数学建模实验报告
—课程评估问题
摘要：本文根据层次分析的思想，运用层次分析法和在层次分析基础上建立的灰色理论，完成了评估因素间关系的量化问题，给出了两种课程评估公式，并且这两个公式有一定的主观倾向，应用结果表明，本文中提出的两个方法在同样的评估人（评估人的任务是根据其主观判断，完成各因素间的量化问题，各因素的具体得分已经得到，不需要评估人来给出）评估同样的课程是结果具有一致性，表明这两个方法都是科学的，可取的。最后文章中给出了模型的一些优化方法，以提高其评估的准确性。
关键词：层次分析，灰色理论，因素间关系的量化
1. 问题的提出
课程是实现人才培养目标的基本单元，抓好课程建设可以带动师资队伍、教材、实践教学等的建设与改革，从而保证教学质量稳定提高。对于一门课程而言，课程建设要体现现代教育思想，符合科学性、先进性和教育教学的普遍规律，具有鲜明特色，并能恰当运用现代教学技术、方法与手段，教学效果显著，具有示范和辐射推广作用。课程评估是促进课程建设的有效手段，我们可以通过评估挑选出优秀的课程，来作为课程建设的典范。但是，影响课程的因素众多，而且均是离散的非函数关系，单纯以单一因素评分的高低来评估课程是不科学，不合理的。因此，需要提出一种评估方法，来科学地评估所有待评估课程。对课程进行综合性指标的测评。
2. 问题的分析
对于一门课程而言，影响它给人的优劣感有诸多因素。比如教材，授课，课后作业，答疑等等。这些方面的优劣是一种主观感觉，不是纯粹的数字量。目前在高校中，比较普遍的评估办法是让学生对所有的影响因素逐一打分，再假设所有的打分均是客观公正的情况下，确实可以比较出各门课在单一因素影响下的优劣。但是，影响课程的因素不是单一的，所以必须综合考虑。因此必须量化各因素之间的关系。否则就会出现一个很普遍的问题。例如我们评价高等数学和线性代数两门课，一些因素前得分高，而另一些因素后者等分高，那么综合起来考虑时，便无法判定孰优孰劣。
综合来看，评价起来有困难，排名的话则难度更大。在数学上，对于不能完全量化的问题， 可以用层次分析法，灰色理论等方法，这些通过追加人的主观判断来加以处理，成功地量化了因素之间的关系。在这里，我们用层次分析法和灰色理论来给出一个评估公式。用以评估各门课程。
3. 基本假设
l 每门课程之间确实存在客观的差别，而用评估公式计算所得的结果的大小则能客观的反映该课程的优劣
l 每个学生的打分都是客观的，单一因素得分的高低反映了待评估课程在这些因素上的优劣。
l 评价时讨论的指标是从课程的共性中提取的，而排除某些课程的特性，比如某些工科课程拥有实验环节，而理科的课程则大多没有该环节，所以该环节不在评价指标之内。
l 默认所有的课程重要性是相同的，学生在未授课时的初始态度都是同样积极的。
l 评估中包含评估人的主观判断，所以可能与其他方法得出的排名有所出入，这是正常的，因为这类问题是不存在绝对客观的结果的
4. 定义符号说明
A-判断矩阵
-权向量
x-一级指标
y-二级指标
-第k门待评估课程在第i个评价指标上的得分
D-评估指标值矩阵
-关联系数
-第k门待评估课程的关联序
5. 模型的建立
我们提出两种模型来解决此问题，第一种是被普遍应用的层次分析模型，第二种是专用于求解无关离散序列问题的灰色系统模型。
1) 层次分析模型：
l 首先我们提取一些指标，来作为评价的依据。这是我们在网络上搜集到的一些评价方法，其中的评价指标选取很有可取之处。
西安交通大学课程评估方法：
国家精品课程评估方法：
综合考虑后，我们选取了课程，作业和教材作为一级指标，课程内容，讲授水平，教学效果，教学态度，教学手段，课后答疑，批改作业，理论基础，表述水平为二级指标。
l 然后我们建立如下的层次结构模型，其层次结构图如下
该模型一共分为四层，最高层为目标层，中间层有两层，其中准则层中有三个一级指标，分别为课程，作业和教材，准则层之下是指标层，有9个二级指标，一二级指标间具体的层次关系如下：课程内容，讲授水平，教学效果，教学态度，教学手段 这五个指标为一级指标课程所包含的5个因素，课后答疑，批改作业为一级指标作业所包含的2个因素 ，理论基础，表述水平为一级指标教材所包含的2个因素。最底层为待评估的课程。
l 根据此模型，下面给出实用的课程评估公式。现在要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种课程优劣情况进行排序，从而在不同的课程中作出评价的原则。
l 构造判断(成对比较)矩阵，具体的原则如下：
1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。
2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。
3. 判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标度方法给出。
判断矩阵元素aij 的标度方法：
该矩阵的元素应尽量满足一致性，但我们允许部分元素不满足一直性，因为我们无法证明由评价指标的相对重要性建立的标度具有传递性。
l 权向量的求解。设有n个指标，将初始值
带入，循环计算，
，然后中每个元素再除以所有元素之和 ，直到两次计算结果被认为是一致的时候，所得即为要求的权向量。
2) 灰色系统模型
灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考查和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。在这里，课程评估就是一个灰色系统，该模型的输入和输出是非函数的，且具体的内部关系未知，因而，我们采用灰色系统模型理论中的灰色关联分析法来对该问题进行处理。
具体的步骤如下：
l 建立待评估课程的递阶层次结构。在深入调查研究的基础上，应用层次分析法原理，经反复论证，对目标进行逐层分解，使同层次之间的面素其含义互不交叉，相邻上下层元素之间为“父子”关系，形成如图l所
示的递阶层次结构。其底层元素即为所求的评估指标。在这里，我们选取的因素与上面的层次分析法中选取的相同。
递阶层次结构：
l 计算评估指标体系底层元素的组合权重。根据简易表格法， 由专家或评价者对上下层之间元素的关系进行定性填表，用精确法或和法计算相邻层次下层元素对于上层元素的相对权重，在此基础上再算出底层元素对于目标的组合权重
，由于该权重是由评估人的主观判断决定的，所以，考虑到是统一评估人，因素间的层次结构是与前面相同的，故权值选取上面的层次分析法中计算所得的权值。
l 给出评估课程的评估指标值矩阵D。形式如下
l 对矩阵进行归一化处理，一般选用以下方法：
初值化法：
均值化法：
l 选取参考数据列，一般选最优值或最劣质
l 逐个计算每个被评价指标对象指标序列与参考序列的对应元素的绝对差值
l 挑选出最大的和最小的绝对差值，分别记作max，min
l 计算D中每个元素的关联系数，公式为
其中
为分辨系数，在（0,1）内取之，越小，关联系数间差异越大，区分能力越强，通常取0.5。
l 计算关联序。对各待评估课程分别计算其各个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各个评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为：
l 根据关联序的大小对待评估课程进行排序
6. 模型的求解
层次分析模型：
最终，我们对矩阵元素的赋值如下：
第一级指标：
于是得到
解得：
一致性检验得CR=0，一致性检验通过。
第二级指标：
对于
一致性检验得CR =0.0161<0.1，一致性检验通过。
对于
我们认为这两个因素的相对重要性相同，所以易得
，且一致性检验必能通过
对于
，一致性检验得CR =0，一致性检验通过。
所以，根据以上各步，可以得到一个评估公式 ：
灰色理论模型中使用的也是上面求得的权向量
7. 模型的检验
为了试验我们提出的模型，现在我们用真实数据来检测一下。我们对高等数学，线性代数，大学物理，C++，毛概，思修，马原这七门课进行课程评估。首先我们对一些学生进行了抽样问卷调查，得到了如下的数据。
由层次分析模型得：
计算结果如下：
根据最后得分，课程评估结果为：线性代数，高等数学，思修，C++，大学物理，马原，毛概。
由灰色理论模型得：
由于各个因素上限均为100分，所以已经满足归一化条件，故可直接代入计算，挑选各行最大值为参考向量，得
计算关联系数，结果如下
根据最后得分，课程评估结果为：线性代数，高等数学，大学物理，C++，思修，马原，毛概。
8. 结果分析
由结果可以看出，两个模型的排序结果的整体走向是相似的，一二名和六七名完全相同，而中间几名却有些出入，我们从评分表中可以看出一些规律。“高等数学”和“线性代数”的各项得分都比较高，而“马原”和“毛概”的各项得分都比较低，因为显而易见，如果一门课程在所有因素上的得分都是最高的，那么，不论排名中使用的权值为何值，它都将是第一名，所以，出现这一现象是符合客观实际的。另外，中间三门课程排名出现了差异，我们也可以发现，这三门课程的得分情况是接近的，他们的最终得分也是很接近的，但是有出入。对于这一结果，我们认为是由于第二个模型中运用了关联系数这一概念。在层次分析模型中，最后的得分高低主要取决于高权重二级指标的得分，在上例中，“课程内容”和“讲授水平”这两个二级指标的权值最高，分别为0.1883和0.3399，而在“思修”，“大学物理”，“C++”这三门课中，“思修”在这两个二级指标上的得分都是最高的，且其他的低权值因素上三门课相差不大，所以如果使用层次分析模型，则思修的排名将会处于三者前列，同理，虽然“大学物理”在“课程内容”和“教学态度”上的得分高于“C++”，但“C++”在权值最高的“讲授水平”上的得分高于“大学物理”，故“C++”的排名较“大学物理”靠前。而对于灰色理论模型，则有些不同。该模型中，如果一门课程想获得高的排名，则它的被评价指标序列中的各元素必须和参考向量的各元素充分接近，且高权值的二级指标两者更是要充分接近。虽然与前一个模型的条件是相同的，但是，由于它考察的是一个相对值，所以，就在一定程度上弱化了得分高的优势，所以才会导致两个模型的结果有所出入。
9. 模型的评价与改进
这两个模型都可以用来完成课程评估，优点如下：
l 成功的处理了各影响因素之间的关系量化问题，得到了一种带有主观判断的评估方法。
l 对于数据的要求很低，仅仅是要求不同因素间评分标准差别不太大
l 两个模型互相印证对方是科学可取的
但缺点也是存在的，有如下的可改进之处
l 计算权值时仅仅用了单一评价人的主观感受，其实在条件允许的情况下，可选择采用多评价人制度，计算得到一镞权值向量后，采用去几何平均数的办法求出一个更符合多数人意志的权值
l 可以用模糊层次分析法FAHP来代替层次分析法进行更合理的评估公式的设计
上面我们已经给出了两种可取的评估公式，对于这两个公式，使用时应注意结合实际情况进行改变。在上面的实例中，我们评价的标准是最后得分的高低。但如果在实际应用中要求课程的各指标得分要相对平均，则还需要增加“方差”这一评价指标，并重新建立层次结构模型。总之，这一类问题不存在结果是否正确，只是说结果是不是合理，因此在实际问题中因再三考量层次结构建立得是否符合实际情况，并且最好应用模式匹配思想来进行应修正。
参考文献
[1]潘良明，灰色层次评估法，系统工程，1992.9；
[2]周义仓、赫孝良，数学建模实验（第二版），西安交通大学出版社，2007.8
[3]刘正君，MATLAB科学计算与可视化仿真宝典，电子工业出版社，2009.4