最新北师大版数学(七年级下册)章知识点总结及尺规作图(9500字)

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北师大版《数学》(七年级下册)知识点总结

北师大版《数学》(七年级下册)知识点总结

第一章整式的运算

一、单项式、单项式的次数:

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式

1、多项式、多项式的次数、项

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。

三、整式:单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法:

整式加减法的一般步骤:(1)去括号;(2)合并同类项。

五、幂的运算性质:

(1)同底数幂的乘法:am﹒an=am+n(同底,幂乘,指加)

逆用: am+n =am﹒an(指加,幂乘,同底)

(2)同底数幂的除法:am÷an=am-n(a≠0)。(同底,幂除,指减)

逆用:am-n = am÷an(a≠0)(指减,幂除,同底)

(3)幂的乘方:(am)n =amn(底数不变,指数相乘)

逆用:amn =(am)n

(4)积的乘方:(ab)n=anbn 推广:

逆用, anbn =(ab)n(当ab=1或-1时常逆用)

(5)零指数幂:a0=1(注意考底数范围a≠0)。

(6)负指数幂:a?p1p?()?aap(a?0)(底倒,指反)

六、整式的乘除法:

1、单项式乘以单项式:

法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余的字母连同它的指数不变,作为积的因式。

2、单项式乘以多项式:m(a+b+c)=ma+mb+mc。

法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式:

单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式:(a?b?c)?m?a?m?b?m?c?m.

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。

七、整式乘法公式:

1、平方差公式: (a?b)(a?b)?a?b 平方差,平方差,两数和,乘,两数差。

公式特点:(有一项完全相同,另一项只有符号不同,结果=(相同)?(不同)

2、完全平方公式: (a?b)?a?2ab?b 首平方,尾平方,2倍首尾放中央。

第 1 页 2222222

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(a?b)2?a2?2ab?b2

逆用:a?2ab?b?(a?b),a?2ab?b?(a?b).

完全平方公式变形(知二求一): 222222

a2?b2?(a?b)2?2ab

22a2?b2?2[(a?b)?(a?b)]a2?b2?(a?b)2?2ab22a2?b2?(a?b)2?2ab?(a?b)2?2ab?[(a?b)?(a?b)]2

22[(a?b)?(a?b)] (a?b)2?(a?b)2?4ab ab?4

3.常用变形:(x?y)=(y-x)2n2n2n?12n+1, (x?y)=-(y-x)

第二章 平行线与相交线

一、余角和补角:

1、余角: 定义:如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角。

性质:同角或等角的余角相等。

2、补角:定义:如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角。

性质:同角或等角的补角相等。

二、对顶角:

我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。

对顶角的性质:对顶角相等。

三、同位角、内错角、同旁内角:

1、两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。

2、同位角:两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角。

3、内错角:两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角:两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫同旁内角。

同位角、内错角、同旁内角

直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB,CD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3与∠5这两个角都在AB,CD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线AB,CD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。

四、平行线的判定:

1、两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。简称:同位角相等,两直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。简称:内错角相等,两直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称:同旁内角互补,两直线平行。 补充平行线的判定方法:

(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。

(3)平行线的定义。

五、平行线的性质:

(1)两直线平行,同位角相等。(2)两直线平行,内错角相等。(3)两直线平行,同旁内角互补。

六、尺规作图:

尺规作线段和角

1、在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法,通常叫基本作图。

即:1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角。

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第三章 生活中的数据

一、单位换算

1、长度单位:(1)百万分之一米又称微米,即1微米=10米。

(2)10亿分之一米又称纳米,即1纳米=10米。(3)1微米=10纳米。

(4)1米=10分米=100厘米=10毫米=10微米=10纳米。

2、面积单位:(1)10千米=1米=10分米=10厘米=10毫米=10微米=10纳米。

3、质量单位(1)1吨=10千克=10克。

二、科学计数法

1、用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据时,可以表示为a×10的形式,其中1≤〡a〡<10,n为负整数

2、用科学计数法表示绝对值较大数据时,可以表示为a×10的形式,其中1≤〡a〡<10,n为正整数

三、近似数与精确数

近似数:

利用四舍五入法取一个数的近似数时,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。

例如:考范围题目:近似数X=2.8,则X的范围是

近似数X=4.0,则X的范围是

(规律:左边为最后一位数字减5,且有等号,右边为最后一位数字后面多写一个数字5,且没有等号)

近似数的精确度:1、近似数的精确度是近似数精确的程度。2、近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪

一位。3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。

例如:2.10万精确到 位,有效数字 个,分别是 nn36-622224262122182369-93-6

2.1?104精确到 位,有效数字 个,分别是

四、有效数字

1、对于一个近似数,从左边第一个不为零的数字起,到精确到的数位为止,所

有的数字都叫这个数的有效数字。

2、对于科学计数法型的近似数,由a×10(1≤〡a〡<10)中的a来确定,a的有效数字就是这个近似数的有效数字。与×10无关。

五、统计图(表)

1、条形统计图:能清楚地表示出每个项目的具体数目。

2、折线统计图:能清楚地反映事物的变化情况。

3、扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

4、象形统计图:能直观地反映数据之间的意义。

nn

第四章 概率

一、事件发生的可能性;

人们通常用1(或100)来表示必然事件发生的可能性,用0来表示不可能事件发生的可能性。

二、游戏是否公平:

游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

三、摸到红球的概率:

1、概率的意义 P(摸到红球=摸到红球可能出现的结果数 摸出一球可能出现的结果数

2、确定事件和不确定事件的概率:

(1)必然事件发生的概率为1记作P(必然事件)=1(2)不可能事件发生的概率为0,P(不可能事件)=0

(3)如果A为不确定事件 ,那么0<P(A)<1

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3、概率的求法:

一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m个结果,那么事件A发生的概率为P(A)=m n

第五章 三角形

一、三角形及其有关概念

1、三角形:

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。

2、三角形的表示:

三角形用符号“?”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”,读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系:

(1)三角形的两边之和大于第三边。(2)三角形的两边之差小于第三边。

(3)作用:

①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时,可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系:

(1)三角形三个内角和等于180°。(2)直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类:

(1)三角形按边分类:

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不等边三角形

三角形 底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

(2)三角形按角分类:

直角三角形(有一个角为直角的三角形)

三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)

斜三角形

钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)

把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段:

(1)三角形的角平分线:

定义:在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质:三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

(2)三角形的中线:

定义:在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质:三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部。

(3)三角形的高线:

定义:从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。

性质:三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部;直角三角形的三条高线 第 4 页

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8、三角形的面积:三角形的面积=1×底×高 2

二、全等图形:定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 性质:全等图形的形状和大小都相同。

三、全等三角形

1、全等三角形及有关概念:

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的表示:

全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。

4、三角形全等的判定:

(1)边边边:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

(2)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)

(3)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)

(4)边角边:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)

直角三角形全等的判定:

对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)

一、全等三角形

三角形全等的4个种判定公理:

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2.证题的思路:

性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形

全等。(ASA)

10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

??找夹角(SAS)??

?已知两边?找直角(HL)

?找第三边(SSS)?

??

??若边为角的对边,则找任意角(AAS)??

?找已知角的另一边(SAS)??

?已知一边一角??

边为角的邻边?找已知边的对角(AAS)??

?找夹已知边的另一角(ASA)??

???

??

?找两角的夹边(ASA)?

已知两角??

?找任意一边(AAS)?

第六章 变量之间的关系

一、变量、自变量、因变量

1、在某一变化过程中,不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化,则把x叫做自变量,y叫做因变量。

注:变量:在某一过程中发生变化的量,其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量,它在研究对象反应形式、

特征、目的上是独立的;因变量是由于自变量变动而引起变动的量,它“依赖于” 自变量的改变。 常量:一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.

二、图像注意:a.认真理解图象的含义,注意选择一个能反映题意的图象; b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上

特殊点的含义(坐标),特别是图像的起点、拐点、交点

三、事物变化趋势的描述

对事物变化趋势的描述一般有两种:

1.随着自变量x的逐渐增加(大),因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可:因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大));

2. 随着自变量x的逐渐增加(大),因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可:因变量y随着自变量x的增加(大)而减小).

注意:如果在整个过程中事物的变化趋势不一样,可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大),

因变量y逐渐增加(大)等等. 四、估计(或者估算)

对事物的估计(或者估算)有三种:

1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如:自变量x每增加一定量,因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数-首数)/次数或相差年数)等等;

2.利用图象:首先根据若干个对应组值,作出相应的图象,再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值;

第 6

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3.利用关系式:首先求出关系式,然后直接代入求值即可.

函数的三种表示法:

(1)关系式法

关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式,利用关系式,可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值,也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

(2)列表法

采用数表相结合的形式,运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据,并按从小到大的顺序列出,再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观,可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值,但缺点是具有局限性,只能表示因变量的一部分。

(3)图像法

对于在某一变化过程中的两个变量,把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出这些点,这些点所组成的图形就是它们的图象(这个图象就叫做平面直角坐标系)。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法,它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的,通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是:①列表:列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多,画出的图象越精确。②描点:在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴(横轴或x轴)上的点来表示自变量,用竖直方向的数轴(纵轴或y轴)上的点来表示因变量。③连线:按照自变量从小到大的顺序,用平滑的曲线把所描的各点连结起来。

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优缺点比较。

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第七章 生活中的轴对称

一、轴对称

1、轴对称图形:

如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。

2、轴对称:

对于两个图形,如果沿一条直线对折后,它们能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。

3、性质:

(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

(2)对应线段相等,对应角相等。

二、角平分线的性质:1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三、线段的垂直平分线(简称中垂线):

定义:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

四、等腰三角形

1、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性质:

(1)等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),

(3)等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3、等腰三角形的判定:

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。 (2)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等

五、等边三角形:

1、等边三角形:三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质:

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(1)具有等腰三角形的所有性质。(2)等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。

3、等边三角形的判定

(1)三边都相等的三角形是等边三角形。(2):三个角都相等的三角形是等边三角形

(3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

六、轴对称的性质

1、两个图形沿一条直线对折后,能够重合的点称为对应点(对称点),能够重合的线段称为对应线段,能够重合的角

称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

3、如果两个图形关于某条直线对称,那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

4、如果两个图形关于某条直线对称,那么对应线段、对应角都相等。

七、镜面对称

1.当物体正对镜面摆放时,镜面会改变它的左右方向;

2.当垂直于镜面摆放时,镜面会改变它的上下方向;

3.如果是轴对称图形,当对称轴与镜面平行时,其镜子中影像与原图一样;

学生通过讨论,可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法:

(1)利用镜子照(注意镜子的位置摆放);(2)利用轴对称性质;

(3)可以把数字左右颠倒,或做简单的轴对称图形;

(4)可以看像的背面; (5)根据前面的结论在头脑中想象。

尺规作图

尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图: 1、作一条线段等于已知线段;

2、作一个角等于已知角;

3、作已知线段的垂直平分线;

4、作已知角的角平分线;

5、过一点作已知直线的垂线;

题目一:作一条线段等于已知线段。

已知:如图,线段a .

求作:线段AB,使AB = a .

作法:

(1) 作射线AP;

(2) 在射线AP上截取AB=a .

则线段AB就是所求作的图形。

题目二:作已知线段的中点。

已知:如图,线段MN.

求作:点O,使MO=NO(即O是MN的中点).

作法:

(1)分别以M

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N

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为圆心,大于

的相同线段为半径画弧,

两弧相交于P,Q;

(2)连接PQ交MN于O.

则点O就是所求作的MN的中点。

(试问:PQ与MN有何关系?)

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题目三:作已知角的角平分线。

已知:如图,∠AOB,

求作:射线OP, 使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。

作法:

(1)以O为圆心,任意长度为半径画弧,分别交OA,OB于M,N;

(2)分别以M、N为圆心,大于 的相同线段为半径画弧,两 弧交∠AOB内于P;

(3) 作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四:作一个角等于已知角。

(请自己写出“已知”“求作”并作出图形,不写作法)

题目五:已知三边作三角形。

已知:如图,线段a,b,c.

求作:△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a.

作法:

(1) 作线段AB = c;

(2) 以A为圆心b为半径作弧,

以B为圆心a为半径作弧与

前弧相交于C;

(3) 连接AC,BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目六:已知两边及夹角作三角形。

已知:如图,线段m,n, ∠?.

求作:△ABC,使∠A=∠?,AB=m,AC=n.

作法:

(1) 作∠A=∠?;

(2) 在AB上截取AB=m ,AC=n;

(3) 连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目七:已知两角及夹边作三角形。

已知:如图,∠?,∠?,线段m .

求作:△ABC,使∠A=∠?,∠B=∠?,AB=m.

作法:

(1) 作线段AB=m;

(2) 在AB的同旁

作∠A=∠?,作∠B=∠?,

∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形(三角形)。

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第二章平行线与相交线余角余角补角补角角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图一平行线与相交线平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线若两条直线只有一个公共点我们称这两条直线为相交...

北师大版《数学》(七年级下册)知识点总结4400字

北师大版数学七年级下册知识点总结第一章整式的运算一单项式单项式的次数只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式单独的一个数或一个字母也是单项式一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数二多项式1多项式多项式...

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