《数学归纳法》教案

时间:2024.3.24

人教课标版数学归纳法第一课时教案

河南省郸城县才源高中 王保社

教材、教法分析

数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法,主要用于证明与正整数有关的数学命题。人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中,教学时间为2课时,本教案为数学归纳法的第一节课。在此之前,学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习,初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法,即不完全归纳法,知道不完全归纳法是研究数学问题,猜想或发现数学规律的重要手段。但是,由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理,而由合情推理得出的结论未必正确。因此,在不完全归纳法的基础上,必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体,也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。

学生通过推理与证明前两节的学习,已基本掌握归纳推理,且已经具备了一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施,学生已基本习惯了对已给问题的主动探究,但主动提出问题和置疑的习惯仍需进一步强化。结合教学内容特点,本课主要采用“探究式学习法”进行教学。

教学目标

根据教学内容特点和教学大纲、结合本校学生实际制订以下教学目标。

1.知识目标

(1)使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理,而由合情推理得出的一 般结论未必正确。

(2)使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.

(3)掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与整 数有关的命题.

2.能力目标

(1)通过对数学归纳法的学习、应用,培养学生观察、归纳、猜想、分析能

力和严密的逻辑推理能力。

(2)让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,培养学

生的创新能力。

3.情感目标

(1)通过对数学归纳法原理的探究,培养学生严谨的、实事求是的科学态度

和不怕困难,勇于探索的精神。

(2)努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学 生学习的兴趣和课堂效率.

教学重难点

根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平,确定如下教学重难点:

1.重 点

(1)初步理解数学归纳法的原理。

(2)明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

(3)初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

2.难 点

(1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

(2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

教学过程:

一、创设问题情景

师:本节课我们学习《数学归纳法》(板书)。在本章第一节我们学习了合情推理与演绎推理,下面请同学们思考一下,“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过合情推理还是通过演绎推理得到的?

生:“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过不完全归纳法得到的,不完全归纳法是合情推理。

师:由合情推理得到的结论是否一定正确?

生:教科书上明确指出:由合情推理得出的结论未必正确。

师:回答的很好,不完全归纳法得到的结论带有猜想的成分,因此推理所得的结论不一定正确(顺便指出人们已在非洲的坦桑尼亚发现三种并非全黑的乌鸦,在日本也发现了一只全身皆白的真正的白乌鸦),但是它具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用,在数学上,我们很多时候是通过观察→归纳→猜想,这种思维过程去发现某些结论的。

师:我们先来探究下面一个问题:

数列{an}中a1?1,a2?2,an?2?an?1?an,求a20xx;

生:写出数列{an}前几项,观察可知{an}是周期为6的周期数列,所以

a20xx=a1=1。

师:很好。本题是观察数列{an}前几项,归纳出一般的规律,再由一般的规律写出a20xx。我们再来探究一个问题:

已知数列{an}的通项公式为an?(n2?5n?5)2?n?1,学生分别计算a1、a2、a3、a4的值,猜想an的值,并计算a5的值。

a3?3, 生甲:a1?1,由此可猜想an=n。 a2?2,a4?4,

生乙:甲的猜想不正确,因为a5?5。

师:乙的回答是正确的,本题也是观察数列{an}前几项,归纳出一般的规律,再由一般的规律写出a5,但结论是错误的。总结:通过前面两个例子,使我们进一步认识到用不完全归纳法得出的结论,因为只考察了部分情况,结论不一定具有普遍性。现在请同学们想一想,在以前给出的数学公式中,有没有用不完全归纳法得出的?

生:有。例如等差数列通项公式的推导。

师:很好。我们是由等差数列前几项满足的规律:a1?a1?0d,a2?a1?d,

a3?a1?2d,a4?a1?3d,……归纳出了它的通项公式的。等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的,也可能不正确,又因为正整数有无限多个,不可能一一验证,那么该如何证明这类有关正整数的命题呢?

二、设置问题,引导探究

师:同学们小时侯放过鞭炮没有?

生:(没)放过。(课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃)

师:无论放过还是没放过,相信同学们对放鞭炮都很熟悉,下面请思考:点燃一盘鞭炮后,满足什么条件,一盘鞭炮可以全部响?

生:若前一个响,则后一个也响

师:这样就保证了可以递推下去,鞭炮就可以全部响了,是吗?

生:不是。若第一个鞭炮不响,则一盘鞭炮也不会全部响,所以,还要有一个条件:第一个炮要响。

师:大家说有了这两个条件,点燃一盘鞭炮后鞭炮是不是可以全部响呢?

生:是。

师:上面的同学说得很好,要使一盘鞭炮全部响应满足两个条件,第一个条件是:第一个炮要响;第二个条件是:若前一个响,则后一个也响,该条件可转化为:假设第k个炮响张,第k?1个炮一定响。

学生类比鞭炮全响的原理,探究出证明有关正整数命题的方法(建立数学模型)。

(1)n取第一个值n0(例如 n0?1)时命题成立;

(2)假设 n=k(k?N*,k?n0)命题成立,利用它证明n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后,命题对一切n?N*均成立。

现在你能不能利用这种思想(递推思想)来证明等差数列通项公式呢?

三.方法尝试

(学生共答,教师板书)

证明:(1)当n?1时,左边?a1,右边?a1?0?d?a1,等式是成立的。

(2)假设当n?k时等式成立,就是ak?a1?(k?1)d,下面看看是否能推出n?k?1时等式也成立,那么ak?1等于什么?

生:由ak?a1?(k?1)d可得 ak?1?a1??(k?1)?1?d。

师:看来n?k?1时等式也成立,这样做对吗?

生:(齐答)不对。

师:用数学归纳法证明数学命题时,难点和关键都在第二步,而这一步主要在于合理运用归纳假设,即以“n=k时命题成立”为条件,证明“证n?k?1时命题也成立”。这里容易出现的错误是证明中不使用“n=k时命题成立”这个条件,而直接将n=k+1代入命题,便断言此命题成立,从而得出原命题成立的结论。下面请同学们给

出正确的证明过程。(学生齐答,教师继续板书)

ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。这就是说,当n?k?1时,等式也成立,大家说有了这两步,是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢?

生:n?1时等式成立?n?2时等式成立?n?3时等式成立?……所以n取任何正整数等式都成立。

师:我再补充一点:完成第一步、第二步后,必须要下结论,其格式为:根据⑴⑵可知公式对任意n?N*都成立.

四、理解升华

师:上面这种证明方法叫做数学归纳法,数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题,下面请同学们总结一下用数学归纳法证题的步骤。

学生交流后,共同总结,教师板书:

(1)证明当n取第一个值n0(例如n0?1或2等)时结论正确;

(2)假设当n?k(k?N*,且k?n0)时结论正确,证明当n?k?1时结论也正确。

根据(1)和(2),可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。概括起来就是“两个步骤,一个结论。”

师:用数学归纳法证题时,两个步骤各起到了怎样的作用呢?

生:第一步是命题递推的基础,第二步是命题递推的根据。

师:回答的很好,我再强调一点:数学归纳法证题时这两个步骤缺一不可,只有把两个步骤中的结论结合起来,才能断定命题成立.

五、数学归纳法的应用

师:我们已经知道,由不完全归纳法得到的结论未必可靠,因而必须作出证明。若命题是与正整数有关的,证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。

例1:用数学归纳法证明:1?3?5????2n?1??n2

本例主要由学生完成,教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。

教师主要引导学生参与讨论的内容是:

1 当n?k?1时,证明的目标是什么?

2 当n?k?1时,能否这样证明:

1?3?5???(2k?1)??2(k?1)?1?

?1?3?5???(2k?1)?(2k?1)

1?(2k?1)(k?1)2

?(k?1)2?

an(n∈N*), 先计算a2,a3,a4的值,再1?an

推测通项an的公式, 最后证明你的结论.

本例要求学生先猜想后证明,意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程,并一步熟悉数学归纳法。教学中可先让学生思考3分钟,然后让两位学生在黑板上板书解题过程,最后师生共同分析两位学生的解法。

六、小结(师生共同完成)

1数学归纳法是科学的证明方法;利用它可以证明一些关于正整数n的命题。 2数学归纳法证明命题的两个步骤。

3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。

4证明n=k+1命题成立时,一定要利用假设。

5证明n=k+1命题成立时,首先要明确证明的目标。

七、布置作业

选修2-2第96页习题2.3 A组

八、课后反思

教案中放鞭炮的例子,在教科书中原为多米诺骨牌游戏,由于农村学生对这种游戏比较陌生,结合本校学生实际换成放鞭炮的例子,通过这个例子引发了学生的求知欲望,从教学效果来看还不错。

例2:在数列{an}中, a1=1, an?1?


第二篇:数学归纳法学案


课    题数学归纳法及其应用举例

一、教学要求:

1)了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导;

2)理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

二、基础梳理:

1.什么叫数学归纳法?

2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:

总结:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

三、例题

              类型一 证明等式

例1 用数学归纳法证明

分析

1)第一步应做什么?此时n0=      ,左     

2) 当n=k时,等式左边共有  项,

第k项是                     。  

假设n=k时命题成立,即________________________________

3)当n=k+1时,命题的形式是                     

4)此时,左边增加的项是                     

5)从左到右如何变形?                     

证明:

变式训练

1、用数学归纳法证:

 


(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时,不等式左边的变化是(     ):

 

2、用数学归纳法证:

 

(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时,左式所需添加的项数为(     ):

A.1项              B.     项

C.   项         D.    项

类型二 证明整除问题

证明:

变式训练:用数学归纳法证明:                      能被8整除.

               类型三 证明不等式问题

例3:用数学归纳法证明:

分析: 此题关键在于从n=k到n=k+1不等式左端的变化

证明:

变式训练

求证:

四、小结

   1、数学归纳法有哪些应用?

  2、第二步中从n=k到n=k+1应注意哪些问题,有哪些技巧方法?

五、课后作业:

(一)、必做题 

1、用数学归纳法证明下式

(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项;

(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项;

(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项;

(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?

左边增加两项:_____________

右边增加两项:  __________,减少一项:________

2、用数学归纳法证明用数学归纳法证明能被13整除,

(其中nN*

3、用数学归纳法证明当

(二)、选做题

1、用数学归纳法证明:n为正偶数时,         能被x+y整除.

2、平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.

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