羊安中学导学案
第二篇:二次函数的图象和性质教案
二次函数的图象和性质
峰
一、考点扫描
1、理解二次函数的概念:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
2、会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;
3、会平移二次函数y=ax2(a≠0)的图象得到二次函数y=a(x+k)2+h的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想;
4、会用待定系数法求二次函数的解析式;
5、利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
二、知识网络
1、二次函数
2、顶点式:y=_______________________,顶点坐标为_____________.
3、图象平移口诀:_______________________________________。
三、典型例题讲解
例1、已知某二次函数,当x=4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1,
求:(1)它的函数解析式。;
(2)写出它的开口方向、对称轴方程和顶点坐标。;
(3)这个函数有最大值还是最小值?这个最值是多少?
分析:此题关键在于理解顶点坐标与函数最值之间的关系。
例2、已知开口向上的抛物线经过点(0,—2),
(1)、确定抛物线的解析式;
(2)、将该二次函数图象向右平移几个单位,可使得平移后的图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标
分析:本题解决(2)有两种思路:1、利用图象 2、设平移后的解析式为
,平移后过(0,0)代入确定a的值即可。
例3、二次函数的图象如图9所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程的两个根.
(2)写出不等式的解集.
(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围.
(4)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.
点评:本题主要考查数形结合的思想及识图能力
四、知识巩固与提高
1、二次函数y=-(x-1)2+3图像的顶点坐标是 ( )
A.(-1,3) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(1,-3)
2、抛物线的对称轴直线是 ( )
A、x=-2 B、x=2 C、x=-1 D、x=1
3、二次函数y=x2的图象向右平移3个单位,得到新的图象的函数表达式是( )
A.y=x2+3 B. y=x2-3 C. y=(x+3)2 D. y=(x-3)2
4对于二次函数,我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点。则二次函数(m为实数)的零点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
5、一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为,则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为
( )
A、10m B、20m C、30m D、60m
6、小明、小亮、小虎、小燕四人共同探究代数式的值的情况,他们作了如下分工:小明负责找值为1时的x值,小亮负责找值为0时x的值,小虎负责找最小值;小燕负责找最大值。几分钟后,各自通报探究的结论,其中错误的是 ( )
A、小明认为只有当x=2时,的值为1
B、小亮认为找不到实数x,使的值为0;
C、小虎发现的值随x的变化而变化,因此认为没有最小值;
D、小燕发现当x取大于2的实数时,的值随x的增大而增大,因此认为没有最大值。
7、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确结论是( ).B
(A)②④ (B)①④ (C)②③
8、如图9所示的抛物线是二次函数的图象,那么的值是 .
9、已知二次函数的图象开口向上,且对称轴在y轴的
右侧,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式_________________________________。
10、将抛物线y=2x2先沿x轴方向向左平移2个单位,再沿y轴方向向下平移3个单位,所得抛物线的解析式是_________________。
11、飞机着陆后滑行的距离s(单位:米)与滑行时间t(单位:秒)之间的函数关系式是s=60t-1.5t2.飞机着陆后滑行__________秒才能停下来。
12、二次函数的部分对应值如下表:
二次函数图象的对称轴为x=__________;x=2对应的函数值y=_____________。
13、已知二次函数图象的顶点是,且过点.
(1)求二次函数的表达式,并在图10中画出它的图象;
(2)求证:对任意实数,点都不在这个
二次函数的图象上.
,
14、如图13,已知二次函数的图像经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离.
15、阅读材料,解答问题.
当抛物线的表达式中含有字母系数时,随着系数中的字母取值的不同,抛物线的顶点坐标出将发生变化.例如y=x2-2mx+m2+2m-1①,有y=(x-m)2+2m-1②,∴抛物线的顶点坐标为(m,2m-1),即
当m的值变化时,x、y的值也随之变化,因而y值也随x值的变化而变化.
把③代入④,得y=2x-1.⑤
可见,不论m取任何实数,抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x-1.
解答问题:
(1)在上述过程中,由①到②所学的数学方法是 ,其中运用了 公式,由③、④到⑤所用到的数学方法是 .
(2)根据阅读材料提供的方法,确定抛物线y=x2-2mx+2m2-3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式.
16、(2007山东威海)如图①,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,二次函数的图象记为抛物线.
(1)平移抛物线,使平移后的抛物线过点,但不过点,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可).
(2)平移抛物线,使平移后的抛物线过两点,记为抛物线,如图②,求抛物线的函数表达式.
(3)设抛物线的顶点为,为轴上一点.若,求点的坐标.
(4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点,使为等腰三角形.若存在,请判断点共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明师.