新课标人教版高中数学(必修1)知识点导学

一、集合:1.集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,每一个对象叫集合的一个元素。2.元素的三个特性:(1)确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定集合的元素,(2)互异性:任何一个给定的集合中,任意两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素,(3)无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,判断两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3.集合的表示:①列举法:把集合中的元素一一列举出来,用一个大括号括起来,元素与元素之间用逗号隔开,②描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法,①语言描述法:如:{不是直角三角形的三角形},②数学式子描述法:如:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x| x-3>2}。

4.集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合,(2)无限集:含有无限个元素的集合,(3)空集:不含任何元素的集合,

2如:{x|x=-5}。5.集合间的基本关系:(1)包含关系(子集):A?B有两种可能:①A是B的一部分,②A与B是同一集合,集合 ?B或B??A,(2)相等关系(若5≥5且5≤5，则5=5),如:A={x|x2-1=0}与 A不包含于集合B或集合B不包含集合A,记作A?

B={-1,1}相等,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,就说集合A等于集合B,即:A=B,①任何一个集合是它本身的子集,A?A,②真子集:如果A?B且A?B,就说集合A是 集合B的真子集,记作AB或BA,③若A?B且B?C,则A?C,④若A?B且B?A,则A=B,(3)不含任何元素的集合叫 空集,记为?,规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。6.集合的运算:(1)交集:一般地,由所有属于 A且属于B的元素所组成的集合叫A与B的交集,记作A∩B(读作A交B),即A∩B={x|x∈A且x∈B},(2)并集:一般地,由 所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫A与B的并集,记作A∪B(读作A并B),即A∪B={x|x∈A或x∈B},(3)交集与并集的性质:A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪?=A,A∪B= B∪A,(4)全集与补集:①补集:设S是一个集合,A是S的一个子集,即A?S,由S中所有不属于A的元素组成的集合叫S中子集A的补集(余集或差集),记作:CSA,即CSA ={x?x?S且x?A},②全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,通常用U来表示,③性质:CU(C UA)=A,(CUA)∩A=?,(CUA)∪A=U。

二、函数概念及其性质:1.函数的概念:设A,B是两个非空数集,按照某个确定的对应关系f,使得对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)(x∈A),x叫自变量,x的取值范围A叫函数的定义域,与x的值相对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域,(1)若只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域是指能使这个式子有意义的实数的集合,(2)函数的定义域,值域要写成集合或区间的形式,(3)能使函数解析式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,(4)求函数定义域的主要依据:①分式的分母不为零,②偶次方根的被开方数大于或等于零,③对数式的真数大于零,④指数和对数式的底数大于0且不等于1,⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合,⑥指数为零底数不等于0,⑦实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义,(5)函数三要素:定义域,对应关系和值域,①构成函数的三个要素是定义域,对应关系和值域,值域是由定义域和对应关系决定的,两个函数的定义域和对应关系完全一致,这两个函数是同一个函数,②两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关,(6)值域:①函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域,②熟练掌握一次函数,二次函数,指数函数,对数函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。2.函数图象:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x)(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫函数y=f(x)(x∈A)的图象,C上每一个点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),以满足y=f(x)的每一组有序实数对x,y为坐标的点(x,y)均在C上,记为C={ P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。3.区间:(1)区间的分类:开区间,闭区间,半开半闭区间,(2)无穷区间,(3)区间的数轴表示。4.映射:一般地,设A,B是两个非空集合,如果按照某一个确定的对应法则f,使得对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射,记作f:A?B,给定一个集合A到B的映射,a∈A,b∈B且元素a和元素b对应,元素b叫元素a的象,元素a叫元素b的原象,函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A,B及对应法则f是确定的,②对应法则具有方向性,强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的,③映射f:A→B应满足:(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个,(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析式的函数,在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的解析式,分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写出函数的几种不同解析式并用一个左大括号括起来,分别注明各部分自变量的取值范围,(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数,(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。6.复合函数:若y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A),称f,g的复合x?1函数,如:y?2,y?log22x?1等。7.函数的单调性:(1)增减性:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),或当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,区间D称为y=f(x)的单调增区间,如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),或当x1>x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数,区间D称为y=f(x)的单调减区间,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质,(2)图象特点:函数y=f(x)在某个区间内是增函数或减函数,函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的(从右到左是下降的),减函数的图象从左到右是下降的(从右到左是上升的),(3)函数单调区间与单调性的判定方法:A.定义法:①任取x1,x2∈D且x1<x2,②作差f(x1)－f(x2),③变形(通常是因式分解或配方),④定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负),⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性),B.图象法:从图象上看升降,C.复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,规律如下表,一起写成其并集。8.函数的奇偶性:(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(x)叫偶函数,(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),f(x)叫奇函数,①函数是奇函数或是偶函数称为函

数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数,②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称),(3) 的图象关于原点对称,利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称,②确定f(-x)与f(x)的关系,③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数,若f(-x)=-f(x)或

f(-x)＋f(x)= 0,则f(x)是奇函数,函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数,若对称再根据定义判定,有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定,利用定理或借助函数的图象也可以判定函数的奇偶性。9.函数解析式:(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,求两个变量之间的函数关系时,一是求出它们之间的对应法则,二是求出函数的定义域,(2)求函数解析式的主要方法:待定系数法,换元法,消参法等,已知函数解析式的构造时,可用待定系数法,已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围,已知表达式较简单时,也可用凑配法,若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)。10.函数最大(小)值:①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值,②利用图象求函数的最大(小)值,③利用函数单调性判断函数的最大(小)值:若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b),若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。

n

三、基本初等函数:(一)指数函数:1.指数与指数幂:(1)根式的概念:一般地,如果x?a,那么x叫a的次方根,n>1且 n∈N*,当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,a的n次方根用符号a表示,式子 a叫根式,n叫根指数,a叫被开方数,当n是偶数时,正数的n次方根有两个,它们是互为相反数,正数a的正的n次方 根用符号a表示,负的n次方根用符号-a表示,正的n次方根与负的n次方根可以合并成±a(a>0),负数没有偶次

方根,0的任何次方根都是0,记作0?0。当n是奇数时,an?a,当n

是偶数时?|a|?幂

:a?a?0,m,n?N,n?1),a

m

a(a?0)

?a(a?0),(2)分数指数

*

? mn

?

1a

mn

?

a?0,m,n?N*,n?1),零的正分数指数幂为0,零的负分数指数

r

s

r?s

幂没有意义,整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,(3)实数指数幂的运算性质:(1)a?a?a(a?0,r,s?R), (2)(ar)s?ars(a?0,r,s?R),(3)(a?b)r?ar?br(a?0,b?0,r?R)。2.指数函数及其性质:(1)指数函数的概念:

x(二)对数函数:1.对数:(1)一般地,如果a?N(a?0,a?1),那么数叫做以为底N的对数,记作x?logaN(叫底

数,N叫真数,logaN叫对数式),ax?N?logaN?x,两个重要对数:①常用对数:以10为底的对数lgN,②自然对

?8为底的对数lnN,(2)对数的运算性质:①loga(M?N)?logaM?logaN,②数:以无理数e?2.7182

log

aN?loga?loga

MN

,③logaMn?nlogaM(n?R),④换底公式:logab?

logba

logcblogca

(a?0且a?1,c?0且

n

c?1,b?0),(1)logambn?logab,(2)logab?

,2.对数函数:(1)对数函数的概念:函数y?logax(a?0且a?1)

叫对数函数,x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定

x

义,y

?2logx,y?log都不是对数函数,只能称其为对数型函数,(2)对数函数的图像和性质:

图象都过定点(1,1),(2)当??0时,图象过原点且在区间[0,??)上是增函数,当??1时,图象下凸,当0???1时,图象上凸,(3)当??0时,图象在区间(0,??)上是减函数,在第一象限,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限逼近x轴正半轴。

四、函数应用(函数的零点):1.使f(x)?0成立的实数x叫函数y?f(x)(x?D)的零点,2.函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0的实数根,函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点,3.求函数y?f(x)的零点:①代数法:求方程f(x)?0的实根,②几何法:对不能用求根公式的方程,可将它与函数y?f(x)的图象联系起来,用函数的性质找零点。4.二次函数的零点:函数y?ax2?bx?c(a?0),当△＞０时,方程ax2?bx?c?0有两个不等实根,图象与x轴有两个交点，函数有两个零点,

2

当△＝０时,方程ax?bx?c?0有两个相等实根(二重根),图象与x轴有一个交点,函数有一个二重或二阶零点,当△

2

＜０时,方程ax?bx?c?0无实根,图象与x轴无交点,函数无零点。

第二篇：高中数学人教版必修3知识点总结

高一数学必修3公式总结以及例题

§1 算法初步

u秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：

例题：秦九韶算法计算多项式

  答案：  6  ， 6

        

v理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…       (algorithm)

     1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.

     2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构

w流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

  注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。

x算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构

                      

                            

                                     

                                            直到型循环            当型循环

Ⅰ.顺序结构（sequence  structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。    

y基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo  code），且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用 ，也可以用   ;   表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ. 赋值语句（assignment statement）：用  表示， 如： ，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.

一般格式：“” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “”，但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。

注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3

   都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a = b = c = 2  , a , b ,

c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.

例题：将x和y的值交换

  ,  同样的如果交换三个变量x,y,z的值 :     

Ⅱ.  输入语句（input statement）:  Read  a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b

输出语句（out   statement）：Print x ,y  表示一次输出运算结果x ,y

注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “  ； ”隔开.

例题：当x等于5时，Print “x = ”; x  在屏幕上输出的结果是   x = 5

Ⅲ.条件语句（conditional statement）：

1. 行If语句:   If  A  Then  B             注：没有 End   If   

    2. 块If语句：    注：①不要忘记结束语句End   If  ，当有If语句嵌套使用时，有几个If ，就必须要有几个End  If  ②. Else  If  是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else  If 后面也要有End   If   ③  注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④  为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

 

例题:  用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

 

 

                                      或者

                                     注：1.  同样的你可以写出求三个数中最小的数。

                                         2.  也可以类似的求出四个数中最小、大的数

                                        

Ⅳ.循环语句（ cycle statement）：u 当事先知道循环次数时用  For 循环 ，即使是 N次也是已知次数的循环 v  当循环次数不确定时用While循环 w  Do  循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.

 

说明：1. While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.  2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写  3.While循环和Do循环可以相互转化 4.Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.

例题：（见课本）

          

u                                   v                      w

     

x                                       y

   

z                             {

颜老师友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！