健康的标准和健康计划
一、问题重述
由于现代社会的生活节奏加快、生活工作压力增大，拥有一个健康的身体显得尤为重要。健康的标准有很多，但是如何量化这些标准，评价一个人的健康状况是一个比较困难的问题。世界卫生组织给出的健康标准有如下几个：
(1)精力充沛，能从容不迫地应付日常生活和工作的压力而不感到过分紧张和疲劳。
(2)处事乐观，态度积极，乐于承担责任，事无巨细不挑剔，工作有效率。
(3)善于休息，睡眠良好。
(4)应变能力强，能适应环境的各种变化。
(5)具有抗病能力，能够抵抗一般性感冒和传染病。
(6)体重得当，身材均匀，站立时头、肩、臂位置协调。
(7)眼睛明亮，反应敏锐，眼睑不发炎。
(8)牙齿清洁，无空洞，无龋齿，无痛感；齿龈颜色正常，不出血。
(9)头发有光泽，无头屑。
(10)肌肉、皮肤富有弹性，走路轻松有力。
健康标准对不同年龄、不同性别的人有不同的要求。根据世界卫生组织的年龄分期是：44岁以前的人被列为青年；45～59岁的人被列为中年；60～74岁的人为较老年(渐近老年)；75～89岁的人为老年；90岁以上为长寿者。
问题一：根据以上年龄划分，建立每个年龄阶段的健康评分模型；
问题二：根据模型，给每个年龄阶段制定一个合理的计划表包括饮食、锻炼等方面；
问题三：根据模型，为你们组的成员及家人的健康进行评分，并结合实际情况说明健康计划表是否合适和可行。
二、基本假设
1.将青年、中年、较老年、老年以及长寿者的人群同等看待，均看成本题的测评对象。
2.所参加调查的人对调查问卷所做出的选项不受周围环境因素的影响。
3.假设不同年龄段人群的健康不受社会关系及环境因素的影响。
4.问卷要求参加调查的人将各评价标准在各评价项目中依重要性程度递减排序具有可靠性。
5.对小组成员及家人的健康进行评分时没有任何因素的干扰，其分数具有科学性和可靠性。
三、符号说明
A——各年龄段人群健康状况的评价总目标
Bi——B层次中的生理领域，健康状况及心理领域
Li——世界卫生组织给出的第i个健康标准
——矩阵A归一化后的特征向量记为权向量
CI——判断矩阵偏离一致性指标
RI——判断矩阵随机一致性指标
CR——判断矩阵一致性比率
—— 评价健康标准的等级
——次级目标(B层)的综合评价得分
X——健康状况的综合总得分
四、问题的分析
本题要求我们通过数学模型评价每个年龄阶段的健康状况并制定一个合理的计划表，对于世界卫生组织给出的10个健康标准的综合评价，我们将其划分为生理、心理两个领域，采用层次分析法建立了各个年龄段人群的健康定量评价模型P=WR，并运用该模型对四个年龄阶段的人群的健康状况进行合理的评分。
4.1问题一的分析
我们要将所有的健康指标进行量化，然后设置每个指标的权重系数，而且不同年龄段的每个指标所占的权重系数也不相同，利用层次分析法建立每个年龄段的健康评价模型。
4.2问题二的分析
根据所建模型得出各个年龄段的健康状况评价分数，判断其是否健康，并且利用调查问卷分析导致健康问题的主要原因，由此制定合理的计划表。例如：如果从问卷中得出抗病能力的分数较低，则需要在计划表中制定锻炼计划。
4.3问题三的分析
让小组成员及其家人根据自身的健康状况填写调查问卷，利用所建立的数学模型将所得数据代入，最终得出健康的评价分数，并且根据健康计划表为他们提出合理的意见，同时也可以有实际情况检验模型的合理性并做出适当的改正。
五、模型的建立与求解
综合以上分析，结合假设，我们可以得到下述解答
5.1建立多层次模型
依据层次分析法，我们将评价总指标A=各年龄段人群健康状况的评价，分解成三个层次（见图1），A={B1，B2，B3}，其中，心理领域B1={L2，L4 }，生活领域B2={L1，L3，L5 }，身体状况B3={L6，L7，L8，L9，L10 }，Li（i=1 ,2,…,10）为健康状况的评价标准。
图1 不同年龄段健康状况的评价与分析层次结构图
5.2问题一的求解
5.2.1青年人健康评分模型
1、权重向量的确定
为了客观的确定在青年人群中各评价标准在相应的评价项目中的重要程度，我们在校园中做了相关的调查问卷，问卷要求参加调查问卷的人员将世界卫生组织给出的健康标准在各评价项目中依照重要性递减排序。根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度，建立青年人群健康状况的评价总目标A，心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的成对比较矩阵如下：
A=
，B1=
，B2=
，B3=
依据有成对比较矩阵求权向量的特征根法，计算各比较矩阵的特征值及向量
,得到数据如下:
=
=
=
=
对向量作归一化或正规化处理，既得所求的特征向量
，得到数据如下：
=
=
=
=
各比较矩阵的一致性指标分别为:
C
=0.0539， C
=0， C
=0.0193， C
=0.1002 ~
一致性指标比率分别为:
C
=
， C
=0.0333， C
=0.0895
对于1-9阶段成对比较矩阵，对比较矩阵的平均随机一致性指标RI值列于表1
表 1
由于上述的一致性指标比率都小于0.1，即认为对比较矩阵具有满意的一致性，说明权数分配是合理的，即是说
，
，
，
可以作为权重向量。
假设某个青年人的调查问卷结果（见表2）为：
表 2青年人调查问卷
其中
代表评价等级A,B,C,D（见表3）
表 3 评价等级赋值表
则可以计算出该人的在心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的各项健康的评价项目得分分别为：
=[
]*
=[
]*
=[
]*
总目标A的综合健康评价得分为：
X = [ ]*
因此可以由所建立的健康评价模型可以计算出最高分为90，最低分为45
并且可以将每个人的健康情况分为优、良、差三个等级，如下所示：
其中（1）90-80 优
（2）79-60 良
（3）59-45 差
5.2.2中年人健康评分模型
1、权重向量的确定
为了客观的确定在中年人群中各评价标准在相应的评价项目中的重要程度，我们在校园中做了相关的调查问卷，问卷要求参加调查问卷的人员将世界卫生组织给出的健康标准在各评价项目中依照重要性递减排序。根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度，建立中年人群健康状况的评价总目标A，心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的成对比较矩阵如下：
A=
，B1=
，B2=
，B3=
依据有成对比较矩阵求权向量的特征根法，计算各比较矩阵的特征值及向量,得到数据如下：
=
= =
=
对向量作归一化或正规化处理，既得所求的特征向量，得到数据如下：
=
= 
=
= 
各比较矩阵的一致性指标分别为:
C=0.0123, C=0, C=0.0162, C=0.0395
一致性指标比率分别为:
C=0.0212, C=0.0279, C=0.0353
参照表1，由于上述的一致性指标比率都小于0.1，即认为对比较矩阵具有满意的一致性，说明权数分配是合理的，即是说，，，可以作为权重向量。
假设某个中年人的调查问卷结果（见表4）为：
表 4中年人调查问卷
其中代表评价等级A,B,C,D（见表5）
表 5 评价等级赋值表
则可以计算出该人的在心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的各项健康的评价项目得分分别为：
=[ ]* =[ ]* =[ ]*
总目标A的综合健康评价得分为：
X = [ ]*
因此可以由所建立的健康评价模型可以计算出最高分为85，最低分为40
并且可以将每个人的健康情况分为优、良、差三个等级，如下所示：
其中（1）90-80 优
（2）79-60 良
（3）59-45 差
5.2.3较老年人健康评分模型
1、权重向量的确定
为了客观的确定在较老年人群中各评价标准在相应的评价项目中的重要程度，我们在校园中做了相关的调查问卷，问卷要求参加调查问卷的人员将世界卫生组织给出的健康标准在各评价项目中依照重要性递减排序。根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度，建立较老年人群健康状况的评价总目标A，心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的成对比较矩阵如下：
， 
， 
依据有成对比较矩阵求权向量的特征根法，计算各比较矩阵的特征值及向量,得到数据如下：
=
=
=
=
对向量作归一化或正规化处理，既得所求的特征向量，得到数据如下：
=
=
=
=
各比较矩阵的一致性指标分别为:
C=0.0429， C=0， C=0.0325， C=0.0627
一致性指标比率分别为:
C=0.0740， C=0.0560， C=0.0660
参照表1，由于上述的一致性指标比率都小于0.1，即认为对比较矩阵具有满意的一致性，说明权数分配是合理的，即是说，，，可以作为权重向量。
假设某个较老年人的调查问卷结果（见表6）为：
表 6中年人调查问卷
其中代表评价等级A,B,C,D（见表7）
表 7 评价等级赋值表
则可以计算出该人的在心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的各项健康的评价项目得分分别为：
=[ ]* =[ ]* =[ ]*
总目标A的综合健康评价得分为：
X = [ ]*
因此可以由所建立的健康评价模型可以计算出最高分为80，最低分为35
并且可以将每个人的健康情况分为优、良、差三个等级，如下所示：
其中（1）90-75 优
（2）74-55 良
（3）54-45 差
5.2.4老年人健康评分模型
1、权重向量的确定
为了客观的确定在老年人群中各评价标准在相应的评价项目中的重要程度，我们在校园中做了相关的调查问卷，问卷要求参加调查问卷的人员将世界卫生组织给出的健康标准在各评价项目中依照重要性递减排序。根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度，建立老年人群健康状况的评价总目标A，心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的成对比较矩阵如下：
， 
， 
依据有成对比较矩阵求权向量的特征根法，计算各比较矩阵的特征值及向量,得到数据如下：
=
=
=
=
对向量作归一化或正规化处理，既得所求的特征向量，得到数据如下：
=
=
=
=
各比较矩阵的一致性指标分别为:
C=0.0325， C=0， C=0.0325， C=0.0735
一致性指标比率分别为:
C=0.056 0， C=0.0560， C=0.0656
参照表1，由于上述的一致性指标比率都小于0.1，即可以认为对比较矩阵具有满意的一致性，说明权数分配是合理的，即是说，，，可以作为权重向量。
假设某个老年人的调查问卷结果（见表8）为：
表 8 老年人调查问卷
其中代表评价等级A,B,C,D（见表9）
表 9 评价等级赋值表
则可以计算出该人的在心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的各项健康的评价项目得分分别为：
=[ ]* =[ ]* =[ ]*
总目标A的综合健康评价得分为：
X = [ ]*
因此可以由所建立的健康评价模型可以计算出最高分为75，最低分为35
并且可以将每个人的健康情况分为优、良、差三个等级，如下所示：
其中（1）90-75 优
（2）74-55 良
（3）54-45 差
5.2.5长寿者健康评分模型
1、权重向量的确定
为了客观的确定在长寿者人群中各评价标准在相应的评价项目中的重要程度，我们在校园中做了相关的调查问卷，问卷要求参加调查问卷的人员将世界卫生组织给出的健康标准在各评价项目中依照重要性递减排序。根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度，建立长寿者人群健康状况的评价总目标A，心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的成对比较矩阵如下：
， 
， 
依据有成对比较矩阵求权向量的特征根法，计算各比较矩阵的特征值及向量,得到数据如下：
= =
=
=
对向量作归一化或正规化处理，既得所求的特征向量，得到数据如下：
= =
=
=
各比较矩阵的一致性指标分别为:
C=0.0123， C=0， C=0.0914， C=0.0923
一致性指标比率分别为:
C=0.0212， C=0.1576， C=0.0824
参照表1，由于上述的一致性指标比率都小于0.1，即可以认为对比较矩阵具有满意的一致性，说明权数分配是合理的，即是说，，，可以作为权重向量。
假设某个长寿者的调查问卷结果（见表10）为：
表 10长寿者调查问卷
其中代表评价等级A,B,C,D（见表11）
表 11 评价等级赋值表
则可以计算出该人的在心理领域B1，生活领域B2，身体状况B3的各项健康的评价项目得分分别为：
=[ ]* =[ ]* =[ ]*
总目标A的综合健康评价得分为：
X = [ ]*
因此可以由所建立的健康评价模型可以计算出最高分为70，最低分为30
并且可以将每个人的健康情况分为优、良、差三个等级，如下所示：
其中（1）90-75 优
（2）74-55 良
（3）54-45 差
5.3问题二的求解
5.3.1对于青年人：
当代青年人正处于世界高速发展、剧烈变革、生活节奏不断加快、知识更新迅速、竞争日趋激烈的大环境中，人际关系日益复杂，影响人们心理、生理健康的因素也越来越多。
根据所建立的青年人数学模型，分析青年人综合的权重向量=可以清楚地知道身体状况B3占有的比重较大些，其中在B3中，L6即体重得当，身材均匀，站立时头、肩、臂位置协调所占的比重最多，因此青年人应注重每日的身体锻炼，合理饮食同时也需加强个人卫生。生活领域B2与B3相比稍低些，心理领域B1所占的权重比较小，但也应该加强心理领域的发展。
5.3.2对于中年人：
根据中年人健康评分模型的分析可知，在中年阶段，这些人介于工作和即将退休之间，生活领域方面影响最大，因为他们要工作，生活节奏在一定程度上会影响工作效率。而心理领域和身体状况较前者影响小很多，同时身体状况较心理领域影响又稍微大一些。每个人的精力都有限，因此可以根据以上结论为中年人按不同健康领域的重要程度对某些方面加强锻炼，对影响程度小的领域锻炼强度次之，以此类推，可以制定一个合理的健康计划表。
5.3.3对于较老年人：
在较老年阶段60~74岁之间，大多都是退休在家，此时最重要的要找到可以消遣的事情，尤其是事业心较重，刚刚退休的较老年人。
从所建立的模型可以看出，在较老年阶段，抗病能力，休息，精力充沛和能应付生活压力所占比重很大。在此阶段，较老年的免疫力又下降了，而且不能工作带来的空虚，可能会造成生活压力，需要家人额外关心。
在心理领域中，处事乐观，态度积极要有很大影响，此时不能因为自己没有事情可以做就很悲观，觉得自己已即将是垂暮之年，就很灰心。其实现在你可以去寻找另一个生活。
在生活领域中，善于休息睡眠良好，和抗病能力，所占比重特别大。随着年龄的增长，要想经历充沛，就要有良好的睡眠。免疫力的下降也要引起注意，少生病就要多锻炼。但是不可从事太过剧烈的运动（除了一些曾经从事特殊工作的群体），因为身体可能会吃不消。
在身体状况方面，主要是牙齿，眼睛和体重要特别注意。
5.3.4对于老年人
通过老年健康评价模型可以看出身体状况越来越影响着他们，身体出现的细小状况都会产生很大的反应。此时如果家里子女孝顺，一家生活美满的话，生活压力是很小的。每个老年人到这个时期都会想着享受生活。然而抗病能力，睡眠质量这些也是必不可少的。
在心理领域中，乐观的心态好多老年人都存在，而且也无工作压力了，综合起来影响较小。好多老人在此阶段会选择旅游，所以要可以适应环境的变化。生活领域睡眠和抗病能力一直都是占有较大比重的，这点毋庸置疑。在身体方面，眼睛，体重走路，都是很重要的
5.3.5对于长寿者
活到90岁的老人一般都很乐观，很让人羡慕。可是毕竟年龄大了，身体状况不好，尤其那些可以看得见的。所以在此阶段从模型可以看出来，主要就是生活领域占得比重很大。因为此时只要不生病和充足的睡眠，就可以更长寿。
根据以上数学模型的分析可以得出适应各个年龄段的健康计划表，其具体内容如表12所示
表 12 健康计划表
5.4问题三的求解
根据问题一中所建立的数学模型对小组中的成员高某，潘某以及王某及其家人的健康进行调查问卷（见附录），经MATLAB编程得其评分结果见表 13所示
由表中的健康状况的评价总目标A的分数并与相应年龄段健康状况评价等级相比较，可以清楚地得出结论：
高某的身体健康状况为优，其家人的健康状况也在优的等级范围之内；潘某的身体的健康状况为优，其父母的身体也十分的健康，只有爷爷的身体状况不太好；王某及其母亲的身体健康状况为良好，其父亲的健康状况为优秀，爷爷奶奶的身体也十分康健。
小组成员及其家人的健康是与日常的锻炼，合理的饮食及注重个人卫生，保健密切相关的，只有潘某的爷爷因腿的缘故而不能像正常人一样生活，导致身体的健康方面稍差些。因此根据以上的实际调查问卷的结果，可以说明对不同年龄段的健康计划表是合适、可行的。
表 13 组成员及家人健康评分结果
六、模型的总结
6．1模型的评价
我们从各个问题的出发点，分析了应该考虑的各种情况，建立了五个不同的数学模型，并通过查阅资料和相关书籍进行了理论论证和实践论证，同时，我们所建立的数学模型能较好的计算出不同年龄段的人的健康状况，并根据其心理领域、生活领域及身体状况的得分为其健康有问题的人提供合理的健康计划表，帮助恢复健康水平。因此此模型的最大好处在于模型极为广泛的应用性。
6.1.1模型的优点
(1)建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更加贴近实际，其通用性、推广性较强。
(2)建模的方法和思想对其他类似的问题也适用，当与类似的问题结合时，仅需要改变模型中的某些参数就可作类似讨论。
(3)三个问题分别求解，适用性强
(4)运用了MATLAB软件计算，严格地对模型求解，具有科学性。
(5)建模的过程中绘制了多个表格，使问题更直观、更明了。
6.1.2模型的缺点
(1)为了使计算简单，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要因素。
(2)在确定针对各年龄段的健康标准所占的比重时，接受调查问卷的人群有一定的局限性，其结果与实际会有一定的误差。
6.2模型的推广
本文给出的模型主要解决根据健康标准评价不同年龄段的健康问题，该模型可以推广到工作绩效综合评价及某些群体生活质量的评价与分析等。
参考文献
[1] 罗万成. 大学生数学建模. 成都：西南交通大学出版社，2007
[2] 王琦. 实用模型数学[M]. 北京：科学技术文献出版社，1995
[3] 姜启源. 数学模型（第三版）. 北京：高等教育出版社，2003
[4] 苏金明. Matlab7.0实用指南. 北京：电子工业出版社，2004
[5] 寿纪麟. 数学建模. 西安：西安交通大学出版社，1993
[6] 区靖祥. 多元数据的统计分析方法. 北京：中国农业科学技术出版社
附录
小组成员及家人健康调查问卷公示
由调查问卷计算A,B1，B2，B3得分
MATLAB参考程序
clear all
clc
A=90; %健康等级A=90分
B=80; %健康等级B=80分
C=70; %健康等级C=70分
D=60; %健康等级D=60分
E=45; %健康等级E=45分
K=input('输入要计算的人群名称H='); %1—青年，2—中年，3—较老年，4—老年，5—长寿者
x1=input('输入L1的等级L1='); %健康指标L1的等级
x2=input('输入L2的等级L2='); %健康指标L2的等级
x3=input('输入L3的等级L3='); %健康指标L3的等级
x4=input('输入L4的等级L4='); %健康指标L4的等级
x5=input('输入L5的等级L5='); %健康指标L5的等级
x6=input('输入L6的等级L6='); %健康指标L6的等级
x7=input('输入L7的等级L7='); %健康指标L7的等级
x8=input('输入L8的等级L8='); %健康指标L8的等级
x9=input('输入L9的等级L9='); %健康指标L9的等级
x10=input('输入L10的等级L10='); %健康指标L10的等级
if K==1 %K=1时，执行青年人A,B1，B2，B3的权重向量
Y0=[0.1243;0.3586;0.5171];
Y1=[0.7500;0.2500];
Y2=[0.1047;0.6370;0.2583];
Y3=[0.4223;0.2572;0.1029;0.0294;0.1882];
elseif K==2 %K=2时，执行中年人A,B1，B2，B3的权重向量
Y0=[0.1169;0.6833;0.1998];
Y1=[0.7500;0.2500];
Y2=[0.0841;0.2110;0.7050];
Y3=[0.4165;0.1321;0.0840;0.0451;0.3223];
elseif K==3 %K=3时，执行较老年人A,B1，B2，B3的权重向量
Y0=[0.0936;0.6267;0.2797];
Y1=[0.8333;0.1667];
Y2=[0.0719;0.6491;0.2790];
Y3=[0.5911;0.0740;0.1695;0.0370;0.1260];
elseif K==4 %K=4时，执行老年人A,B1，B2，B3的权重向量
Y0=[0.0810;0.1884;0.7306];
Y1=[0.1667;0.8333];
Y2=[0.0810;0.7306;0.1884];
Y3=[0.5092;0.1382;0.0601;0.0329;0.2596];
else %K=5时，执行长寿者A,B1，B2，B3的权重向量
Y0=[0.1169;0.6833;0.1998];
Y1=[0.3333;0.6667];
Y2=[0.0668;0.7147;0.2185];
Y3=[0.4310;0.1279;0.0695;0.0304;0.2680];
end
X1=[x2 x4]*Y1 %心理领域B1的得分
X2=[x1 x3 x5]*Y2 %生活领域B2的得分
X3=[x6 x7 x8 x9 x10]*Y3 %身体状况B3的得分
X=[X1 X2 X3]*Y0 %评价总目标A的人体健康总得分