高中数学人教A版必修三第一章算法初步知识点总结及典型例题分析

时间:2024.4.1

新课标人教A版必修3第一章

算法初步 知识点总结及典型题归类解析

一、算法设计

(一)基本知识点

算法的描述一般有三种方法:自然语言、算法框图(也叫流程图)和程序语言.

(二)典型习题举例

1、例1 下列关于算法的说法正确的有________个.(  )

求解某一类问题的算法是惟一的.

算法必须在有限步操作之后停止.

算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊.

算法执行后一定产生确定的结果.

A.1       B.2    

C.3       D.4 

解析:C由算法特性知,算法具有有穷性、确定性、可输出性,故②③④均对,选C.

2.例2 已知两个单元分别存放了变量xy,下面描述交换这两个变量的值的算法中正确的为(  )

AS1 把x的值给yS2 把y的值给x.

BS1 把x的值给tS2 把t的值给yS3 把y的值给x.

CS1 把x的值给tS2 把y的值给xS3 把t的值给y.

DS1 把y的值给xS2 把x的值给tS3 把t的值给y.

解析:C  为了达到交换的目的,需要一个中间变量t,通过t使两个变量来交换.

S1 先将x的值赋给t(这时存放x的单元可以再利用);

S2 再将y的值赋给x(这时存放y的单元可以再利用);

S3 最后把t的值赋给y,两个变量xy的值便完成了交换.

方法小结: 这好比有一碗酱油和一碗醋.我们要把这两碗盛装的物品交换过来,需要一个空碗(即t);先把醋(或酱油)倒入空碗,再把酱油(或醋)倒入原来盛醋(或酱油)的碗,最后把倒入空碗中的醋(或酱油)倒入原来盛酱油(或醋)的碗,就完成了交换.

3.例3 请说出下面算法要解决的问题________.

第一步,输入三个数,并分别用abc表示;

第二步,比较ab的大小,如果a<b,则交换ab的值;

第三步,比较ac的大小,如果a<c,则交换ac的值;

第四步,比较bc的大小,如果b<c,则交换bc的值;

第五步,输出abc.

答: 输入三个数abc,并按从大到小顺序输出.

解析:第一步是给abc赋值.

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c,∴a>b>c.

第五步运行后,显示abc的值,且从大到小排

二、算法框图及其画法

(一)基本知识点

 (1)对于比较简单的算法框图,可以通过对问题的分析,建立相应的数学模型或过程模型,进而选择顺序结构、选择结构、循环结构中的一种或几种画出算法框图即可.

 (3)顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构;条件结构主要用于一些需要进行条件判断的算法,如分段函数求值、大小关系判断等;循环结构主要用于一些有规律的重复计算,如累加求和、累乘求积等。

(二)典型习题举例

1、例1如图1所示的算法框图中,最后一个输出的数是      

解析:此算法框图为循环结构,

分析框图易知该算法的功能是

输出2010以内除以3余2的正整数,

即输出的数分别为2,5,…,2006,2009,

从而可得最后一个输出的数是2009.故填2009.

2、例2. 如果执行图1的框图,输入N=5,则输出的数等于(   )

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方法点拨:该框图含有循环结构,弄清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件,算法功能是求和.

解析:由程序框图可知,该程序框图的功能计算

现在输入的N=5,所以满足条件,故选D.

 


小结:本题是程序框图与数学计算的综合,

在计算

可以让

也可以让

3、例3  将两个数交换,使,下面语句正确一组是 (    )

  A               B                  C             D   

解:B   先把的值赋给中间变量,这样

再把的值赋给变量,这样

的值赋给变量,这样

4、例4

(1)流程图(1)的算法功能是__________. 

 (2)流程图(2)的算法功能是____________.

(3)流程图(3)的算法功能是__________.

  (4)流程图(4)的算法功能是___________.

解析:(1)求输入的两个实数ab的和.

(2)求以输入的两个正数ab为直角边长的直角三角形斜边的长.

(3)求输入两数ab的差的绝对值.

(4)求函数f(x)=|x-3|+1,

即分段函数f(x)=的函数值.

5、例5  已知函数,写出求该函数函数值的算法,并画出算法框图.

分析:函数是分段函数,需根据x的不同取值选择不同的解析式,故应采用选择结构.

解:算法如下:第一步:输入;

文本框:  第二步,如果,那么使,输出,否则执行第三步;

第三步,如果,那么使,输出,否则执行第四步;

第四步,;

第五步,输出

相应的算法框图如图2所示.

学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!6、例6.  已知函数

右图表示的是给定x的值,求其对应的函数值y的程序框

图,①处应填写          ;②处应填写         

方法点拨:分清两段的函数解析式与各自条件的对应关系.

解析:由可知,

时,对应的函数   解析式为

所以①处应填写

则②处应填写.

规律总结:对程序框图的考查是新课标高考热点之一.不管含什么结构的程序框图,首先要弄清算法功能.对于循环结构,要分清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件,特别要注意循环终止时各变量的值.对条件结构,要善于判断,分清在什么条件下流向哪里.“求输出”就是求算法的运行结果,求“填写”就是在把握整个算法流程的基础上补全所缺算法流程,需要一定的判断及逆向想象能力.

(三)巩固练习

1.现代化信息时代,为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则如图1所示,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,解密得到的明文应为(       )

A.4,6,1,7    B.7,6,1,4    C.6,4,1,7    D.1,6,4,7

2  时,下面的程序段输出的结果是(   )

IF   THEN

 

else

PRINT y

A      B      C      D 

解:D   该程序揭示的是分段函数的对应法则

三、程序设计

(一)基本知识点

 (1)算法设计和算法框图是程序设计的基础,我们可根据算法的三种逻辑结构,对应于五种不同功能的基本语句,进而完成程序设计.

 (3)实际问题的程序设计一般是先对问题进行认真的分析,设计出合理的算法,然后将算法用框图表示出来,最后根据算法框图和基本语句写出程序.

(3)忽视各种语句的格式要求易致错.如:条件语句必须以If语句开始,以End If语句结束,而在多个条件语句嵌套或并列使用时,往往会因粗心漏写部分End If,从而出错.

(4)忽视变量的取值范围易致错.写循环语句时,要特别注意循环变量、计数变量与累计变量的取值范围,只要其中一个变量的取值有误,程序就是错误的.如:若计数变量范围有误,则往往会出现多一次或少一次循环的错误.

(二)典型习题举例

1、例1.下列所给的式子,前一个是算术式子,后一个是QBASIC语言中的对应式子,正确的有________个.(  )

e5e^5      ②3:3^3/4       ③lg7:LOG10(7)     

:SQR(3)      ⑤|x-3|:ABS(x-3)

A.1      B.2    C.3      D.4

解析:C   在QBASIC语言中幂底数为e时有专用符号exp( ),如ex表达为exp(x).∴e5应为exp(5);

当幂指数为分式等代数式时,应加括号,乘方优先于乘除,∴3应为3^(3/4);

常用对数的指令为LOG10( ),故(3)正确;④⑤都正确,∴选C.

2、例2.下列程序语言中表达式的值正确的是(  )

A.6*SQR(4)+3^2*2=154

B.3*(5+4)+SQR(9)^2=17

C.[5+3*(12-7)]/4=5

D.(2+3)*5-4+2*3*SQR(4)^2=72

解析:选C.    A中,6+32×2=12+18=30;

B中,3×9+()2=36;

C中,[5+3(12-7)]÷4=(5+15)÷4=5;

D中,5×5-4+2×3×()2=45.

3、例3 执行下面语句的过程中,执行循环体的次数是(    )

i=1

Do

      i=i+1

      i=i*i

Loop While i<10

输出 i.

A.2     B.0    C.3     D.1

分析:该程序的执行过程是:第一次执行循环体:i=1,i=i+1=2,i=i*i=4,i=4<10成立;

第二次执行循环体:i=4,i=i+1=5,i=i*i=25,i=25<10不成立,退出循环,

故共执行循环体2.A.

    小结:此类题目主要考查同学们对算法语句的阅读能力,只要按部就班地将程序运行下去,问题便自然获解.

4、例4.(2010·辽宁锦州)下面的程序框图,输出的结果为(  )

A.1            B.2      C.4         D.16

解析:D  运行过程为:a=1≤3→b=21=2,a=1+1=2,

a=2≤3成立→b=22=4,a=2+1=3,

a=3≤3成立→b=24=16,a=3+1=4,

此时a≤3不成立,输出b=16.

5、例5.下面程序运行后输出结果是3,则输入的x值一定是(  )

INPUT x

IF x>0 THEN

yx

ELSE

y=-x

END IF

PRINT y

END

A.3        B.-3          C.3或-3        D.0

 解析:C  该程序语句是求函数y=|x|的函数值,∵y=3,∴x=±3.

6、例6(1)下列程序语句的算法功能是(  )

INPUT abc

IF a<b THEN

ab

END IF

IF a<c THEN

ac

END IF

PRINT a

END

A.输出abc三个数中的最大数

B.输出abc三个数中的最小数

C.将abc按从小到大排列

D.将abc按从大到小排列

解析 A  由程序语句可知,当比较ab的大小后,选择较大的数赋给a

当比较ac的大小后,选择较大的数赋给a

最后打印a,所以此程序的作用是输出abc中最大的数.

小结:将程序中a<ba<c改为a>ba>c,则结果是输出abc中的最小值.

 (三)巩固练习

1.写出下列程序运行的结果

输出结果为________.   输出结果为________.

 解析:(1)执行第三、四句后,a=4,b=-2,执行第五句后,a=4×(-2)4×=128,故输出a的值为128;

(2)执行第三句后,c=-1,执行第四句后,b=0,故输出a=1,b=0,c=-1;

(3)第一句输入a值2,第二句fa2-1=3,第三句g=2a+3=7,第四句fg2-1=48,第五句g=2f+3=99,最后输出f=48,g=99.

(4)第一句输入a=10,b=20,c=30,第二句输出a=10,b=20,c=30,第三句a=20,第四句b=30,第五句c=20,第六句输出a=20,b=30,c=20.

2  时,下面的程序段结果是 (    )

A      B      C      D 

解:C  

四、其他常见题型

(一)进位制

1.以下各数中有可能是五进制数的为(  )

A.55  B.106  C.732  D.2134

 解析:D    五进制数只需0,1,2,3,4五个数字.

2  把“五进制”数转化为“十进制”数,再把它转化为“八进制”数 

解:

           

3、下列各数中最小的数为(  )

A.101011(2)       B.1210(3)

C.110(8)          D.68(12)

 解析: A 101011(2)=1×25+1×23+1×2+1=43,1210(3)=1×33+2×32+1×3=48,110(8)=1×82+1×8=72,68(12)=6×12+8=80,故选A.

4.下列二进制数中最大的数是(  )

A.111(2)  B.1001(2)  C.110(2)  D.101(2)

 解析: B 据k进制数的位置原则知,四位数一定大于三位数,故选B.也可以先把它化为十进制数,再比较.

小结:相同进位制数的大小可以看位数,按“位值”原则比较大小,如132(4)>123(4),101(2)>11(2),但不同进位制的数之间比较大小,不适用“位值”原则,一般都是先化为十进制数再比较大小.

5.二进制数算式1010(2)+10(2)的值是(  )

A.1011(2)             B.1100(2)

C.1101(2)             D.1000(2)

 解析: B 1010(2)+10(2)=(1×23+0×22+1×21+0×20)+(1×21+0×20)=12=1100(2),故选B.

小结: 可以按进位制原则,直接象通常的十进制加法一样计算.注意k进制是满k进1.

6.若10y1(2)x02(3),求数字xy的值及与此两数等值的十进制数.

分析: 由二进制及三进制可知,y∈{0,1},x∈{1,2},将二进制数和三进制数都转化为十进制数,再由两数相等及xy的取值范围可得出xy的值.

解析: ∵10y1(2)x02(3)

∴1×23+0×22y×2+1=x×32+0×3+2,

将上式整理得9x-2y=7,

由进位制的性质知,

x∈{1,2}y∈{0,1},

y=0时,x(舍),

y=1时,x=1.

xy=1,已知数为102(3)=1011(2)

与它们相等的十进制数为

1×32+0×3+2=11.

(二).秦九韶算法

1、若用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5x2+2当x=3时的值,则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为(  )

A.4,2        B.5,3      C.5,2      D.6,2

解析:选C.f(x)=4x5x2+2=((((4x)x)x-1)x)x+2,所以需要做5次乘法运算和2次加减运算.

2.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2当x=4的值时,先算的是(  )

A.4×4=16     B.7×4=28     C.4×4×4=64  D.7×4+6=34

解析:选D.因为f(x)=anxnan-1xn-1+…+a1xa0=(…((anxan-1)xan-2)x+…+a1)xa0,所以用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2当x=4的值时,先算的是7×4+6=34.

3用秦九韶算法求多项式时的值 

解:

           

4.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6的值,当x=-4时,v4的值为(  )

A.-57        B.124         C.-845          D.220

 解析: D 依据秦九韶算法有v0a6=3,v1v0xa5=3×(-4)+5=-7,v2v1xa4=-7×(-4)+6=34,v3v2xa3=34×(-4)+79=-57,v4v3xa2=-57×(-4)+(-8)=220.

(三)辗转相除法

1  用“辗转相除法”求得的最大公约数是(    )

A      B      C      D 

    解: D    

的最大公约数,也就是的最大公约数

2.用更相减损术,求105与30的最大公约数时,需要做减法的次数是(  )

A.2  B.3  C.4       D.5

解析:C   105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15.

3.在用辗转相除法求两个正整数ab(a>b)的最大公约数时,得到表达式anbr,(n∈N),这里r的取值范围是________.

解: 0≤r<b

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