高校数学教学中几何学教学的若干思考?

吴炳烨

（闽江学院数学系，福州 350108）

摘 要：本文结合作者多年几何学教学与研究实践，就高校数学教学中的几何学教学谈一些粗浅的看法。

关键词：数学；几何学；高校

几何学是现代数学的重要分支之一，几何学教学在数学教学中有着十分重要的地位。笔者已在高校从事几何学教学与研究二十余年，对几何学知识在高等数学中的地位与作用及几何学教学状况有着较清晰的认识与体会。本文结合笔者多年几何学教学与研究实践，就高校数学教学中的几何学教学的现状以及教学改革谈一些粗浅的看法，欢迎大家批评指正。

一、几何学在数学知识结构中的地位与作用

几何学是数学中最古老的分支之一（另一分支是数论），它是随着生产实践的需要而产生，随着生产的发展而发展起来的。早在三千多年以前，中国、埃及、巴比伦及印度等文明古国的各民族就积累了丰富的生产经验，而且已经懂得并应用着许多几何知识。在我国，从地下发掘出来的考古资料表明，十万年以前的骨器上就刻有菱形的花纹，石器时代的各种工具也都具有一定的几何形状，殷代以前的陶器上已有许多几何图案。这说明远古的劳动人民在生活和生产实践中逐步形成了图形的概念。在埃及，公元前二千多年就已有许多高大的金字塔。这些金字塔的工程之浩大，造型之精美，至今仍然令人叹服。这说明当时已有精确的测量技术和几何的计算。古希腊的数学家和历史学家认为埃及人的几何知识来源于士地的测量，因为在尼罗河每次泛滥之后，人们就得重新测定被河水冲毁的地界。“几何学”（Geometry）这个翻译名字，其原意就是“土地测量技术”。

约公元前七世纪，希腊的经济文化已比其它民族繁荣昌盛得多。希腊和埃及一海之隔，经常通商，埃及人的几何知识也随着经济的交往传入希腊。希腊人不仅继续积累新的几何事实，并且开始采用特别的方法去创造理论，这种方法就是我们现在用以叙述几何知识的基本方法——演绎法（公理法）。古希? 第六届大学数学课程报告论坛专题报告

腊几何学的发展，与哲学的发展有着密切的联系。逻辑学创始人亚里士多德（Aristotle）曾经指出，任何一种严密的科学体系都是从一些不能证明的原理开始的，否则所需要的证明将无止境地继续下去。亚里士多德所说的逻辑方法，就是我们现在在数学中普遍应用的演绎法。这对当时的希腊几何学家欧几里得的历史巨著——《几何原本》有着重大的影响。

欧几里得（Euclidean）是古希腊最伟大的一位几何学家。他在他的不朽名著《几何原本》(以下简称《原本》)中，不仅非常详尽地收集了当时所知道的一切几何学方面的资料，更重要的是他把这些非常分散的知识用逻辑推理的方法，编排成一个系统的理论。他把几何学，依照亚里士多德所说的严密科学理论的要求，建筑在几个最初的假设（定义、公设、公理）基础上，由这些假设利用逻辑推理的方法（主要是分析法、综合法和反证法）导出后面的一切定理。因此，《原本》不但在完善和充实上大大超过了在它以前的所有几何著作，并且在以后的两千余年间依然没有几部几何著作可以和它媲美。直到现在，中学几何教材中的叙述方法仍与《原本》没有多大实质性的差别。

欧几里得是第一个提出几何根据的古代数学家，他叙述的方法是正确的，编著的《原本》是伟大的。由于历史条件的局限性，不可避免地存在严重的缺陷。尽管如此，它却有着巨大的历史意义。《原本》是几何学最早的经典著作，它是在公理法的基础上逻辑地创造几何学的先例，为后代数学家指明了正确的方向。特别是现代数学中处于统治地位的公理法，其来源就是欧几里得的《原本》。另一方面，数学发展史上两项奠定现代数学基础的重大发现——坐标法与微积分，也与几何学发展密不可分：前者实现了代数与几何的辨证统一，而后者的诞生，直接源于曲线切线的斜率及平面图形面积计算的需要。随着坐标法与微积分的诞生，几何学得到了前所未有的蓬勃发展，并产生了新的几何分支——微分几何。现代微分几何的基本研究对象是流形，它是传统的实数空间或复数空间的推广。几何学的基本原理与方法不仅渗透到现代数学许多分支，也广泛应用于物理学、天文学等其他学科。

从高等数学知识结构来说，它的基础建立在三大基础课程——《解析几何》、《高等代数》与《数学分析》之上。而在《高等代数》与《数学分析》的知识结构中，到处可以见到几何学的背景与应用，因此《解析几何》课程可以认为是基础中的基础。

我们说几何学是现代数学的基础，基于下面两点。其一，如上所说，现代数学中占统治地位的公理法源自几何，几何是使用公理法的鼻祖；几何基础的重要性，诚如希尔伯特(Hilbert)所言：“数学中的公理方法和逻辑推理就象天文学家手中的望远镜那样重要，是不能丢弃的。”其二，现代微分几何的研究对象——流形，已成为现代数学许多分支的工作空间，诚如已故几何学大师陈省身先生在《微分几何讲

义》一书的序言中所说的那样，“将来数学研究的对象，必然是流形”。事实上流形这一概念已经不仅仅是几何工作者必须掌握的基本概念，也是任何一个数学工作者甚至于理论物理学者必需掌握的基础知识。因此几何学在数学知识结构中有着十分重要而基础的地位。

二、几何学教学在高校数学教学中的现状

由于几何学在数学中的重要而基础的地位，学好几何学对于学习、理解现代数学起着至关重要的作用。就几何学教学在大学数学教学中的状况而言，上世纪九十年代末之前，几何学教学贯穿大学数学教学的始终：从大一的《解析几何》，大二的《高等几何》，到大三的《微分几何》、大四的《几何基础》、《微分流形初步》等。从内容上说，《解析几何》以向量代数与坐标法为基本工具，讲述三维欧氏空间中平面、直线及曲面、曲线的方程与基本性质，阐述了几何图形的代数表示及代数方程的几何解释，是大学数学的基础；《微分几何》则是以微积分（主要是微分）为工具，探讨三维空间及高维空间中曲线、曲面的局部与整体性质，它可看成《数学分析》在几何学上的深化与应用，同时也是进一步学习现代微分几何的基础；而《高等几何》与《几何基础》的内容则与中学初等几何密切相关，但在数学思想方法上则要用到公理化体系以及变换群等现代数学概念，它们以初等几何为载体，阐述高深抽象的现代数学思想。通过这两门课程的学习，既可以深刻领会抽象高深数学思想，又可以从更高的视野审视、理解初等几何，对提高学生数学素养起着十分重要的作用，而这对于师范类学生尤其重要。另外，《微分流形初步》作为研究生教材的先修课程，一般作为选修课，供准备考研、有志于从事数学研究的学生选修。因此，这几门课程从基础理论到前沿研究基础，层次分明，构成了大学几何学完整的课程体系。

近年来，随着我国社会经济的发展，高等教育也得到迅猛的发展，规模不断扩大，高等教育也由原先的精英教育转向大众化普及，在教学上也更加强调知识应用性及实践能力。在课程设置上，更加重视实践、实验课程及各项技能培训，以适应日趋严峻的就业压力。与此同时，由于高年级学生实习、找工作等原因，许多高校课堂教学时间缩短至三年半，甚至三年，这导致基础理论课的课时不断压缩，在一定程度上影响了理论课的教学效果；而数学基础不扎实，反过来也会影响学生应用能力与长远发展。因此，如何科学处理基础理论课与实践、实验课的关系是当前高校教学改革中的一个关键问题。

就数学专业而言，目前许多高校基础理论课课时普遍压缩。尤其是几何学，虽然《解析几何》由于其在数学知识结构中的基础性，大部分高校仍然开设，但也已有学校将它并入《高等代数》；而后续的几何课程基本都成选修课，实际在许多高校已多年未能开课。诚如复旦大学李大潜院士在第五届大学数

学课程报告论坛所作特邀报告中所说：“现在大学数学教学中一个明显的结构性的缺失是几何方面训练的严重削弱，导致学生几何知识短缺，几何观念薄弱，几何思想贫乏，这是现在数学教学改革中应该引起来严重注意的问题”[2] 。由于几何学在数学知识结构中的基础性地位，可以预见，对数学专业学生而言，缺乏几何知识与几何思想，其数学理论基础就不可能扎实，在此基础上也就不可能有较强的数学应用能力与发展潜力。

三、加强几何学教学的一些尝试

笔者所在学校属于地方新建本科学校，几年前数学专业实际开设的几何课程只剩下《解析几何》。近年来我们在加强数学系学生几何学教学与训练上采取了一系列措施，成效明显。我们的主要措施包括以下几点：

1、修订培养方案，对师范类学生将《微分几何》定为必修课，同时选用既有经典理论，又有现代微分几何初步的教材。以经典理论部分作为主要的教学内容，而现代微分几何初步部分作为选学内容。这样做一方面训练学生运用微积分解决几何问题的能力，加强学生的数学素养，同时也为部分有兴趣的学生自学、提高之用，也为考研学生打下良好的数学基础。

2、引导师范类学生选修《高等几何》，使学生能在更高的视野下审视中学初等几何内容，为今后从事中学数学教学及组织中学数学竞赛等打下基础。我们通过举办几何学系列讲座，引导学生学生学习几何的兴趣，近两年我系全部师范生均选修《高等几何》课程。

3、改革传统教学手段，将传统教学方法和现代化教学手段结合起来。虽然对于数学专业课程而言, 其内容以代数运算与理论推导为主，教学手段宜以传统的黑板加粉笔的方式为主，但是适当运用多媒体等现代化教学手段无疑可以提高教学效果。对部份教学内容尤其是空间作图，使用多媒体课件有利于培养学生的几何直观与空间想象力，激发学生的学习兴趣，提高教学质量。同时，现代化教学手段的运用也可使教师省去一些不必要的抄写，这在一定程度上弥补了课时不足的问题。

20xx年《解析几何》获校精品课程立项，我们在课堂教学方法的改革上投入了大量的精力。在教学改革实践中，我们认识到，使用多媒体课件提高几何学教学效果，关键在于制作好的课件，杨长避短，充分发挥多媒体课件书写规范美观、富于变化、图形标准、信息量大等优点。利用多媒体课件，可以把教学内容编写得更加规范、完整，并辅以适当的动态演示，穿插一些数学知识的延伸介绍及数学家的小

故事等，激发学生的学习兴趣。在课件软件的选择上，我们选用数学专业软件TEX编写成PDF演示文档。与使用更普及的PPT文档相比，虽然PDF文档在动画效果方面有所不足，但它在数学公式及绘图方面有着独特的优点：数学公式整洁美观，图形准确且富于变化，维护简便。我们在实行教学方法改革后，受到学生的欢迎，学生的学习兴趣与积极性明显提高，成效显著。

经过以上一些措施，现在在我校数学系，师范类学生从大一到大三顺次学习《解析几何》、《高等几何》与《微分几何》，数学专业学生几何学方面的结构性的缺失的现象得到有效的改变。

参考文献

[1] 陈省身，陈维桓. 微分几何讲义(第二版)[M]. 北京：北京大学出版社，2003.

[2] 李大潜. 关于高校数学教学改革的一些宏观思考[M]. 大学数学课程报告论坛论文集. 北京：高等教育出版社，2009.

第二篇：浅谈在数学教学中引入反例的教学作用