【例1】（20##全国大纲卷理22）函数
，定义数列
如下：
，
是过两点
、
的直线
与
轴交点的横坐标.
（1）证明:
；
（2）求数列的通项公式.
【证】（1）证：直线的方程为
，即
，
令
，解得
.
下用数学归纳法证明
：
① 当
时，，所以
.
② 假设当
时结论成立，即
，则当
时，
由
，得
，即
，故
.
由①②知，对一切
都有.
从而
，故
.
综上，.
（2）解：由（1）知，
，则 
①，
②，
①
②，得
，故数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
因此，
，解得：
.
【例2】已知函数
在开区间(0，1)内是增函数．
(Ⅰ) 求实数a的取值范围；
(Ⅱ) 若数列
满
，证明：
．
(Ⅰ)解：
，由于f (x)在(0，1)内是增函数，
∴ 
，即 
在x∈(0，1)时恒成立．
∴ 
恒成立，
而 －2＜x－2＜－1，
∴ 
，
即 
，
∴ 
即为所求．
(Ⅱ) 证明：① 当n=1时，由题设知a1∈(0，1)．
② 假设当n=k时，不等式成立，即ak∈(0，1)，则
当n=k+1时，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函数
∴
，
即ak+1∈(0，1)，故n=k+1时命题成立.
根据① ② 知0＜an＜1，n∈N*．
又 ∵ 
，
∴ ．
【例3】已知函数
,数列{
}满足：
，证明：
(Ⅰ) 
；(Ⅱ) 
.
证明：(Ⅰ) 先用数学归纳法证明
① 当n=1时，由已知，结论成立.
② 假设当n=k时结论成立，即
，
因为
时，
，
所以
在(0，1)上是增函数，又在[0，1]上连续，
从而
，即
，
故当n=k+1时，结论成立.
由①②可知，
对一切正整数都成立.
又因为时，
，
所以
，综上所述
.
(Ⅱ) 设函数
，
由(Ⅰ)可知，当
时，
.
从而
,
所以
在（0，1）上是增函数.
又
，
所以当时，>0成立.
于是
，即
，
故
．
【例4】已知函数
,数列满足
, 
; 数列
满足
, 
.求证:
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）若
则当n≥2时,
.( 
)
解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明
,.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即
.则当n=k+1时,因为0<x<1时,
,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在
上连续,所以f(0)<f(
)<f(1),即0<
.
故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.
又由, 得
,从而
.
综上可知
(Ⅱ)构造函数g(x)=
-f(x)= 
, 0<x<1,
由
,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.
因为,所以
,即
>0,从而
(Ⅲ) 因为 ,所以
,
,
所以
————①
由(Ⅱ)
知:
, 所以
=
,
因为
, n≥2,
所以 
<
<
=
————② .
由①② 两式可知: .
【例5】 设函数与数列
满足以下关系：
① 
，其中
是方程
的实根；
② 
；
③ 的导数
.
(Ⅰ) 求证：
；
(Ⅱ) 判断与
的大小关系，并证明你的结论.
(Ⅰ) 证：① 当
时，，不等式成立.
② 假设当
时不等式成立，即
，则
时，
∵
，则递增.
∴
，即时不等式也成立.
由①、②知，对一切
都成立.
(Ⅱ) 解：
，
设
，则
，
∴
递减，而，
∴
，
即
，亦即
，
∴.
【例6】（2005江西）已知数列
（1）证明
（2）求数列
的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴
，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴
；
2°假设n=k时有
成立，
令
，在[0，2]上单调递增，所以由假设
有：
即
也即当n=k+1时 
成立，
所以由1°、2°知，对一切
（2）下面来求数列的通项：
所以
,
又bn=－1，所以
【拓展题】
【例】、数列满足
，且
.（1）当
时，求数列的通项公式；
（2）若不等式
对一切恒成立，求的取值范围；
（3）当
时，证明：
.
解：（1）当时，
.
（2）
①，要使对一切恒成立，
至少需使
成立
.
下面先用数归法证明：当
时，
(略)，再由①知恒成立.
所以
为所求.
（3）当时，由(2)知，则由
，
从而
，等号当且仅当时成立.
（2009安徽理21）首项为正数的数列满足
（1）证明：若
为奇数，
则对一切
都是奇数；（2）若对一切都有
，求的取值范围.
略解：（1）已知是奇数，假设
是奇数，其中
为正整数，
则由递推关系得
是奇数.（因为
是偶数）
根据数学归纳法，对任何，都是奇数.
（2）（方法一）由
知，当且仅当
或
.
另一方面，若
则
；若
，则
根据数学归纳法，
综合所述，对一切都有的充要条件是或
.
（方法二）由
得
于是或.
，因为
所以所有的均大于
，因此
与
同号.
根据数学归纳法，
，与
同号.
因此，对一切都有的充要条件是或.
第二篇：数学归纳法证明不等式2
