的性质定理,
也可以把它看成是两条直线平行的判定定理。
又如如果两个平面平行且同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。它既是两个平面平行的性质定理
又是两条直线平行的判定定理。这样分类之后,就可以做到需要什么就可以找到什么。
比如:我们要证明直线和平面垂直,可以用下面的定理:
(1)直线和平面垂直的判定定理
(2)两条平行垂直于同一个平面
(3)一条直线和两个平行平面同时垂直
2、明确自己要做什么:
一定要知道自己要做什么!在证明之前就要设计好路线,明确自己的每一步的目的,学会大胆假设,仔细推理。
3学会抽象化思考多记公式和特殊图线图形的性质,动手做一些实物模型,如直线、平面、正方体、长方体等等。通过对模型中点、直线和平面之间位置关系的观察,逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力,想象这些空间图形画在纸上就是什么模样;同时要掌握画直观图的规则,掌握实践、虚线的使用方法,为正确地画图打好基础。培养自己的画图能力,可从简单的图形(如直线和平面的各种位置关系)、简单的几何体(如正方体)画起。由对
照模型画图,逐步过渡到没有模型摆在面前,也能正确地画出空间图形的直观图,而且能由直观图想象出空间图形。在这个“想图、画图、识图”的过程中,不仅空间想象能力得到提高,抽象思维能力也可以得到很大提高。
要学好立体几何的基础知识,必须要注重逻辑推理能力的培养。为此,初学立体几何的学生要重视看起来简单的那些基本概念、公理和定理,不仅要理解它们,还要熟练地记忆它们,掌握它们之间的联系。同时对基础的题目必须从一开始就认真地书写证明(或求解)过程,包括已知、求证、证明、作图等等,证明过程要特别注意所运用的公理、定理的条件要摆够、摆准。另外,对课本上定理的证明必须熟记,掌握定理证明的逻辑推理过程及其渗透的数学方法。
第二篇:立体几何提醒总结
1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 (1) 求证:EFGH是平行四边形
(2) 若
BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
C
D
H
证明:在?ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?同理,FG//BD,FG?(2) 90° 30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角
1
BD 2
1
BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。 2
2、如图,已知空间四边形ABCD中,BC?AC,AD?BD,E是AB的中点。 求证:(1)AB?平面CDE;
(2)平面CDE?平面ABC。 证明:(1)
E
BC?AC?
??CE?AB
AE?BE?
B
AD?BD?同理,??DE?AB
AE?BE?
又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE (2)由(1)有AB?平面CDE
C
D
又∵AB?平面ABC, ∴平面CDE?平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定
3、如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E是AA1的中点, 求证: AC1//平面BDE。
证明:连接AC交BD于O,连接EO, ∵E为AA1的中点,O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1
B
A
D1
C
D
C
又EO在平面BDE内,AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。 考点:线面平行的判定
4、已知?ABC中?ACB?90?,SA?面ABC,AD?SC,求证:AD?面SBC. 证明:∵?ACB?90° ?BC?AC
又SA?面ABC ?SA?BC
?BC?面SAC ?BC?AD
S
A
C
B
又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC 考点:线面垂直的判定
5、已知正方体ABCD?A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.
DA1
D
A
BBC1
?面AB1D1. 求证:(1) C1O∥面AB1D1;(2)AC1
证明:(1)连结A1C1,设
AC11?B1D1?O1
,连结AO1
∵ ABCD?A1B1C1D1是正方体 ?A1ACC1是平行四边形
∴A1C1∥AC且 AC11?AC 又O1,O分别是AC11,AC的中点,∴O1C1∥AO且O1C1?AO
C
?AOC1O1是平行四边形
?C1O∥AO1,AO1?
面AB1D1,C1O?面AB1D1 ∴C1O∥面AB1D1
(2)?CC1?面A1B1C1D1 ?CC ! 1?B1D又
∵AC11?B1D1
同理可证
AC?AD11
, ?B1D1?面A1C1C 即A1C?B 1D1
, 又
D1B1?AD1?D1
?面AB1D1 ?AC1
考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
6、正方体ABCD?A'B'C'D'中,求证:(1)AC?平面B'D'DB;(2)BD'?平面ACB'.
考点:线面垂直的判定
7、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C; (2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD. 证明:(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,
又BD ?平面B1D1C,B1D1?平面B1D1C, ∴BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C.
而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.
A
1
(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,∴AE∥B1G.
从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.
考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、四面体ABCD中,AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点,
且EF?
AC, 2
?BDC?90?,求证:BD?平面ACD
证明:取CD的中点G,连结EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG
1//?AC 2
//1BD,又AC?BD,∴FG?1AC,∴在?EFG中,EG2?FG2?1AC2?EF2 FG?
222
?
∴EG?FG,∴BD?AC,又?BDC?90,即BD?CD,AC?CD?C ∴BD?平面ACD
考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形
9、如图P是?ABC所在平面外一点,PA?PB,CB?平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,
AN?3NB
P
?
(1)求证:MN?AB;(2)当?APB?90,AB?2BC?4时,求MN的长。 证明:(1)取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点, M∴MQ//BC,∵ CB?平面PAB ,∴ MQ?平面PAB ∴QN是MN在平面PAB内的射影 ,取 AB的中点D,连结 PD,∵PA?PB,∴CAPD?AB,又AN?3NB,∴BN?ND
N ∴QN//PD,∴QN?AB,由三垂线定理得MN?AB B
1?
(2)∵?APB?90,PA?PB,∴PD?AB?2,∴QN?1,∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ,且
2
1
MQ?BC?
1,∴MN?2
考点:三垂线定理
10、如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG.
证明:∵E、F分别是AB、AD的中点,?EF∥BD 又EF?平面BDG,BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D
1G
EB?四边形D1GBE为平行四边形,D1E∥GB
又D1E?平面BDG,GB?平面BDG?D1E∥平面BDG
EF?D1E?E
,?平面D1EF∥平面BDG
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)
11、如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E是AA1的中点. (1)求证:AC1//平面BDE; (2)求证:平面A1AC?平面BDE. 证明:(1)设AC?BD?O,
∵E、O分别是AA1、AC的中点,?AC1∥EO
?平面BDE,EO?平面BDE,?AC又AC∥平面BDE 11
(2)∵AA1?平面ABCD,BD?平面ABCD,AA1?BD 又BD?AC,
AC?AA1?A
,?BD?平面A1AC,BD?平面BDE,?平面BDE?平面A1AC
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定
12、已知ABCD是矩形,PA?平面ABCD,AB?2,PA?AD?4,E为BC的中点.
(1)求证:DE?平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在?ADE中,AD?AE?DE,?AE?DE ∵PA?平面ABCD,DE?平面ABCD,?PA?DE 又PA?AE?A,?DE?平面PAE (2)?DPE为DP与平面PAE所成的角
在Rt?
PAD,PD?Rt?
DCE中,DE?在Rt?DEP中,PD?2DE,??DPE?30 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形
13、如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是?DAB?60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:BG?平面PAD; (2)求证:AD?PB;
(3)求二面角A?BC?P的大小. 证明:(1)?ABD为等边三角形且G为AD的中点,?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD,?BG?平面PAD
(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点,?AD?PG 且AD?BG,PG?BG?G,?AD?平面PBG,
222
PB?平面PBG,?AD?PB
(3)由AD?PB,AD∥BC,?BC?PB 又BG?AD,AD∥BC,?BG?BC ??PBG为二面角A?BC?P的平面角
在Rt?PBG中,PG?BG,??PBG?45
考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)
?平面MBD. 14、如图1,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M为CC1 的中点,AC交BD于点O,求证:AO1
证明:连结MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,
A1A?AC?A
,
?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1,而AO1. 1
2
设正方体棱长为a,则AO?1
323
a,MO2?a2. 24
.
在Rt△ACA1M2?11M中,
92222
OO?
M∵AO,∴A?MO?A1Ma.11
4
∵OM∩DB=O,∴ AO1⊥平面MBD.
考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD. 证明:取AB的中点F,连结CF,DF. ∵AC?BC,∴CF?AB.
∵AD?BD,∴DF?AB.
又CF?DF?F,∴AB?平面CDF. ∵CD?平面CDF,∴CD?AB. 又CD?BE,BE?AB?B, ∴CD?平面ABE,CD?AH.
∵AH?CD,AH?BE,CD?BE?E, ∴ AH?平面BCD. 考点:线面垂直的判定
16、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
A
C
证明:连结AC
⊥AC ∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影
?BD?A1C
??A1C?平面BC1D
同理可证A1C?BC1?
考点:线面垂直的判定,三垂线定理
17、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC.
证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,
2
∴∠AOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=2a,SO=2a,
11
AO2=AC2-OC2=a2-2a2=2a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥平面BSC.
考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)