解析几何

考点一、轨迹方程

求曲线方程的步骤:1.建系;2.列方程(即找等量关系,并将其转化为关于待求曲线上的任意一点的坐标所满足的等式)并化简;3.去杂补漏(一般依据有:三角形三顶点不能在一条直线上;变形过程是否扩大或缩小了变量的范围;曲线内部的点不能超出曲线等).

注:建立等式的方法有:1.直接法;2.待定系数法;3.相关点法.4.参数法;5.几何法;

练习1. 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，延长P’P至M，使P’M=2 P’P，求点M的轨迹。 

考点二、直线和圆

(一)直线方程⑴点斜式:          ;⑵斜截式：           ;⑶截距式:          ；          ⑷两点式：                  ；⑸一般式：                ，（A，B不全为0）。

(二)两条直线的位置关系：

(三)几个公式(1) 在l上不同的点P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂).则直线l的斜率为            ;

(2)两点间的距离公式：已知两点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则|AB|=                    ;

(3)点P（x₀,y₀）到直线Ax+By+C=0的距离：                       ；

(4)两条平行线Ax+By+C₁=0与 Ax+By+C₂=0的距离是                       ；

(四)圆的方程：

⑴标准方程：                     （r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为         ，半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为             .

⑵一般方程：                          （

注：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D²+E²－4AF>0；

其圆心坐标为            ，半径为                .当=0时，方程表示一个点；当＜0时，方程不表示任何图形.

(3)圆的参数方程:.

(五)点、直线与圆的位置关系：

⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）

①点在圆      ；②点在圆       ；③点在圆      。

点和圆的位置关系：给定点及圆.

①在圆内②在圆上

③在圆外

⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）

①相     ；②相     ；③相     。

⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）

①       ；②     ；③                相交；

④          ；⑤         。

练习2（09安徽）直线l过点（-1，2）且与2x-3y-7=0垂直,则l方程是      

3.已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程              ． 

4.（09全国Ⅱ文）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于         25/4

5.已知点P（5，0）和⊙O：x²+y²=16,自P作⊙O的切线，切线的方程为   

考点三、圆锥曲线定义、标准方程、性质及其综合应用

附注：等轴双曲线： 称为等轴双曲线,其渐近线方程为      ,离心率      .

注:通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.

(一)    求圆锥曲线的标准方程：

考点解析——椭圆或双曲线的标准方程：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.四个主要元素a、b、c、e中，有=、e=c/a两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件。

练习6.过点(3,-2)且与椭圆4x²+9y²=36有相同焦点的椭圆方程是( A )

A．    B．    C．    D．

7.（09浙江）（15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，求抛物线方程和A的坐标；

(二)利用圆锥曲线的定义解题

练习8.双曲线上一点P,F₁,F₂为左右焦点,且|PF₂|=17，则|PF₁|=（ A）

（A）33             （B）1          （C）33或1         （D）34

9. F₁、F₂是椭圆＋=1的两个焦点，AB是过点F₁的弦，则DABF₂的周长是( C )

(A)10          (B)12           (C)20           (D)不能确定翰林汇

10.设P为椭圆上的点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂＝，则△PF₁F₂的面积等于 (  C )  (A)16/3  (B)) (C))  (D)16

11.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ B）

A．17/16  B．15/16 C．7/8   D．0    B

(三)熟练运用圆锥曲线的几何性质解题：

12.F₁、F₂是椭圆两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是      

13.与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是(C)（A）8    （B）4      （C）2   （D）1

(四)综合问题

综合1.直线与二次曲线交点的等价转化

(1）只有一个交点的转化

直线与椭圆只有一个公共点直线与椭圆相切消元所得方程为一元二次方程，且⊿=0

(2）无交点与有2个交点的转化

直线与二次曲线有2个交点     0；

直线与二次曲线有无交点     0；

练习14.直线y=kx+3与椭圆x²+4y²=16,只有一个公共点，则k的取值集合是   

变式1:直线y=kx+1 与双曲线x²-4y²=16,只有一个公共点，则k的取值集合是   

变式2：已知直线y=kx＋2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是

( C )  (A) (-)    (B)(0，)  (C)()  (D)()翰林汇

综合二.直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长                                 =                                  

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.

练习15.直线y = x－1被双曲线2x²－y² = 3所截得弦的中点坐标是_(-1,-2)_______，弦长是_______ 

综合三.中点弦问题

点差法——具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数——差分法(点差法).（一般适用于与弦的中点和斜率有关时用之，一种特殊应用是曲线上存在两点关于直线对称的问题）

练习16.一直线与椭圆4x²＋9y²=36相交于两点A、B，弦AB的中点坐标是(1，1)，则直线AB的方程是___  __4x+9y﹣13=0

第二篇：解析几何基础知识