高中数学必修一知识点总结完整版

时间:2024.3.19

高中数学必修1知识点总结

集合

函数

第二章 基本初等函数

附:

一、函数的定义域的常用求法:

1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数;余切函数中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法:

1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法

三、函数的值域的常用求法:

1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法

四、函数的最值的常用求法:

    1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法

五、函数单调性的常用结论:

1、若均为某区间上的增(减)函数,则在这个区间上也为增(减)函数

2、若为增(减)函数,则为减(增)函数

3、若的单调性相同,则是增函数;若的单调性不同,则是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论:

1、如果一个奇函数在处有定义,则,如果一个函数既是奇函数又是偶函数,则(反之不成立)

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

4、两个函数复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。

5、若函数的定义域关于原点对称,则可以表示为,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。


第二篇:高中数学必修一至必修五知识点总结完整版


数学必修一知识归纳

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性:

1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象

或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同

的对象归入一个集合时,仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是

否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示:

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列举法与描述法。

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集 N*或 N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A

列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

二、集合间的基本关系

- 1 -

1.“包含”关系—子集

注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B

①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集,记作A? B(或B? A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

四、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域

- 2 -

即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于: (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)

4.了解区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;

(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

5.什么叫做映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应, 那么就称对应f:A→ B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A→ B” 给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

7.函数单调性

(1).增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b),那么就说f(x)在区间D上是增函

- 3 -

数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)

如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a<b 时,都有f(a)>f(b),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a<b时,总有f(a)<f(b) 。

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:任取a,b∈D,且a<b;2 作差f(a)-f(b);3 变形(通常是因

式分解和配方);4 定号(即判断差f(a)-f(b)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数

的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量

(即定义域关于原点对称).

3、具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结

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论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

(1)、 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值.

(2)、 利用图象求函数的最大(小)值

(3)、 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间

[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

第二章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果xn?a,那么x叫做a的n次方根(n th root),

*其中n>1,且n∈N.

当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.此时,a的n次方根用符号a表示.式子a叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical exponent),a叫做被开方数(radicand).

当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号a表示,负的n次方根用符号-a表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成±a(a>0).

由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0?0。

?a(a?0)注意:当n是奇数时,an?a,当n是偶数时,an?|a|??

??a(a?0)

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

- 5 -

a?a(a?0,m,n?N,n?1),a

mn

m*

?

mn

?

1

mn

?

1

a

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质

rsrsrrr?s(a)?aaa?a(1)·(2)(a?0,r,s?R);(a?0,r,s?R);

rrs

(ab)?aa(a?0,r,s?R). (3)

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

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am

(a?0,m,n?N*,n?1)

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(1)在[a,b]上,f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];

(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;

(3)对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1),总有f(1)?a;

(4)当a?1时,若x1?x2,则f(x1)?f(x2);

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果ax?N(a?0,a?1),那么数x叫做以.a为.底.N的对数,记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式)

1 注意底数的限制a?0,且a?1; 说明:○

2 ax?N?logaN?x; ○

3 注意对数的书写格式. ○

两个重要对数:

1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○

2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○

对数式与指数式的互化

logaN?x ? ax?N

对数式 ? 指数式

对数底数 ← a → 幂底数

对数 ← x → 指数

真数 ← N → 幂

(二)对数的运算性质

如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么:(1)loga(M·N)?logaM

M?logaM-logaN;+logaN;(2)loga(3)logaMn?nlogaM N

(n?R).

logcb注意:换底公式logab?a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0). logca

n1logambn?logab;利用换底公式推导下面的结论(1)(2). logab?mlogba

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中

. x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 注意:○

x如:y?2log2x,y?log5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5

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2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1).

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三、幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸; (3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时, 图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

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第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x 叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即:

方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点.

3、函数零点的求法:

求函数y?f(x)的零点:

1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?f(x)的○

图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数y?ax2?bx?c(a?0).

1)△>0,方程ax2?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.

2)△=0,方程ax2?bx?c?0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程ax2?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.

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