高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性： ； ；

3. 集合的表示

? 注意：常用数集记法：非负整数集（自然数集）

正整数集 整数集 有理数集实数

集

二、集合间的基本关系

1.如果A是B的子集则： 或 2．如果A=B

则： 。3如果A是B的真子集则：

3. 不含任何元素的集合叫做 ，记为

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真

子集。(分类讨论时别忘了空集)

? 有n个元素的集合，含有

三、集合的运算 交集

并集

补集

四、函数的有关概念

1．函数的概念：

．

三要素： ； ；

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的

定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母 ；(2)偶次方根的被开方

数 ； (3)对数式的真数必须 ；(4)指数、

对数式的底必须 零且不等于1 。5)指数为零底不等

于 ，

(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)图像法

? ②

4．映射与函数的关系：

5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式

的函数。（求值、画图像、写解析式）

五．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数、减函数 注意：函数的单调性是函数的局部

性质，必须指明区间；

(2).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法（注意写完整步骤）：

(B)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性

与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其

规律：“同增异减”

牢记基本初等函数的单调区间

2．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

（2）奇函数 利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的 ，并判断其是否关于原点对○

称；

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论： ○

若f(x)是偶函数则: ；

若f(x)是奇函数则: ．

3．函数最大（小）值

1 利用二次函数的性质求函数的最大（小）值，看对称轴 ○

2 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1根式的概念 ．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作

0?0。

当n是奇数时，nan?n是偶数时，nan?

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定： ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1） （2） （3）

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做

指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．（注意底

数的范围）

（一）对数

1．对数的概念： ? 说明：○1 注意底数的限制 ；○2

； ax?N?logaN?x（指数式与对数式的互化）

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数 ； ○

2自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数 ． ○

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0（注意使用条件），那么：

1 loga(M〃N)? ○

M2 loga?○N

3 logaMn?n○

注意：换底公式

（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．

利用换底公式推导下面的结论

1n（1）logabn?logab；（2）logab?． mlogba

（三）对数函数

1、对数函数的概念：函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

m

1、幂函数定义：一般地，形如 (a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数．2、幂函数性质

四、 与 互为反函数，图像关于 对称

第三章 函数的应用

1．方程的根与函数的零点

方程f(x)?0的 ?函数y?f(x)的图象与x轴有

交点的 ?函数y?f(x)的 （转化）

2、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函○

数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

3二分法（思想及使用条件） ○

3、y?f(x)在【a，b】上○1图像 ○2 则在（a，b）内必有零点。

4、四种不同增长模型及特点 ；

第二篇：高一数学必修1一、二章知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.  集合的含义

2.  集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2)  元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)  元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)  用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)  集合的表示方法：列举法与描述法。

u 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R

1）    列举法：{a,b,c……}

2）  描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3＞2} ,{x| x-3＞2}

3）    语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）    Venn图:

4、集合的分类：

(1)    有限集   含有有限个元素的集合

(2)    无限集   含有无限个元素的集合

(3)    空集     不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B  (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC

④ 如果AÍB  同时 BÍA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

   (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零， 

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

u 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、                   描点法：

B、                   图象变换法

常用变换方法有三种

1)  平移变换

2)  伸缩变换

3)  对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数  

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数。

  

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x12；

2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

2确定f(－x)与f(x)的关系；

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)  凑配法

2)  待定系数法

3)  换元法

4)  消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2 利用图象求函数的最大（小）值

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中＞1，且∈*．

u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·                            ；

（2）                                          ；

（3）                             ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）

说明：1 注意底数的限制，且；

2 ；

3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数；

2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

u 指数式与对数式的互化

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

1 ·＋；

2 －；

3   ．

注意：换底公式

（，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质

：

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．