实验2—2a 重力加速度的测定（用单摆法）

【实验目的】

1．掌握用单摆测量重力加速度的方法。

2．研究单摆的周期与单摆的摆长、摆动角度之间的关系。

3．学习用作图法处理测量数据。

【实验仪器】

单摆实验装置，光电计时装置（或电子秒表），米尺，螺旋测微器。

【实验原理】

一根长为L的不可伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个质量为m的小球。当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多，摆角小于、等于5度，空气阻力不计，此种装置称为单摆，如图2－2a－1所示。如果把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称为一个周期。可以证明单摆的周期T满足下面公式

                   （2－2a－1）

                                                   （2－2a－2）

式中L为单摆摆长。单摆摆长是指上端悬挂点到球心之间的距离，g为重力加速度。如果测量得出周期T，单摆的摆长L，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g。从上面公式知T ²和L具有线性关系，即。对不同的单摆摆长L测量得出相对应的周期，可由T ²～L图线的斜率求出g值。

当摆动角度θ较大（θ>5°）时，单摆的振动周期T和摆动的角度θ之间存在下列关系

         

【实验内容】

1．  对同一单摆摆长多次测量周期，用计算法求重力加速度。

（1）取细线约一米，使用米尺来测量单摆摆长L。

（2）用螺旋测微器测量小球直径d；测五次，取平均值。

（3）用光电计时装置测出摆动50个周期所用的时间t。在测量时要注意选择摆动小球通过平衡位置时开始计时。

2．  研究周期与单摆摆长的关系，并测定g值。

取不同的单摆摆长（每次改变5cm左右），拉开单摆的小球，让其在摆动角度小于5°的情况下自由摆动，用计时装置测出摆动30个周期所用的时间t。

3．对同一单摆摆长L，在θ<5°的情况下采用多次测量的方法测出摆动小球摆动30个周期所用的时间，可以计算出周期T，研究摆动角度θ和周期T之间的关系，略去及其后各项，则

                                             （2－2a－3）

【数据处理】

1．对同一单摆摆长多次测量周期，用计算法求重力加速度。

测量数据如下表：

单摆摆长数据处理：

              cm          ；      cm

     米尺                     ；         cm

     螺旋测微器             ；        cm

                          ；          cm 

      cm           ；           cm

单摆周期数据处理：

         s                      ；         s

         s            ；              s

测量结果：

将L、T值代入，可求得g的近似值：        cm/s²

                      ；

2．研究周期T与单摆摆长的关系，用作图的方法求g值

根据以上数据可以在坐标纸上作T²～L图，从图中知T²与L成线性关系。在直线上选取两点P₁(L₁,T₁²)和P₂(L₂,T₂²)，由两点式求出斜率，再从求得重力加速度，即

                   

3．研究周期与摆动角度的关系

测量数据如下表：

可使用坐标纸来做T～sin²图,求直线的斜率，并与作比较，验证（2－2a－3）式。

【思考题与习题】

1．摆动小球从平衡位置移开的距离为单摆长度的几分之一时，摆动角度为5？

2．为什么在摆球经平衡位置时开始计时？

第二篇：实验三 用单摆测重力加速度

实验三 用单摆测重力加速度

【实验目的】

1.本仪器可以通过固定单摆摆长测量振动周期，计算重力加速度g；

2.可逐次改变摆长测出相应的周期，研究单摆的周期与摆长的关系；

3.研究单摆周期与摆的质量关系；

4.本实验仪取摆角<45°的范围，较精确地反映周期与摆角之间的关系。

【实验仪器】

DB-2大学单摆仪   J-25周期测定仪    米尺   游标卡尺

【实验原理】

1．周期与摆长的关系

单摆：一根不会伸长的轻质细线上端固定、下端系体积很小的重球。给小球一个摆角后释放，小球在平衡位置往返作周期性摆动。不计空气浮力和摩擦阻力时，回复力。

当角位移很小（≤5°）时，                

     

令，得摆球的动力学方程：                                    

可见摆角很小时（θ≤5°）的运动是简谐振动，其周期：

由此重力加速度：            （1）

注：该公式是在未考虑小球的体积、摆动的角度、空气浮力及空气阻力的情况下得到的。

当然，这种理想的单摆实际上是不存在的，因为悬线是有质量的，实验中又采用了半径为r的金属小球来代替质点。所以，只有当小球质量远大于悬线的质量，而它的半径又远小于悬线长度时，才能将小球作为质点来处理，并可用（1）式进行计算。但此时必须将悬挂点与球心之间的距离作为摆长，即L=L₁+r，其中L₁为线长。如固定摆长L，测出相应的振动周期T，即可由（1）式求g。也可逐次改变摆长L，测量各相应的周期T，再求出T²，最后在坐标纸上作T²-L图。如图是一条直线，说明T²与L成正比关系。在直线上选取二点P₁（L₁，T₁²），P₂（L₂，），由二点式求得斜率；再从求得重力加速度，即

                              （2）

2．周期与摆角的关系

在忽略空气阻力和浮力的情况下，由单摆振动时能量守恒，可以得到质量为的小球在摆角为处动能和势能之和为常量，即：

          （3）

式中，为单摆摆长，为摆角，为重力加速度，为时间，为小球的总机械能。因为小球在摆幅为处释放，则有：

 

代入（3）式，解方程得到

            （4）

（4）式中为单摆的振动周期。

令，并作变换有

                               

这是椭圆积分,经近似计算可得到

                        （5）

在传统的手控计时方法下，单次测量周期的误差可达0.1-0.2s，而多次测量又面临空气阻尼使摆角衰减的情况，因而（5）式只能考虑到一级近似，不得不将项忽略。但是，当单摆振动周期可以精确测量时，必须考虑摆角对周期的影响，即用二级近似公式。在此实验中，测出不同的所对应的二倍周期，作出图，并对图线外推，从截距2T得到周期，进一步可以得到重力加速度。

【仪器简介】

1、大学单摆仪介绍

以静止的不能伸缩的单摆线为铅垂线，将其上端固定在支架的上方，下端拴一个质量比细线大的多的小球（有木球和钢球两种），测量摆线的长度和小球的直径。把小球沿水平方向略加移动，使其离开平衡位置，然后释放，小球在重力的作用下，开始摆动。单摆往返一次摆动的时间即为单摆的周期，其大小可用周期测定仪来测量。当用周期测定仪测周期时，先将光电门与小球下的档光条调整好，使档光条置于光电门正中，然后进行周期的测定。

2、周期测定仪介绍

仪器面板结构如下图所示

 

使用方法

  (1)首先将光电开关连接线插入“信号输入”口，调整好光电开关。

  (2)将电源线插入仪器后面的电源插座，保险丝安装在电源插座内。

(3)接通电源，时间显示框内显示“—YES—”，几秒后，周期数显示框内显示“01”，时间显示框内显示“0.00000”，测量指示的“1”上方的指示灯亮。

(4)按下“周期数/时间”按钮，选择周期数1、10、20、30中的一个，相应的指示灯亮。再按“开始测量按钮，” 时间显示框内显示“—YES—”，开始进入测量状态。当有信号时，周期数显示框内显示周期数，时间显示框内显示“00—YE”,当测量到周期数显示框预先选择的周期数时，仪器自动停止测量，同时时间显示框内显示所测的时间。

(5)按“周期数/时间”按钮，依次提取小于选择周期数的周期的时间，如选择的周期数为“10”时，能提取周期数为1和10的时间。

【实验内容】

1. 测重力加速度

⑴ 调单摆，使立柱竖直。

⑵ 米尺测摆线长和游标卡尺测小球直径D 。

⑶ 先用钢球做实验。

⑷ 测小球摆动30个周期所需时间t。

⑸ 计算，写出。

2. 研究单摆周期T与摆长L的关系

⑴ 调整摆线长度，使摆长L等于50.00cm；测量小球摆动30个周期所需时间t。

⑵ 改变摆长L（60.00cm、70. 00cm、80. 00cm、90. 00cm），重复上述测量步骤。                                                                   

⑶ 在坐标纸上绘制～L曲线，求出直线斜率；由，求出重力加速度g。

⑷ 已知当地的重力加速度，计算百分偏差B。

3．研究单摆周期与摆的质量关系

⑴ 在测重力加速度实验的基础上，用小木球做实验，测出重力加速度。

⑵ 并与用小钢球做实验所测的重力加速度作比较。

4．研究单摆周期与摆角的关系（选做）

⑴ 在测重力加速度实验的基础上，取摆角<45°的值，重复实验。

⑵ 作出单摆周期2T与Sin²(θ_m/2)的关系图。

摆角可以从摆线长L₁和悬线下端点离中心位置的水平距离x求得。

【实验要点及难点】

1. 摆角θ应小于5°。

2. 必须在垂直平面内摆动，不能形成椭圆运动。

3. 测量周期时，应在摆球通过平衡位置时开始计时。

【思考题】

1. 为什么测量周期时要在摆球通过平衡位置时开始计时，而不在摆球到达最大位移时开始计时？

答：因为摆球在平衡位置时速度最大，在此计时误差最小；而在最大位移时速度最小，误差最大。

2. 根据间接测量不确定度的传递公式，分析本实验中哪个量的测量对g的影响最大？

答：g的值与周期T和摆长L的测量有关，其中T对g的影响最大。因为T本身较小，又是平方反比关系，按照间接测量不确定度的传递公式，其对结果影响较大。

3.从理论上讲，～L关系曲线应通过坐标原点，实际所画直线如果不通过原点，试分析其原因。

答：这只要由实验误差所引起。摆角较大、小球体积较大、空气的浮力和摩擦阻力等等都可能导致误差，考虑这些因素的影响，其摆动周期修正为：

      

因此～L直线可能不通过坐标原点。