高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P₀(x₀,y₀)在曲线C上f(x₀,y ₀)=0；点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上f(x₀,y₀)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：

1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)²+(y-b)²=r²

                  圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x²+y²=r²

(2)一般方程：①当D²+E²-4F＞0时，一元二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化为(x+)²+(y+)²=

②当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点(-,-);

③当D²+E²-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系  已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x₀,y₀)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=。

（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.

【备注2】抛物线：

（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-　，开口向上；

抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.

（2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离

（3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角)，，(叫做焦半径).

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则  或 

叫做平移(或移轴)公式.

（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：

六、椭圆的常用结论：

1.    点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.    PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.    以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.    以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.    若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.    若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7.    椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

8.    椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式,( ,).

9.    设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.  过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A₁、A₂为椭圆长轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF.

11.  AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.  若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是；

【推论】：

1、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P_1、P₂时A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程是.

2、过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3、若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F₁, F ₂是焦点, , ，则.

4、设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF₁F₂中，记, ,，则有.

5、若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.

6、P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F₁,F₂为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.

8、已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|²+|OQ|²的最大值为;（3）的最小值是.

9、过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10、已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.

11、设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

12、设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .

13、已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的内角.

2、PT平分△PF₁F₂在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF₁为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5、若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

6、若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7、双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.

8、双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ）当在右支上时，,；当在左支上时，,。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A₁、A₂为双曲线实轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF.

11、AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

13、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

【推论】：

1、双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P_1、P₂时A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程是.

2、过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3、若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F₁, F ₂是焦点, , ，则（或）.

4、设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF₁F₂中，记, ,，则有.

5、若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.

6、P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F₁,F₂为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.

7、双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.

8、已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.

（1）;（2）|OP|²+|OQ|²的最小值为;（3）的最小值是.

9、过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10、已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.

11、设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

12、设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).

(2) .(3) .

13、已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

八、抛物线的常用结论：

①顶点.

②则焦点半径;则焦点半径为.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

④（或）的参数方程为（或）（为参数）.

圆锥曲线的性质对比