实验四 IIR数字滤波器的设计

1、实验目的

（1）        掌握脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器的具体方法和原理，熟悉双线性变换法和脉冲响应不变法设计低通、带通IIR数字滤波器的计算机编程；

（2）        观察双线性变换法和脉冲响应不变法设计的数字滤波器的频域特性，了解双线性变换法和脉冲响应不变法的特点和区别；

（3）        熟悉Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器和椭圆滤波器的频率特性。

2、实验原理与方法

IIR数字滤波器的设计方法可以概括为如图所示，本实验主要掌握IIR滤波器的第一种方法，即利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器，这是IIR数字滤波器设计最常用的方法。利用模拟滤波器设计，需要将模拟域的H_a(s)转换为数字域H(z)，最常用的转换方法为脉冲响应不变法和双线性变换法。

（1）脉冲响应不变法

用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应h_a(t)，让h(n)正好等于h_a(t)的采样值，即

其中T为采样间隔。如果以H_a(s)及H(z)分别表示h_a(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，则

在MATLAB中，可用函数impinvar实现从模拟滤波器到数字滤波器的脉冲响应不变映射。

（2）双线性变换法

S平面与z平面之间满足下列映射关系

   或 

S平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内。双线性变换不存在频率混叠问题。

在MATLAB中，可用函数bilinear实现从模拟滤波器到数字滤波器的双线性变换映射。

双线性变换是一种非线性变换，即，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸变得到校正。

（3）设计步骤

IIR数字滤波器的设计过程中，模拟滤波器的设计是关键。模拟滤波器的设计一般是采用分布设计的方式，这样设计原理非常清楚，具体步骤如前文所述。MATLAB信号处理工具箱也提供了模拟滤波器设计的完全工具函数：butter、cheby1、cheby2、ellip、besself。用户只需一次调用就可完成模拟滤波器的设计，这样虽简化了模拟滤波器的设计过程，但设计原理却被屏蔽了。

模拟滤波器设计完成之后，利用impinvar或bilinear函数将模拟滤波器映射为数字滤波器，即完成了所需数字滤波器的设计。

下图给出了实际低通、高通、带通和带阻滤波器的幅频特性和各截止频率的含义。另外，为了描述过渡带的形状，还引入了通带衰减和阻带衰减的概念。

 

 

图 实际滤波器的幅频特性和各截止频率的含义

通带衰减：    dB

阻带衰减：    dB

在MATLAB信号处理工具箱中，通常用R_p和R_s来表示α_p和α_s。

3、实验内容

（1）参照教材5.5节所述滤波器设计步骤，利用双线性变换法设计一个Chebyshev I型数字高通滤波器，观察通带损耗和阻带衰减是否满足要求。已知滤波器的指标为f_p=0.3kHz，α_p=1.2dB，f_s=0.2kHz，α_s=20dB，T=1ms。

（2）已知f_p=0.2kHz，α_p=1dB，f_s=0.3kHz，α_s=25dB，T=1ms，分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个Butterworth数字低通滤波器，观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。

（3）设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.25π~0.45π，通带内最大衰减3dB，0.15π以下和0.55π以上为阻带，阻带内最小衰减为15dB，试采用Butterworth或ellip（椭圆）模拟低通滤波器设计。

（4）利用双线性变换法设计一个带宽为0.08π的10阶椭圆带阻滤波器以滤除数字频率为0.44π的信号，选择合适的阻带衰减值，画出幅度响应。产生下面序列的201个样本

，  n=0，2，…，200

并将它通过这个带阻滤波器进行处理（filter函数），讨论所得到的结果。

4、实验报告

（1）简述实验目的和实验原理。

（2）按实验步骤附上所设计的滤波器传递函数H(z)及相应的幅频特性曲线，定性分析所得到的图形，判断设计是否满足要求。

（3）总结脉冲响应不变法和双线性变换法的特点及设计全过程。

（4）收获与建议。

5、实验源程序

%用双线性变换法设计一个Chebyshev型高通滤波器程序如下

Rp=1.2;Rs=20;T=0.001;fp=300;fs=200;

%求出待设计的数字滤波器的边界频率

wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;

%预畸变

wp1=(2/T)*tan(wp/2);ws1=(2/T)*tan(ws/2);

%设计模拟滤波器

[n,wn]=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s');

[b,a]=cheby1(n,Rp,wn,'high','s');

%双线性变换

[bz,az]=bilinear(b,a,1/T);

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);

axis([0,1,-30,2]);

%用双线性变换法设计一个Butterworth型数字低通滤波器程序如下

Rp=1;Rs=25;T=0.001;fp=300;fs=200;

%求出待设计的数字滤波器的边界频率

wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;

%预畸变

wp1=(2/T)*tan(wp/2);ws1=(2/T)*tan(ws/2);

%设计模拟滤波器

[n,wn]=buttord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s');

[b,a]=butter(n,wn,'low','s');

%双线性变换

[bz,az]=bilinear(b,a,1/T);

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);

axis([0,1,-30,2]);

%用脉冲响应不变法设计一个Butterworth数字低通滤波器的程序如下：

%模拟滤波器的技术要求

wp=400*pi;ws=600*pi;Rp=1;Rs=25;

%求模拟滤波器的系统函数

[n,wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')

[b,a]=butter(n,wn,'s')

%求模拟滤波器的频率响应，w取（0~1000pi）rad/s

[db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,500*2*pi);

%绘图，为了使模坐标显示频率f （单位Hz），将原变量w（模拟角频率，单位为rad/s）进行了处理

plot(w/(2*pi),db,'LineWidth',2,'Color','b');

axis([0,500,-20,1]);hold on

%脉冲响应不变法

fs=1000;[bz,az]=impinvar(b,a,fs);

%求数字滤波器的频率响应

[db,mag,pha,w]=freqz_m(bz,az);

%绘图，为了与模拟滤波器的频响在同一坐标中绘出，需要将数字频率w转换成模拟频率f，转换公式为f=w*fs/2*pi

plot(0.5*fs*w/pi,db,'LineWidth',2,'Color','r');

axis([0,599,-20,1]);hold off

%采用ellip（椭圆）模拟低通滤波器设计，其程序如下：

%确定所需类型数字滤波器的技术指标

Rp=3;Rs=15;T=0.001;

wp1=0.25*pi;wp2=0.45*pi;ws1=0.15*pi;ws2=0.55*pi;

%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标

wp3=(2/T)*tan(wp1/2);wp4=(2/T)*tan(wp2/2);

ws3=(2/T)*tan(ws1/2);ws4=(2/T)*tan(ws2/2);

%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标,设计模拟滤波器

wp=[wp3,wp4];ws=[ws3,ws4];

[n,wn]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);[b,a]=zp2tf(z,p,k);

%频率更换

w0=sqrt(wp3*wp4);Bw=wp4-wp3;

[b1,a1]=lp2bp(b,a,w0,Bw);

%双线性变换法

[bz,az]=bilinear(b1,a1,1/T);

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);

axis([0,1,-50,2]);

%采用Butterworth模拟低通滤波器设计，其程序如下：

%确定所需类型数字滤波器的技术指标

Rp=3;Rs=15;T=0.001;

wp1=0.25*pi;wp2=0.45*pi;ws1=0.15*pi;ws2=0.55*pi;

%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标

wp3=(2/T)*tan(wp1/2);wp4=(2/T)*tan(wp2/2);

ws3=(2/T)*tan(ws1/2);ws4=(2/T)*tan(ws2/2);

%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标,设计模拟滤波器

wp=[wp3,wp4];ws=[ws3,ws4];

[n,wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=buttap(n);[b,a]=zp2tf(z,p,k);

%频率更换

w0=sqrt(wp3*wp4);Bw=wp4-wp3;

[b1,a1]=lp2bp(b,a,w0,Bw);

%双线性变换法

[bz,az]=bilinear(b1,a1,1/T);

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);

axis([0,1,-50,2]);

第二篇：实验四 IIR数字滤波器的设计

实验四  IIR数字滤波器的设计

一 实验目的

（1）熟悉用双线性变换法和脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的原理及方法。

（2）掌握IIR数字滤波器的MATLAB实现方法。

二 实验原理

设计IIR数字滤波器一般采用间接法（脉冲响应不变法和双线性变换法），基本设计过程是：

①    将给定的指标转换成过渡模拟滤波器的指标；

脉冲响应不变法：

双线性变换法： 

②        设计过渡模拟滤波器；

    MATLAB信号处理工具箱中的滤波器设计函数butter、cheby1、cheby2和ellip可以分别被调用来直接设计巴特沃斯、切比雪夫1、切比雪夫2以及椭圆模拟与数字滤波器。本实验要求设计巴特沃斯低通IIR数字滤波器。

③ 将过渡模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器的系统函数。

三 实验内容及步骤

（1）分别用双线性变换法和脉冲响应不变法设计一个巴特沃斯低通IIR数字滤波器。设计指标参数为：在通带内频率低于0.2π时，最大衰减小于1dB, 在阻带[0.3π，π] 频率区间上，最小衰减大于40dB，采样频率。

（2）绘图显示并打印滤波器的幅频响应特性曲线和损耗函数曲线，分析比较二种设计方法。

（3）调用滤波器实现函数filter，分别用二种不同方法所设计的滤波器对进行滤波处理，得到输出，并分别打印出滤波前后信号的幅频特性曲线，观察总结滤波作用与效果。其中：

           

四 思考题

（1）脉冲响应不变法不适用设计哪类滤波器？为什么？

（2）用双线性变换法设计数字滤波器过程中，变换公式

中T的取值对设计结果有无影响？为什么？

五 实验报告要求

（1）简述实验目的及原理。

（2）打印程序清单。

（3）绘制IIR滤波器的特性曲线及损耗函数曲线。

（3）对比滤波前后信号的幅频特性曲线，说明数字滤波器的滤波作用。

（4）简要回答思考题。