第二章　应知应会知识点

2.1　代数篇

一　数与式

（一）有理数

1　有理数的分类

2　数轴的定义与应用

3　相反数

4　倒数

5　绝对值

6　有理数的大小比较

7　有理数的运算

（二）实数

8　实数的分类

9　实数的运算

10　科学记数法

11　近似数与有效数字

12　平方根与算术根和立方根

13　非负数

14　零指数次幂　负指数次幂

（三)代数式

15　代数式　代数式的值

16　列代数式

（四）整式

17　整式的分类

18　整式的加减　乘除的运算

19　幂的有关运算性质

20　乘法公式

21　因式分解

（五）分式

22　分式的定义

23　分式的基本性质

24　分式的运算

（六）二次根式

25　二次根式的意义

26　根式的基本性质

27　根式的运算

二　方程和不等式

（一）一元一次方程

28　方程　方程的解的有关定义

29　一元一次的定义

30　一元一次方程的解法

31　列方程解应用题的一般步骤

（二）二元一次方程

32　二元一次方程的定义

33　二元一次方程组的定义

34　二元一次方程组的解法（代入法消元法　加减消元法）

35　二元一次方程组的应用

（三）一元二次方程

36　一元二次方程的定义

37　一元二次方程的解法（配方法　因式分解法　公式法　十字相乘法）

38　一元二次方程根与系数的关系和根的判别式

39　一元二次方程的应用

（四）分式方程

40　分式方程的定义

41　分式方程的解法（转化为整式方程　检验）

42　分式方程的增根的定义

43　分式方程的应用

（五）不等式和不等式组

44　不等式（组）的有关定义

45　不等式的基本性质

46　一元一次不等式的解法

47　一元一次不等式组的解法

48　一元一次不等式（组）的应用

三　函数

（一）位置的确定与平面直角坐标系

49　位置的确定

50　坐标变换

51　平面直角坐标系内点的特征

52　平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置

53　对称问题：P(x,y)→Q(x,- y）关于x轴对称

             P(x,y)→Q(- x,y)关于y轴对称

             P(x,y)→Q(- x,- y)关于原点对称

54　变量　自变量　因变量　函数的定义

55　函数自变量　因变量的取值范围（使式子有意义的条件　图象法）

56　函数的图象：变量的变化趋势描述

（二）一次函数与正比例函数

57　一次函数的定义与正比例函数的定义

58　一次函数的图象：直线，画法

59　一次函数的性质（增减性）

60　一次函数y=kx+b(k≠0)中k　b符号与图象位置

61　待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）

62　一次函数的平移问题

63　一次函数与一元一次方程　一元一次不等式　二元一次方程的关系（图象法）

64　一次函数的实际应用

65　一次函数的综合应用

（1）一次函数与方程综合

（2）一次函数与其它函数综合

（3）一次函数与不等式的综合

（4）一次函数与几何综合

（三）反比例函数

66　反比例函数的定义

67　反比例函数解析式的确定

68　反比例函数的图象：双曲线

69　反比例函数的性质（增减性质）

70　反比例函数的实际应用

71　反比例函数的综合应用（四个方面　面积问题）

（四）二次函数

72　二次函数的定义

73　二次函数的三种表达式（一般式　顶点式　交点式）

74　二次函数解析式的确定（待定系数法）

75　二次函数的图象：抛物线　画法（五点法）

76　二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）

77　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a　b　c　△与特殊式子的符号与图象位置关系

78　求二次函数的顶点坐标　对称轴　最值

79　二次函数的交点问题

80　二次函数的对称问题

81　二次函数的最值问题（实际应用）

82　二次函数的平移问题

83　二次函数的实际应用

84　二次函数的综合应用

（1）二次函数与方程综合

（2）二次函数与其它函数综合

（3）二次函数与不等式的综合

（4）二次函数与几何综合

2.2　几何篇

1　过两点有且只有一条直线　

2　两点之间线段最短　

3　同角或等角的补角相等　

4　同角或等角的余角相等　

5　过一点有且只有一条直线和已知直线垂直　

6　直线外一点与直线上各点连接的所有线段中　垂线段最短　

7　经过直线外一点　有且只有一条直线与这条直线平行　

8　如果两条直线都和第三条直线平行　这两条直线也互相平行　

9　同位角相等　两直线平行　

10　内错角相等　两直线平行　

11　同旁内角互补　两直线行　

12　两直线平行　同位角相等　

13　两直线平行　内错角相等　

14　两直线平行　同旁内角互补　

15　三角形两边的和大于第三边　

16　三角形两边的差小于第三边　

17　三角形三个内角的和等180°　

18　直角三角形的两个锐角互余　

19　三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和　

20　三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角　

21　全等三角形的对应边　对应角相等　

22　有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等　(SAS)

23　有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)　

24　有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)　

25　有三边对应相等的两个三角形全等　(SSS)

26　有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)　

27　在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28　到一个角的两边的距离相同的点　在这个角的平分线上　

29　角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合　

30　等腰三角形的性质定理　等腰三角形的两个底角相等　

31　等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边　

32　等腰三角形的顶角平分线　底边上的中线和高互相重合　

33　等边三角形的各角都相等　并且每一个角都等于60°　

34　等腰三角形的判定定理　如果一个三角形有两个角相等　　那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)　

35　三个角都相等的三角形是等边三角形　

36　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形　

37　在直角三角形中　如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半　

38　直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半　

39　线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等　

40　和一条线段两个端点距离相等的点　在这条线段的垂直平分线上　

41　线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合　

42　关于某条直线对称的两个图形是全等形　

43　如果两个图形关于某直线对称　那么对称轴是对应点连线的垂直平分线　

44　两个图形关于某直线对称　如果它们的对应线段或延长线相交　那么交点在对称轴上　

45　如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分　那么这两个图形关于这条直线对称　

46　直角三角形两直角边a　b的平方和　等于斜边c的平方　即a+b=c　

47　如果三角形的三边长a　b　c有关系a+b=c　那么这个三角形是直角三角形　

48　四边形的内角和等于360°　

49　四边形的外角和等于360°　

50　多边形内角和定理　n边形的内角的和等于(n-2)×180°　

51　任意多边的外角和等于360°　

52　平行四边形的对角相等　

53　平行四边形的对边相等　

54　夹在两条平行线间的平行线段相等　

55　平行四边形的对角线互相平分　

56　两组对角分别相等的四边形是平行四边形　

57　两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58　对角线互相平分的四边形是平行四边形　

59　一组对边平行相等的四边形是平行四边形　

60　矩形的四个角都是直角　

61　矩形的对角线相等　

62　有三个角是直角的四边形是矩形　

63　对角线相等的平行四边形是矩形　

64　菱形的四条边都相等　

65　菱形的对角线互相垂直　并且每一条对角线平分一组对角　

66　菱形面积=对角线乘积的一半　即S=(a×b)÷2　

67　四边都相等的四边形是菱形　

68　对角线互相垂直的平行四边形是菱形　

69　正方形的四个角都是直角　四条边都相等　

70　正方形的两条对角线相等　并且互相垂直平分　每条对角线平分一组对角　

71　关于中心对称的两个图形是全等的　

72　关于中心对称的两个图形　对称点连线都经过对称中心　并且被对称中心平分　

73　如果两个图形的对应点连线都经过某一点　并且被这一　点平分　那么这两个图形关于这一点对称　

74　等腰梯形在同一底上的两个角相等　

75　等腰梯形的两条对角线相等　

76　在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形　

77　对角线相等的梯形是等腰梯形　

78　如果一组平行线在一条直线上截得的线段　

相等　那么在其他直线上截得的线段也相等　

79　经过梯形一腰的中点与底平行的直线　必平分另一腰　

80　经过三角形一边的中点与另一边平行的直线　必平分第三边　

81　三角形的中位线平行于第三边　并且等于它的一半

82　梯形的中位线平行于两底　并且等于两底和的　一半　

L=(a+b)　S=L×h　

83　如果a:b=c:d　那么ad=bc　

如果ad=bc　那么a:b=c:d　

84　如果a/b=c/d　那么

(a±b)/　b=(c±d)/d　

85　如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)　那么　

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b　

86　三条平行线截两条直线　所得的对应线段成比例　

87　平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)　所得的对应线段成比例　

88　如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例　那么这条直线平行于三角形的第三边　

89　平行于三角形的一边　并且和其他两边相交的直线　所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例　

90　平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交　所构成的三角形与原三角形相似　

91　两角对应相等　两三角形相似(ASA)　

92　直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似　

93　两边对应成比例且夹角相等　两三角形相似(SAS)　

94　三边对应成比例　两三角形相似(SSS)　

95　如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例　那么这两个直角三角形相似　

96　相似三角形对应高的比　对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比　

97　相似三角形周长的比等于相似比　

98　相似三角形面积的比等于相似比的平方　

99　任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值　任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值　

100　任意锐角的正切值等于它的余角的余切值　任意锐角的余切值等　

于它的余角的正切值　

101　圆是定点的距离等于定长的点的集合　

102　圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合　

103　圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合　

104　同圆或等圆的半径相等　

105　到定点的距离等于定长的点的轨迹　是以定点为圆心　定长为半径的圆　

106　和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹　是着条线段的垂直平分线　

107　到已知角的两边距离相等的点的轨迹　是这个角的平分线　

108　到两条平行线距离相等的点的轨迹　是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线　

109　不在同一直线上的三个点确定一条直线　

110　垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧　

111　　①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦　并且平分弦所对的两条弧　

②弦的垂直平分线经过圆心　并且平分弦所对的两条弧　

③平分弦所对的一条弧的直径　垂直平分弦　并且平分弦所对的另一条弧　

112　圆的两条平行弦所夹的弧相等　

113　圆是以圆心为对称中心的中心对称图形　0

114　在同圆或等圆中　相等的圆心角所对的弧相等　所对的弦相等　所对的弦的弦心距相等　

115　在同圆或等圆中　如果两个圆心角　两条弧　两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等　

116　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半　

117　同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中　相等的圆周角所对的弧也相等　

118　半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆盘222222周角所　

对的弦是直径　

119　如果三角形一边上的中线等于这边的一半　那么这个三角形是直角三角形　

120　圆的内接四边形的对角互补　并且任何一个外角都等于它的内对角　

121　①直线L和⊙O相交　d＜r　

②直线L和⊙O相切　d=r　

③直线L和⊙O相离　d＞r　

122　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线　

123　圆的切线垂直于经过切点的半径　

124　经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点　

125　经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心　

126　从圆外一点引圆的两条切线　它们的切线长相等　圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角　

127　圆的外切四边形的两组对边的和相等　

128　弦切角等于它所夹的弧对的圆周角　

129　如果两个弦切角所夹的弧相等　那么这两个弦切角也相等　

130　圆内的两条相交弦　被交点分成的两条线段长的积相等　

131　如果弦与直径垂直相交　那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132　从圆外一点引圆的切线和割线　切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项　

133　从圆外一点引圆的两条割线　这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等　

134　如果两个圆相切　那么切点一定在连心线上　

135　①两圆外离d＞R+r　②两圆外切　d=R+r　

③两圆相交　R-r＜d＜R+r(R＞r)　

④两圆内切　d=R-r(R＞r)　⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)　

136　相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦　

137　把圆分成n(n≥3):　

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形　

⑵经过各分点作圆的切线　以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形　

138　任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆　这两个圆是同心圆　

139　正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n　

140　正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形　

141　正n边形的面积Sn=pnrn/2　p表示正n边形的周长　

142　正三角形面积√3a/4　a表示边长　

143　如果在一个顶点周围有k个正n边形的角　由于这些角的和应为　360°　因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4　

144　弧长计算公式:L=n∏R/180　

145　扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2　

146　内公切线长=　d-(R-r)　外公切线长=　d-(R+r)

第五章　复习提纲

初中数学总复习提纲

第一章    实数

★重点★  实数的有关概念及性质，实数的运算

☆内容提要☆

一、重要概念

1．数的分类及概念

   数系表：

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）

   常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数： ①定义及表示法

②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。

4．相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n（n为自然数）

7．绝对值：①定义（两种）：

代数定义：

几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算

1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

分配律）

3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”

到“右”（如5÷×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例（略）

        附：典型例题

1． 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│

=b-a.

        2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。

第二章    代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算

☆内容提要☆

一、重要概念

          分类：

      

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

    整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

  =x,=│x│等。

4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

    条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

    合并依据：乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式（是无理数）。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;

⑵算术平方根与绝对值

①  联系：都是非负数，=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴                    (—幂，乘方运算)

①  a＞0时，＞0;②a＜0时，＞0（n是偶数），＜0（n是奇数）

⑵零指数：=1（a≠0）

  负整指数：=1/（a≠0,p是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2．分式的性质

⑴基本性质：=（m≠0）

⑵符号法则：

⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则）

4．幂的运算性质：①·=;②÷=;③=;④=;⑤

技巧：

5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6．乘法公式：（正、逆用）

            （a+b）（a-b）=

             (a±b)=

7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

9．算术根的性质：＝;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b＞0)(正用、逆用)

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A.;B.;C..

11．科学记数法：（1≤a＜10,n是整数＝

三、应用举例（略）

四、数式综合运算（略）

第三章    统计初步

★重点★

☆  内容提要☆

一、重要概念

1.总体：考察对象的全体。

2.个体：总体中每一个考察对象。

3.样本：从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量：样本中个体的数目。

5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1.样本平均数：⑴;⑵若，，…，,则(a—常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加权平均数：;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：⑴;⑵若,,…,,则（a—接近、、…、的平均数的较“整”的常数）;若、、…、较“小”较“整”，则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：

三、应用举例（略）

第四章    直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

☆  内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

    1．线段、射线、直线三者的区别与联系

    从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

    2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

    4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）

6．互为余角、互为补角及表示方法

7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成

13．公理、定理

14．逆命题

二、三角形

分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，       

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

①  高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法

6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。

7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法

⑸证线段和差关系：延结法、截余法

⑹证面积关系：将面积表示出来

三、四边形

分类表：

1．一般性质（角）

⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和：360°

2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）

4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

    5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

四、应用举例（略）

第五章    方程（组）

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

☆  内容提要☆

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

2． 分类：

二、解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc   (c≠0)

三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：

2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：

4．根与系数顶的关系：

逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。

5．常用等式：

            

五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）

⑷验根及方法

2．无理方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题

㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发)：

+=;

⑵追及问题（同时出发）：

若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则

⑶水中航行：;

2． 配料问题：溶质=溶液×浓度

              溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题：

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

㈢注意语言与解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算

如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例（略）

第六章    一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法

☆  内容提要☆

1． 定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2． 一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

3． 一元一次不等式组：

4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac<bc(c<0)

⑷（传递性）a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

7．应用举例（略）

第七章    相似形

★重点★相似三角形的判定和性质

☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。

二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。

三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。

四、证（解）题规律、辅助线

1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴

⑵

⑶

3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

五、应用举例（略）

第八章    函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。

☆  内容提要☆

一、平面直角坐标系

1．各象限内点的坐标的特点

2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有

意义。

3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数

（定义→图象→性质）

1． 正比例函数

⑴定义：y=kx(k≠0)  或y/x=k。

⑵图象：直线（过原点）

⑶性质：①k>0，…②k<0，…

2． 一次函数

⑴定义：y=kx+b(k≠0)

⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

⑶性质：①k>0,…②k<0,…

⑷图象的四种情况：

3． 二次函数

⑴定义：

       

特殊地，都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。用配方法变为，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。

4.反比例函数

⑴定义：或xy=k(k≠0)。

⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1．  用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

六、应用举例（略）

第九章    解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆  内容提要☆

一、三角函数

1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA=   ;cosA=   ;tgA=   ;ctgA= .

2．  特殊角的三角函数值：

3．  互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…

4．  三角函数值随角度变化的关系

5．查三角函数表

二、解直角三角形

1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

2． 依据：①边的关系：

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

        注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1． 俯、仰角：     2．方位角、象限角： 3．坡度：

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

四、应用举例（略）

第十章    圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆  内容提要☆

一、圆的基本性质

1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3．“三点定圆”定理

4．垂径定理及其推论

5．“等对等”定理及其推论

5．  与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…

4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

       

   

    2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角：

内角的一半：(右图)

（解Rt△OAM可求出相关元素,、等）

六、一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹

    六条基本轨迹

八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周：4、8;6、3等分

九、基本图形

   

十、重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线（连心线）

6.两圆相交公共弦