高中解析几何知识点(3100字)

发表于:2021.1.31来自:www.fanwen118.com字数:3100 手机看范文

高中数学 易学堂2014暑期培训 解析几何知识点归纳

解析几何知识点

一、基本内容

(一)直线的方程

1、 直线的方程

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2、两条直线的位置关系

两条直线的夹角,当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2

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外注意到角公式与夹角公式的区别.

(2)判断两直线是否平行,或垂直时,若两直线的斜率都存在,可用斜率的关系来判断.但若直线斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断.

(二)圆的方程

(1)圆的方程

1、 掌握圆的标准方程及一般方程,并能熟练地相互转化,一般地说,具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程.在求圆方程时,若条件与圆心有关,则一般用标准型较易,若已知圆上三点,则用一般式方便,注意运用圆的几何性质,去简化运算,有时利用圆系方程也可使解题过程简化.

2、 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标

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) 223、 在圆(x-a)2+(y-b)2=r2,若满足a2+b2 = r2条件时,能使圆过原点;满足a=0,r>0条件时,能使圆心在y轴上;满足b?r时,能使圆与x轴相切;

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能使圆与x-y=0相切;满足|a|=|b|=r条件时,圆与两坐标轴相切. ?r条件时,

4、 若圆以A(x1,y1)B(x2,y2)为直径,则利用圆周上任一点P(x,y), kPAkPB??1求出圆方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y 2)=0

(2) 直线与圆的位置关系

①在解决的问题时,一定要联系圆的几何性质,利用有关图形的几何特征,尽可能简化运算,讨论直线与圆的位置关系时,一般不用△>0,△=0,△<0,而用圆心到直线距离d<r,d=r,d>r,分别确定相关交相切,相离的位置关系.涉及到圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直的半径,计算交弦长时,要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形,当然,不失一般性弦长式

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③已知⊙O1:x2+y2 = r2,⊙O2:(x-a)2+(y -b)2=r2;⊙O3:x2+y2+Dx+Ey+F=0则以M(x0,y0)为切点的⊙O1切线方程为xx0+yy0=r2;⊙O2切线方程

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条切线,切线弦方程:xx0+yy0=r2.

(三)曲线与方程

(1)在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对x、y表示,这就是动点的坐标(x,y).当点按某种规律运动而形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量x,y存在着某种制约关系.这种制约关系反映到代数中,就是含有变量x,y方程F(x,y)=0. 曲线C和方程F(x,y)=0的这种对应关系,还必须满足两个条件:

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,这时,我们才能把这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.这时曲线与方程就成为同一关系下的两种不同表现形式曲线的性质完全反映在它的方程上;方程的性质又完全反映在它的曲线上.这样,我们便可以利用方程来研究曲线,构成解析几何中解决问题的基本思想.

高中数学 易学堂2014暑期培训 解析几何知识点归纳 曲线与方程对应应满足的两个条件,其中条件(1)说明曲线上没有坐标不满足方程的点,即曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外,也说成曲线具有纯粹性;条件(2)说明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏,也就是说曲线具有完备性.

(2)求曲线方程的五个步骤:

(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;建标

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}; 设点

(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0 列式

(4)化方程f(x,y)=0为最简方程 化简

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点.

除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,步骤(5)可以不写,也可以省略步骤(2),直接列出曲线方程.

(3)求曲线方程主要有四种方法:

(1)条件直译法:如果点运动的规律就是一些几何量的等量关系,这些条件简单、明确,易于表达,我们可以把这些关系直译成含“x,y”(或ρ,θ)的等式,我们称此为“直译法”.

(2)代入法(或利用相关点法):有时动点所满足的几何条件不易求出,但它随另一动点的运动而运动,称之为相关点.如果相关点满足的条件简明、明确,就可以用动点坐标把相关的点的坐标表示出来,再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来,就得到原动点的轨迹.

(3)几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律.

(4)参数法:有时很难直接找出动点的横纵坐标之间关系.如果借助中间参量(参数),使x,y之间的关系建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,这便可得动点的轨迹方程.

(四)圆锥曲线

(1)椭圆

(1)椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.

这里应特别注意常数大于|F1F2|因为,当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在.

(2)椭圆的标准方程

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之所以称它为标准方程,是因为它的形式最简单,这与利用对称性建立直角坐标系有关.同时,还应注意理解下列几点,

1)标准方程中的两个参数a和b,确定了椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件.

2)焦点F1,F2的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型.也就是说,知道了焦点位置,其标准方程只有一种形式,不知道焦点位置,其标准方程具有两种类型.

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3)任何一个椭圆,只需选择适当的坐标系,其方程均可以写成标准形式,当且仅当椭圆的中心在原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才具有标准形式.

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1)范围:焦点在x轴时,椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里.

2)对称性:椭圆关于x轴,y轴和原点都是对称的,这时坐标轴为椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆中心.

3)顶点:椭圆与对称轴的交点为椭圆的顶点A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,b)B2(0,-b)线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴,短轴,长分别为2a,2b.

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<1.e越接近于1,则椭圆越扁,反之,e越接近于0,椭圆越接近于圆.

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5)焦半径:椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径.

如图所示,当焦点在x轴上时,任一点到左焦点的焦半径为r1=a+ex0.

6)|A1F1|=a-c |A1F1|=a+

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c

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10)椭圆的第二定义:平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(e<1=的点的轨迹.




第二篇:专题五 解析几何知识点归纳 3300字

专题五 解析几何知识点归纳

1.直线的倾斜角与斜率

?直线的倾斜角的范围:??[0,?) ?直线的倾斜角与斜率关系:k?tan?(其中??) 2规律:当??(0,

当??(??2)时,k?0,倾斜角越大,斜率越大,反之亦成立 ?

2,?)时,k?0,倾斜角越大,斜率越大,反之亦成立

当??0时,斜率k?0,当???

2时,没有斜率

③过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线斜率公式:k?

2.直线的方程的几种形式

专题五解析几何知识点归纳

y1?y2(其中x1?x2) x1?x2 (a,0)的直线可设为x?a?my即x?my?a(其中m?特别提示:过点P

对斜率是否存在的讨论。

3.两直线的位置关系:

(1)利用斜率判断

设直线l1:y?k1x?b1和直线l2:y?k2x?b2, ?l1//l2?k1?k2且b1?b2 注:当两直线都没用斜率时也有l1//l2 1),这样设可避免k?l1?l2?k1?k2??1 注:当一条直线没有斜率,而另一条直线斜率为0时,也有l1?l2

(2)利用一般式方程的系数判断

设直线l1:A1x?B1y?C1?0和直线l2:A2x?B2y?C2?0

A1B1C1??(A2?B2?C2?0) 注:当A2?B2?C2?0时另外考虑 A2B2C2

?l1?l2?A1A2?B1B2?0(不需要讨论) ?l1//l2?

4.距离公式:

(x2,y2)的距离d??点到点的距离:点P1(x1,y1)到点P2

(x1?x2)2?(y1?y2)2 1

?点到直线的距离:点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0距离d?

|Ax0?By0?C|

A?B|C1?C2|A?B

2

2

2

2

?平行线间的距离:设l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0则d?5.圆的方程

(1)圆的标准方程:(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0) 其中圆心C(a,b),半径r (2)圆的一般方程:x2?y2?Dx?Ey?F?0(其中D2?E2?4F?0)

D2E2D2?E2?4F

?x?y?Dx?Ey?F?0?(x?)?(y?)?

224

2

2

DED2?E2?4F

?圆心C(?,?),半径r?

222

(3)直线与圆的位置关系

专题五解析几何知识点归纳

注:研究直线与圆的位置关系,常用几何法

① 圆上一点P(x0,y0)引圆C的切线有且只有一条, ...... 当切线斜率不存在时,切线方程为x?x0 当切线斜率存在时,切线方程为y?y0??

1

(x?x0) kCP

② 圆外一点P(x0,y0)引圆C的切线有两条,可先设切线方程为y?y0?k(x?x0) ... 然后利用圆心C到切线的距离d等于半径r (易忽略了斜率不存在的那条) ............③ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程为: (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0

证明:设M(x,y)为所求圆上的任意一点,?(x?x1,y?y1),?(x?x2,y?y2) 由??0易得:(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0即为所求圆的方程。

2

(4)圆与圆的位置关系

专题五解析几何知识点归纳

专题五解析几何知识点归纳

重要知识:设圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0---?,

圆C2:x?y?D2x?E2y?F2?0--?

当两圆相交时,公共弦MN所在的直线方程求法:

22将两圆方程相减,即?-?消去x,y项,得:Ax?By?C?0---?,2222

此方程就是公共弦MN所在的直线的方程, 下面解释原因:

设M(x1,y1),N(x2,y2)显然M,N符合方程?即:??Ax1?By1?C?0

?Ax2?By2?C?0

由两点M,N确定的直线有且只有一条,方程?表示的就是一条直线,故公共弦AB所在的直线的方程就是Ax?By?C?0

3

6.椭圆的定义及其性质 ?

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|MF2a?|F1F2|?2c) 1|?|MF2|?2a(其中

椭圆的性质要点:六点(4个顶点+2个焦点)、两线(2条对称轴)、两形(?椭圆上任意

一点与两焦点构成的三角形,?原点、焦点与短轴顶点构成的三角形)

x2y2

焦半径公式: 设M(x0,y0)为椭圆2?2?1(a?b?0)上的任意一点,

ab

4

则|MF1|?a?ex0, |MF2|?a-ex0(左加右减)

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5

双曲线的性质要点:

(1)六点(2个顶点+2个焦点+2个虚轴端点)、四线(2条对称轴+2条渐近线)、两形(?双曲线上任意一点与两焦点构成的三角形,?原点、实轴顶点与虚轴端点构成的三角形)

x2y2x2y2

(2)与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线可设为2?2??(??0)

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abab

专题五解析几何知识点归纳

(1)标准方程中,一次项定焦点,一次项系数符号定开口;

(2)焦点的非零坐标是一次项系数的1/4, (3)|MF|=d利用此结论, (4)抛物线y?2px(p?0)的焦点弦AB性质:设A(x1,y1),2

pp

?|AB|?|AF|?|BF|?(x1?)?(x2?)?x1?x2?p

22

p2

?x1?x2?,y1?y2??p2

4

?以AB为直径的圆与准线相切

112

?? ④

|AF||BF|p

6

9.直线与圆锥曲线的位置关系

?直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离

判断方法:

设直线l:Ax?By?C?0(A2?B2?0),圆锥曲线C:f(x,y)?0,由??Ax?By?C?0,即?f(x,y)?0

2将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,消去y得关于x的一元二次方程ax?bx?c?0

(当然,也可以消去x得关于y的一元二次方程), 通过一元二次方程的解的情况判断直线

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?圆锥曲线的弦长公式

若直线l的斜率存在,不妨设直线方程为:y?kx?b,圆锥曲线C:f(x,y)?0,

联立方程组??y?kx?m2,消去y得关于x的一元二次方程ax?bx?c?0, ?f(x,y)?0

2设直线l与曲线C的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程ax?bx?c?0的两根,

记??b2?4ac

(1)由韦达定定理可得:x1?x2??b,ax1?x2?c a

(2)弦长|AB|??k2|x1?x2|??k2(x1?x2)2?4x1x2??k2

若消去x,得关于y的一元二次方程ay2?by?c?0 ? |a|

则|AB|??1|y1?y2| 2k

??12(y?y)?4y1y2 122k

?1?

1? 2k|a|7

10.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

?直线l1,l2的倾斜角互补?k1?k2?0 ?OP?OQ(O为原点)???0?x1x2?y1y2?0(其中P(x1,y1),Q(x2,y2)) ?在?ABC中,给出?BAC?900,等于己知??0

在?ABC中,给出?BAC为锐角,等于己知??0

在?ABC中,给出?BAC为钝角,等于己知AB?AC?0

专题五解析几何知识点归纳

专题五解析几何知识点归纳

???④给出??MP,等于己知MP是?AMB的平分线 ⑤在平行四边形ABCD中,给出(AB?AD)?(AB?AD)?0,等于已知ABCD是菱形;

⑥在平行四边形ABCD中,给出|AB?AD|?|AB?AD|,等于已知ABCD是矩形;

⑦在?ABC中,给出OA?OB?OC,等于已知O是?ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

⑧在?ABC中,给出OA?OB?OC?0,等于已知O是?ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);

⑨在?ABC中,给出?????,等于已知O是?ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

⑩在?ABC中,给出??

心;

(11)在?ABC中,给出AD?

222?(ABAC?)(??R?)等于已知通过?ABC的内|AB||AC|1AB?AC,等于已知D为BC边的中点; 2??8

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