高二数学选修2－1知识点

第一章  常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.

假命题：判断为假的语句.

2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.

若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.

若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.

6、四种命题的真假性：

四种命题的真假性之间的关系：

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若，则是的充分条件，是的必要条件．

若，则是的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．

当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．

用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．

当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．

对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．

若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．

含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．

含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．

10、全称命题：，，它的否定：，．全称命题的否定是特称命题．

第二章  圆锥曲线与方程

11、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

12、椭圆的几何性质：

13、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．

14、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．

18、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．

20、焦半径公式：

若点在抛物线上，焦点为，则；

若点在抛物线上，焦点为，则；

若点在抛物线上，焦点为，则；

若点在抛物线上，焦点为，则．

21、抛物线的几何性质：

第三章  空间向量与立体几何

22、空间向量的概念：

在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

向量的大小称为向量的模（或长度），记作．

模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．

与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．

方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．

24、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．

25、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：；结合律：．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

29、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．

30、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．

31、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．

32、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．

33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．

34、若，为非零向量，为单位向量，则有；

；，，；

；．

35、向量数乘积的运算律：；；

．

36、若，，是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，，为向量在，，上的分量．

37、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．

38、若三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是

．这个集合可看作是由向量，，生成的，

称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

39、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．

40、设，，则．

．

．

．

若、为非零向量，则．

若，则．

．

．

，，则．

41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．

42、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点．

43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．

44、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．

45、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则

，．

46、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则

，．

47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则

，．

48、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有

．

49、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．

50、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．

51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

52、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．

53、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．

第二篇：高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
　注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。

四．处理排列组合应用题
1.①明确要完成的是一件什么事（审题）  ②有序还是无序   ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略
（1）两种思路：
     ①直接法：
     ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
           注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；
　(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公
　　益广告，则共有          种不同的播放方式（结果用数值表示）.  
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．
例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
解一：间接法：即
解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

（3）相邻问题：捆邦法：
对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
（4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
（5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总
       的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元
       素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；
例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少
   种排法？
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，
       只有1种排法，故共有·1=840种.
（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
　　对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排  
    列，最后再进行“小团体”内部的排列。
（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
（8）数字问题（组成无重复数字的整数）
①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。
　②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
　③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
　④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。
　⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
　⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。
　⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
4.组合应用题：
（1）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种.
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有种.
（2）“含”与“不含” 用间接排除法或分类法:
2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛
（1）如果4人中男生和女生各选2人，有几种选法；
（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有几种选法；
（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1人在内，有几种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有几种选法

5．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
6．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。
7．隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题
五． 二项式定理

3.二项式定理的应用
求二项展开式中的任何一项，特别是常数项：变量的指数为0、有理项：指数为整数；
证明整除或求余数；
利用赋值法证明某些组合恒等式；
近似计算。
4.二项式系数的性质：

5．区分
（1）某一项的二项式系数与系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。
展开式中的系数就是二项式系数。
（2）二项式系数最大项与系数最大项
①二项式系数最大项是中间项
②系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组求k。再求第k+1项值。
③系数的绝对值最大的项
二项展开式的系数绝对值最大项的求法，设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值，即由求r
注意：二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先求系数的绝对值最大项第r+1项，然后再求第r+1项的符号，若这一项的系数符号为正，则它为展开式中系数最大的项；若这一项的系数符号为负，则它为展开式中系数最小的项
（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。


注意：（1）二项展开式的各项系数绝对值的和相当于的各项系数的和。即令原式中的x=-1即可。
　　  （2）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？
六．事件分类

七．对某一事件概率的求法：

八.离散型随机变量
1.在的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
2.离散型随机变量的分布列
　一般的,设离散型随机变量X可能取的值为
X取每一个值(i=1,2,）的概率 ，
　则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
　性质：
            ③ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
　公式：期望或平均数、均值 E(X)＝
             方差:
说明（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
　　  (2)的算术平方根为随机变量X的标准差，
        (3)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。
       (4)性质：
4．二项分布：在n次独立重复试验中，一次试验中某事件A发生的概率是p, 某事件A发生的次数为X，
　　则在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(X=k)=
X的分布列为

此时称ξ服从二项分布，记作X～B(n,p).
若X～B(n,p)，则 ,